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Vektoren und Matrizen

Basiswissen

Vektoren sind Objekte, die aus mehreren Zahlen bestehen. Geometrisch sind zwei-komponentige Vektoren (Zahlenpaare) Punkte in der Ebene und drei-komponentige Vektoren (Zahlentripel) Punkte im Raum. Entsprechend wie man einen Vektor anschreibt, spricht man von einem Zeilen- oder Spaltenvektor.

Matrizen sind eine allgemeinere Form der Vektoren und sind nicht auf eine Zeile (Zeilenvektor) oder eine Spalte (Spaltenvektor) beschränkt. Stattdessen können sowohl mehrere Zeilen wie auch Spalten vorhanden sein. Anwendung finden sie unter anderem in der Lösung von linearen Gleichungssystemen und der Darstellung von linearen Abbildungen.

Einfache Vektoralgebra

Die einfachsten Operationen im Bereich der Vektoren sind die Addition zweier Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (einer Zahl).

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Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar. Geometrisch entspricht diese Zahl im zwei-dimensionalen Fall dem Produkt der Länge der zwei Vektoren, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

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Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) wird im Allgemeinen aus zwei drei-dimensionalen Vektoren gebildet, wobei als Ergebnis wieder ein drei-dimensionaler Vektor entsteht. Geometrisch ist das Vektorprodukt ein Vektor, der orthogonal zu den beiden Faktorvektoren steht und dessen Länge dem Flächeninhalt des von den Faktorvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht.

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Matrizen

Matrizen sind eine allgemeinere Form der Vektoren und sind nicht auf eine Zeile (Zeilenvektor) oder eine Spalte (Spaltenvektor) beschränkt. Stattdessen können sowohl mehrere Zeilen wie auch Spalten vorhanden sein. Anwendung finden sie unter anderem in der Lösung von linearen Gleichungssystemen und der Darstellung von linearen Abbildungen.

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Koordinaten

Geometrisch können Vektoren als Pfeile im kartesischen Koordinatensystem interpretiert werden. Wird der Schaft des Pfeils als im Ursprung gelegen angenommen, spricht man von Ortsvektoren. Diese können als Punkt in der Ebene (bei zwei-komponentigen Vektoren) oder im Raum (bei drei-komponentigen Vektoren) angesehen werden (der Punkt wird durch die Pfeilspitze markiert). Liegt der Schaft nicht im Ursprung, spricht man von Richtungsvektoren, die den Abstand und die Richtung zwischen zwei Punkten beschreiben.

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