Fragenliste von Skalarprodukt

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 0 \end{pmatrix} \) \(\vec b = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}\) Nr. 2107
	\(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 6\\ -8\\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \cdot \vec b =-2\)
	\(\vec a \cdot \vec b =0\)
Lösungsweg \(\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 3 + (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 5 = -2\)

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 2108
	\(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 10\\ 1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 5 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \cdot \vec b = 14\)
	\(\vec a \cdot \vec b = 15\)
Lösungsweg \(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} =1 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 15\)

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} -4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 2333
	-8
	\( \begin{pmatrix} -8\\ -3\\ 3 \end{pmatrix}\)
	14
Lösungsweg \( \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}= 2\cdot (4-)+3\cdot (-1) + 3\cdot 1=-8\)

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ 9 \end{pmatrix} \) \(\vec b = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\) Nr. 2335
	9z-2x
	\( \begin{pmatrix} -2x\\ 0y\\ 9z \end{pmatrix} \)
	2x+y+9z
	\( \begin{pmatrix} -2x\\ 0\\ 9z \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie den Winkel \(\gamma\) zwischen den Vektoren \(\vec v_1= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix}\) Nr. 2348
	180°
	105.8°
	0.99°
	76.2°
	132.9°
Lösungsweg \(\vec v_1= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix}\) \(\cos \gamma = \frac {\vec v_1 \cdot \vec v_2}{\|\vec v_1\| \ \|\vec v_2\|} =\) \(\frac {2\cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-2)}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} \ \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \frac {-2}{3 \sqrt{6}}\) \(\gamma= \cos^{-1}\left(\frac {-2}{3 \sqrt{6}}\right) \approx 105.8^\circ\)

Berechnen Sie den Winkel \(\gamma\) zwischen den beiden Vektoren \(\vec v_1= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec v_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}\) Nr. 2349
	58,3°
	71,2°
	50,1°
	27,4°
	112,2°
Lösungsweg \(\vec v_1= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}\) , \(\vec v_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}\) \(\cos \gamma = \frac {\vec v_1 \cdot \vec v_2}{\|\vec v_1\| \ \|\vec v_2\|} =\) \(\frac {(-1)\cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{\sqrt{(-1)^2+3^2+2^2} \ \sqrt{2^2+1^2+4^2}} = \frac {9}{\sqrt{14} \sqrt{21}}}\) \(\gamma= \cos^{-1}\left(\frac {9}{\sqrt{14} \sqrt{21}}\right) \approx 58.3^\circ\)

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(25\|13\|4)\), \(B=(11\|5\|10)\), \(C=(20\|0\|-25)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2513
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.
Lösungsweg \(\vec {AB}= \begin{pmatrix} 14\\ 8 \\-6 \end{pmatrix}\),\(\vec{AC}=\begin{pmatrix} 5 \\ 13 \\ 29 \end{pmatrix}\) \(\vec{AB} \cdot \vec {AC} = 14 \cdot 5 + 8 \cdot 13 -6 \cdot 29 = 0\)

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(2\|1\|0)\), \(B=(2\|-3\|-4)\), \(C=(1\|-1\|-2)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2514
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(-1\|1\|2)\), \(B=(-2\|2\|4)\), \(C=(0\|3\|4)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2515
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(4\|2\|1)\), \(B=(13\|6\|5)\), \(C=(7\|8\|2)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2516
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(-2\|-1\|1)\), \(B=(-5\|2\|4)\), \(C=(-1\|1\|3)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2517
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.
Lösungsweg \(\vec {AC} = \begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix}\), \(\vec {BC} = \begin {pmatrix}-4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) \(\vec{AC} \cdot \vec{BC}= -1\cdot (-4) -2 \cdot 1 - 2 \cdot 1= 0\)

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(-1\|1\|2)\), \(B=(2\|1\|5)\), \(C=(1\|-1\|3)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2518
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(1\|2\|3)\), \(B=(4\|5\|3)\), \(C=(3\|3\|5)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2519
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(4\|-1\|2)\), \(B=(7\|-3\|-4)\), \(C=(-5\|7\|14)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2520
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Berechne das Skalarprodukt: \(\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}\) Nr. 2521
	-5
	1
	5
	14
	21

Berechne das Skalarprodukt: \(\begin{pmatrix}2\\-3\\-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-2\\4\end{pmatrix}\) Nr. 2522
	-5
	-2
	1
	5
	14

Berechne das Skalarprodukt: \(\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}\) Nr. 2523
	-2
	3
	8
	12
	16

Berechne das Skalarprodukt: \(\begin{pmatrix}5\\-2\\-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) Nr. 2524
	-2
	2
	5
	11
	15

Berechne das Skalarprodukt: \(\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\-3\\2\end{pmatrix}\) Nr. 2525
	-5
	-3
	2
	7
	11

Berechne das Skalarprodukt: \(\begin{pmatrix}3\\9\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}\) Nr. 2526
	-4
	0
	2
	5
	11

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}4\\5\\z\end{pmatrix}\) Nr. 2527
	z=-2,8
	z=1,5
	z=2,8
	z=3,5
	z=4,1
Lösungsweg \(4+10-5z=0 \\ 14/5=z\)

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}2\\-3\\-4\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}4\\y\\4\end{pmatrix}\) Nr. 2528
	y=-2,67
	y=3,2
	y=3,67
	y=4,5
	y=5,33
Lösungsweg \(8-3y-16=0 \\ -8/3=z\)

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}x\\4\\1\end{pmatrix}\) Nr. 2529
	x=-4,5
	x=-2
	x=-0,67
	x=1,5
	x=3,2
Lösungsweg \(4x+4+4=0 \\ x=-8/4=-2\)

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}x\\-2\\-3\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) Nr. 2530
	x=-2
	x=-1,5
	x=0
	x=2,2
	x=3
Lösungsweg \(x-3=0\\ x=3\)

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}-2\\-3\\z\end{pmatrix}\) Nr. 2531
	z=-2,2
	z=-1,8
	z=0,5
	z=1
	z=2,8

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}3\\9\\z\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}\) Nr. 2532
	z=-2,5
	z=0,2
	z=3
	z=4,5
	z=5,2

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts \(\vec b\) auf \(\vec a\). \(\vec b = \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\), \(\vec a=\begin{pmatrix}5\\2\\8\end{pmatrix}\) Nr. 2533
	\(\begin{pmatrix}2,18\\0,87\\3,48\end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix}2,18\\0,58\\1,63\end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix}1,02\\0,41\\1,63\end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix}1,45\\0,58\\2,32\end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix}-1,02\\0,87\\-2,32\end{pmatrix}\)
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: \(\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}\) Also gilt für den Betrag der Projektion \(\vec{p_a(b)}\) von \(\vec b\) auf \(\vec a\): \(\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}\) Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von \(\vec a\), also multipliziert mit dem Einheitsvektor. \(\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}\) \(\vec a\cdot \vec b=5+6+16=27\) \(\|\vec{a}\|= \sqrt{93}\) \(\vec{p_a(b)}=\frac {27}{\sqrt{93}^2}\cdot \begin{pmatrix} 5\\2\\8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.45\\0.58\\2.32\end{pmatrix}\)

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts \(\vec b\) auf \(\vec a\). \(\vec b = \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\), \(\vec a=\begin{pmatrix}5\\2\\11\end{pmatrix}\) Nr. 2534
	\(\begin{pmatrix}0,70\\0,28\\1,54 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 0,49\\0,20\\1,08 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -0,49\\0,42\\-1,54 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 1,05\\0,42\\2,31 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 1,05\\0,28\\1,08 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: \(\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}\) Also gilt für den Betrag der Projektion \(\vec{p_a(b)}\) von \(\vec b\) auf \(\vec a\): \(\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}\) Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von \(\vec a\), also multipliziert mit dem Einheitsvektor. \(\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}\) \(\vec a \cdot \vec b= 5-6+22=21\) \(\|\vec{a}\|=\sqrt{5^2+2^2+11^2}=\sqrt{150}\) \(\vec{p_a(b)}=\frac {21}{\sqrt{150}^2}\cdot \begin{pmatrix}5\\2\\11\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0.7\\0.28\\1.54\end{pmatrix}\)

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts \(\vec b\) auf \(\vec a\). \(\vec b = \begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec a=\begin{pmatrix}4\\0\\11\end{pmatrix}\) Nr. 2535
	\(\begin{pmatrix} -0,16\\0\\-0,45 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -0,23\\0\\-0,64 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -0,35\\0\\-0,96 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -0,35\\0\\-0,45 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 0,16\\0\\0,64 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: \(\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}\) Also gilt für den Betrag der Projektion \(\vec{p_a(b)}\) von \(\vec b\) auf \(\vec a\): \(\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}\) Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von \(\vec a\), also multipliziert mit dem Einheitsvektor. \(\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}\)

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts \(\vec b\) auf \(\vec a\). \(\vec b = \begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec a=\begin{pmatrix}15\\6\\9\end{pmatrix}\) Nr. 2536
	\(\begin{pmatrix} 7,5\\3\\4,5 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -3,5\\3\\-3 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 3,5\\1,4\\2,1 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 7,5\\2\\2,1 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 5\\2\\3 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: \(\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}\) Also gilt für den Betrag der Projektion \(\vec{p_a(b)}\) von \(\vec b\) auf \(\vec a\): \(\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}\) Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von \(\vec a\), also multipliziert mit dem Einheitsvektor. \(\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}\)

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts \(\vec b\) auf \(\vec a\). \(\vec b = \begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}\), \(\vec a=\begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix}\) Nr. 2537
	\(\begin{pmatrix} 2,21\\0,74\\2,21 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 4,74\\1,05\\2,21 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 3,16\\1,05\\3,16 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -2,21\\1,58\\-3,16 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 4,74\\1,58\\4,74 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: \(\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}\) Also gilt für den Betrag der Projektion \(\vec{p_a(b)}\) von \(\vec b\) auf \(\vec a\): \(\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}\) Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von \(\vec a\), also multipliziert mit dem Einheitsvektor. \(\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}\)

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts \(\vec b\) auf \(\vec a\). \(\vec b = \begin{pmatrix}-7\\-4\\5\end{pmatrix}\), \(\vec a=\begin{pmatrix}4\\1\\3\end{pmatrix}\) Nr. 2538
	\(\begin{pmatrix} -3,92\\-0,98\\-2,94 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -2,62\\-0,65\\-1,96 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} 1,83\\ -0,98\\1,96 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -3,92\\-0,65\\-1,37 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix} -1,83\\-0,98\\-1,37 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: \(\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}\) Also gilt für den Betrag der Projektion \(\vec{p_a(b)}\) von \(\vec b\) auf \(\vec a\): \(\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}\) Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von \(\vec a\), also multipliziert mit dem Einheitsvektor. \(\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}\)

Bestimmen Sie die Parameter \(u\) und \(v\) so, dass der Vektor \(\vec c\) sowohl zu \(\vec a\) als auch zu \(\vec b\) orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Skalarprodukts. \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} u \\ 1 \\ v \end{pmatrix}\) Nr. 3013
	\(u = 4,6 \\ v = -4,8\)
	\(u = 4,8 \\ v = -4,6\)
	\(u = -4,6 \\ v = 4,8\)
	\(u = -4,8 \\ v = 4,6\)
Lösungsweg Die Skalarprodukte zweier ortogonaler Vektoren sind 0. \(\vec a \cdot \vec c = 0\) und \(\vec b \cdot \vec c = 0\)

Bilden Sie mit den Vektoren \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) das folgende Produkt (Spatprodukt): \((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b\) Nr. 3015
	\((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 24 \\ 54 \\ 6 \end{pmatrix}\)
	\((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = 84\)
	\((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 24 \\ -54 \\ 6 \end{pmatrix}\)
	\((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = -24\)

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