\(\vec a = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)  \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}\)

\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 3 \cdot 0 - 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 \\ (-1) \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\)

\(|\vec a \times \vec b |= \sqrt{8^2+4^2+(-1)^2}=9\)

\(\vec {AB}\)  entspricht der z-Achse, \(\vec {AC}\)  entspricht der x-Achse.

\(\vec n\)  muss daher parallel zur y-Achse sein.

Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor

\(\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

repräsentieren.

Der gesuchte Vektor \(\vec b\) ist also normal zu \(\vec a\) und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!):

\(\vec b' = \vec a \times \vec z\)

\(\| \vec a| = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \Rightarrow \| \vec b| = \frac{9}{2}\)

\(\vec b = \frac{9}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\| \vec b'|}\)

\(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)  \(\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\)

\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 -(-1) \cdot 2\\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot (-1) -2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \)

\(|\vec a \times \vec b|= \sqrt {10^2+(-5)^2} \approx 11.2\)

Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor

\(\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

repräsentieren.

Der gesuchte Vektor \(\vec b\) ist also normal zu \(\vec a\) und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!):

\(\vec b' = \vec a \times \vec z\)

\(\| \vec a| = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 \Rightarrow \| \vec b| = \frac{7}{2}\)

\(\vec b = \frac{7}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\| \vec b'|}\)

\(\vec a \times \vec b\)  ist orthogonal auf \(\vec a\) und auf \(\vec b\), daher parallel zu \(\vec c\).

\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 8-(-3) \\ -3-4 \\ 2-4 \end{pmatrix}\)