Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Vektorprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gegeben ist der Vektor \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\) Finden Sie den Vektor \(\vec b\), der normal auf \(\vec a\) steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von \(\vec a\) hat. Nr. 3019
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 3,32 \\ -1,11 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{2 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor \(\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) repräsentieren. Der gesuchte Vektor \(\vec b\) ist also normal zu \(\vec a\) und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): \(\vec b' = \vec a \times \vec z\) \(\\| \vec a\| = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{7}{2}\) \(\vec b = \frac{7}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}\)

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Fläche des von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts \(\vec a = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}\) Nr. 2354
	9
	11
	7
	17,3
	11,9
Lösungsweg \(\vec a = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}\) \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 3 \cdot 0 - 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 \\ (-1) \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) \(\|\vec a \times \vec b \|= \sqrt{8^2+4^2+(-1)^2}=9\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist der Vektor \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\) Finden Sie den Vektor \(\vec b\), der normal auf \(\vec a\) steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von \(\vec a\) hat. Nr. 3020
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 4,37 \\ -1,09 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor \(\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) repräsentieren. Der gesuchte Vektor \(\vec b\) ist also normal zu \(\vec a\) und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): \(\vec b' = \vec a \times \vec z\) \(\\| \vec a\| = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{9}{2}\) \(\vec b = \frac{9}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}\)

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 2110
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = 0\)
Lösungsweg \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ -3-4 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}\)

3 erreichbare Punkte

Sind die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) linear unabhängig oder linear abhängig? \(\vec a = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} -13 \\ -2 \\ 13 \end{pmatrix}\) Nr. 3018
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind linear abhängig.
	Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante \(det A \neq 0\) ist, bzw das Spatprodukt \((\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \not = 0\)

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Fläche des von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) Nr. 2353
	5
	11.2
	2.2
	17.3
Lösungsweg \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 -(-1) \cdot 2\\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot (-1) -2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \) \(\|\vec a \times \vec b\|= \sqrt {10^2+(-5)^2} \approx 11.2\)

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Fläche des von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 3007
	0
	1
	2
	2,8
	3,9
Lösungsweg 2 parallele Vektoren können kein Parallelogramm aufspannen. Das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren ist stets 0.

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b \(\vec a= \begin{pmatrix} 3 \\2 \\-1 \end{pmatrix}\) , \(\vec b= \begin{pmatrix} -2 \\1 \\4 \end{pmatrix}\) Nr. 2109
	\(\vec a \times \vec b = -8\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 9 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2\cdot 4 -(-1)\cdot 1 \\ (-1)\cdot (-2) - 3\cdot 4 \\ 3\cdot 1 - 2\cdot (-2) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}\)

3 erreichbare Punkte

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