Fragenliste von Vektorprodukt

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b \(\vec a= \begin{pmatrix} 3 \\2 \\-1 \end{pmatrix}\) , \(\vec b= \begin{pmatrix} -2 \\1 \\4 \end{pmatrix}\) Nr. 2109
	\(\vec a \times \vec b = -8\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 9 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2\cdot 4 -(-1)\cdot 1 \\ (-1)\cdot (-2) - 3\cdot 4 \\ 3\cdot 1 - 2\cdot (-2) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 2110
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = 0\)
Lösungsweg \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ -3-4 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Berechnen Sie die Fläche des von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) Nr. 2353
	5
	11.2
	2.2
	17.3
Lösungsweg \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 -(-1) \cdot 2\\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot (-1) -2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \) \(\|\vec a \times \vec b\|= \sqrt {10^2+(-5)^2} \approx 11.2\)

Berechnen Sie die Fläche des von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts \(\vec a = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}\) Nr. 2354
	9
	11
	7
	17,3
	11,9
Lösungsweg \(\vec a = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}\) \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 3 \cdot 0 - 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 \\ (-1) \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) \(\|\vec a \times \vec b \|= \sqrt{8^2+4^2+(-1)^2}=9\)

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) Nr. 3004
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 11 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 11 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = 0\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} -11 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 8-(-3) \\ -3-4 \\ 2-4 \end{pmatrix}\)

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 3005
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Berechnen Sie die Fläche des von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) Nr. 3006
	0
	8,8
	10
	13,2
	15,3

Berechnen Sie die Fläche des von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 3007
	0
	1
	2
	2,8
	3,9
Lösungsweg 2 parallele Vektoren können kein Parallelogramm aufspannen. Das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren ist stets 0.

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor \(\vec n\), der normal auf diese Ebene steht. \(A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) , \(B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}\) , \(C = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}\) Nr. 3008
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 18 \\ 60 \\ -12 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} -3 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec {AB} = B - A\) und \(\vec {AC} = C - A\) \(\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC} \)

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor \(\vec n\), der normal auf diese Ebene steht. \(A = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) Nr. 3009
	Die Punkte A, B, C bilden keine Ebene, Aufgabe daher unlösbar.
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec {AB}\) entspricht der z-Achse, \(\vec {AC}\) entspricht der x-Achse. \(\vec n\) muss daher parallel zur y-Achse sein.

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor \(\vec n\), der normal auf diese Ebene steht. \(A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(C = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) Nr. 3010
	Es gibt keine Lösung, da A, B, C keine Ebene bilden.
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC} \)

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor \(\vec n\), der normal auf diese Ebene steht. \(A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) , \(B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(C = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) Nr. 3011
	Es gibt keine Lösung, da A, B, C keine Ebene bilden.
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{1} \\ \sqrt{2} \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ \sqrt{2} \\ \sqrt{1} \end{pmatrix}\)

Bestimmen Sie die Parameter \(u\) und \(v\) so, dass der Vektor \(\vec c\) sowohl zu \(\vec a\) als auch zu \(\vec b\) orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Vektorprodukts. \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} u \\ 1 \\ v \end{pmatrix}\) Nr. 3012
	\(u = 4,6 \\ v = -4,8\)
	\(u = -23 \\ v = 24\)
	\(u = -4,6 \\ v = 4,8\)
	\(u = -4,8 \\ v = 4,6\)
Lösungsweg \(\vec a \times \vec b\) ist orthogonal auf \(\vec a\) und auf \(\vec b\), daher parallel zu \(\vec c\).

Bilden Sie mit den Vektoren \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) das folgende Produkt: \((\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b)\) Nr. 3014
	\((\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b) = \begin{pmatrix} -12 \\ 30 \\ -18 \end{pmatrix}\)
	\((\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b) = \begin{pmatrix} -8 \\ 20 \\ 16 \end{pmatrix}\)
	\((\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b) = -6 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\)
	\((\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b) = 4 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Bilden Sie mit den Vektoren \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) das folgende Produkt (Spatprodukt): \((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b\) Nr. 3015
	\((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 24 \\ 54 \\ 6 \end{pmatrix}\)
	\((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = 84\)
	\((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 24 \\ -54 \\ 6 \end{pmatrix}\)
	\((\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = -24\)

Sind die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) linear unabhängig oder linear abhängig? \(\vec a = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 3016
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind linear abhängig.
	Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante \(det A \neq 0\) ist. Die Determinante von A ist aber genau das Spatprodukt \((\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \) der Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\vec c\).

Sind die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) linear unabhängig oder linear abhängig? \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 3017
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind linear abhängig.
	Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante \(det A \neq 0\) ist bzw. wenn das Spatprodukt \((\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \not= 0\)

Sind die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) linear unabhängig oder linear abhängig? \(\vec a = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} -13 \\ -2 \\ 13 \end{pmatrix}\) Nr. 3018
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind linear abhängig.
	Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante \(det A \neq 0\) ist, bzw das Spatprodukt \((\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \not = 0\)

Gegeben ist der Vektor \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\) Finden Sie den Vektor \(\vec b\), der normal auf \(\vec a\) steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von \(\vec a\) hat. Nr. 3019
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 3,32 \\ -1,11 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{2 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor \(\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) repräsentieren. Der gesuchte Vektor \(\vec b\) ist also normal zu \(\vec a\) und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): \(\vec b' = \vec a \times \vec z\) \(\\| \vec a\| = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{7}{2}\) \(\vec b = \frac{7}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}\)

Gegeben ist der Vektor \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\) Finden Sie den Vektor \(\vec b\), der normal auf \(\vec a\) steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von \(\vec a\) hat. Nr. 3020
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 4,37 \\ -1,09 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor \(\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) repräsentieren. Der gesuchte Vektor \(\vec b\) ist also normal zu \(\vec a\) und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): \(\vec b' = \vec a \times \vec z\) \(\\| \vec a\| = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{9}{2}\) \(\vec b = \frac{9}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}\)

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