Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Exponentialfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 9°° eine Dosis von 10mg des Medikaments , um 13°° 4mg und um 18°° 8mg zu sich. Bedenkt man, dass die Formel \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9)) \)die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt - wie viel Milligramm wirksamer Substanz hat der Patient um 17°° in sich? Nr. 1463
	n(17:00)= 9,03mg
	n(17:00)=8,47mg
	n(17:00)=7,83mg
	n(17:00)=5,09mg
	n(17:00)=3,47mg
Lösungsweg \(n(t)=2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) \(n(8)=2^{-\frac{8}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (8) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (8-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (8-9))\) \(=2^{-1} \cdot (10 \cdot \sigma (8) + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot \sigma (4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (-1))\) \(=2^{-1} \cdot (10 \cdot 1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 1+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)\) \(\approx 7.82842\)

5 erreichbare Punkte

Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8% pro Jahr. Nach wie vielen Jahren wird er sich verdreifacht haben? Nr. 1440
	Nach 15,9 Jahren
	Nach 18,6 Jahren
	Nach 21,3 Jahren
	Nach 25,9 Jahren
	Nach 29,5 Jahren
Lösungsweg \(H(t)=H_0\cdot 1,038^t\) \(3H_0=H_0\cdot 1,038^t\) \(t=\frac{\ln3}{\ln1,038}\approx 29,4567\)

5 erreichbare Punkte

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Wie groß ist die Zeitkonstante \(\tau\)? Nr. 1452
	\(\tau=\frac{0,005}{ln4}\)
	\(\tau=\frac{5}{ln4}\)
	\(\tau=\frac{ln0,005}{t}\)
	\(\tau=-\frac{ln5}{t}\)
	\(\tau=-\frac{0,005}{ln4}\)
Lösungsweg \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}\) \(\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}\) \(\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607\)

5 erreichbare Punkte

Das Wachstum einer Bakterienkultur werde für einen bestimmten Zeitraum als exponentiell angenommen. Nach drei Tagen sind 250 000 Bakterien, nach fünf Tagen 750 000 Bakterien vorhanden. Wann werden 10⁶ Bakterien vorhanden sein? Nr. 1428
	Nach 3,521 Tagen
	Nach 5 Tagen
	Nach 5,524 Tagen
	Nach 6,721 Tagen
	Nach 7,621 Tagen
Lösungsweg \(750000=250000\cdot a^2\) \(a=\sqrt{750000/250000}=\sqrt{3}\) \(10^6=250000\cdot a^{t-3}\) \(t-3=\frac{\ln(10^6/250000)}{\ln\sqrt{3}}\) \(t=\frac{\ln4}{\ln\sqrt{3}}+3\approx 5,5237\)

5 erreichbare Punkte

Die Spannung u_C(t) beim Aufladen eines Kondensators von 0V auf U₀ wird durch die Formel \(u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\) beschrieben. Für die Zeitkonstante \(\tau\) gilt\( \tau=R \cdot C\) . Zu welchem Zeitpunkt hat sich der Kondensator auf 99% der Maximalspannung aufgeladen, wenn\( R =1k\Omega\) und \(C=1\mu F\) beträgt? Nr. 1450
	t= 4,61 ms
	t= 46,1 ms
	t=4,61 s
	t=46,1 s
	t=461 s
Lösungsweg \(u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\) \(0,99U_0= U_0 \cdot ( 1-e^{-\frac{t}{\tau}})\) \(0,01=e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(\ln0,01=-\frac{t}{\tau}\) \(t=-\ln0,01\cdot\tau=-\ln0,01\cdot R\cdot C=-\ln0,01\cdot 10^3\cdot 10^{-6}\approx 0,004605\)

5 erreichbare Punkte

Bakterien vermehren sich durch Zellteilung. Zu Beginn sind n₀ Bakterien in einer Nährlösung vorhanden. Die durchschnittliche Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Teilungen heißt „Verdopplungszeit T_D“. Nach wie viel Verdoppelungszeiten T_D ist die anfängliche Anzahl auf das x-fache angestiegen? Nr. 1425
	Nach \(ln0,5x \) Verdoppelungszeiten
	Nach \(\frac{lnx}{lgx}\) Verdoppelungszeiten
	Nach \(lnx-1\) Verdoppelungszeiten
	Nach \( ln x-ln1\) Verdoppelungszeiten
	Nach \(\frac{lnx}{ln2}\) Verdoppelungszeiten
Lösungsweg \(2^a=x\) ...wenn a die Anzahl der Verdopplungszeiten ist, die notwendig sind um auf das x-fache zu kommen. \(a=\ln x/\ln2\)

5 erreichbare Punkte

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Leiten Sie die Formel für u(t) her. Nr. 1451
	\(u(t) = 120- 150 \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}\)
	\(u(t) = 120- 150 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}\)
	\(u(t) = 150- 150 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}\)
	\(u(t) = 150- 120 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}\)
	\( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\)

5 erreichbare Punkte

Die Exponentialfunktion \(f(x)=e^x\) hat die folgenden Eigenschaften (markieren Sie jene, die wahr sind): Nr. 284
	Alle Funktionswerte sind positiv.
	Alle Funktionswerte sind größer als \(e\).
	Die Funktionswerte sind nach oben beschränkt.
	Die Funktion ist streng monoton wachsend.
	Die Funktionswerte sind nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt.

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