Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Exponentialfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Patient nimmt um 9⁰⁰ eine Tablette von 1,5g und um 15⁰⁰ eine weitere Tablette eines bestimmten Medikaments ein. Dieses Medikament besitzt eine biologische Halbwertszeit von 6 Stunden. Wie viel Gramm wirksamer Substanz befinden sich um 18⁰⁰ im Körper des Patienten? Nr. 1460
	\(1,096g\)
	\(1,196g\)
	\(1,32g\)
	\(1,421g\)
	\(1,59g\)
Lösungsweg \(N(t)=N_0\cdot 0,5^{t/6}\) \(N(6)=1,5\cdot 0,5^{6/6}=0,75\)...vor der Einnahme der zweitenTablette \(N(9)=(0,75+1,5)\cdot 0,5^{3/6}\approx 1,59099\)

5 erreichbare Punkte

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Ab wann beträgt die Abweichung vom theoretischen Endwert weniger als 1%? Nr. 1454
	ab \(t_1=15,5ms\)
	ab \(t_1=15,8ms\)
	ab \(t_1=18,5ms\)
	ab \(t_1=18,8ms\)
	ab \(t_1=21,3ms\)
Lösungsweg \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}\) \(\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}\) \(\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607\) \( 150\cdot 0,99= 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \( 150\cdot 0,01= 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \( 150\cdot 0,01/120=e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(\ln( 150\cdot 0,01/120)=-\frac{t}{\tau}\) \(t=-{\tau}\cdot {\ln( 0,05/4)}={\tau}\cdot {\ln(400/5)}={\tau}\cdot {\ln(80)} \approx 0,0158048\)

5 erreichbare Punkte

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 6°° eine Dosis von 40mg des Medikaments, um 11°° 30mg und um 15°° 50mg zu sich. Angenommen die zeitliche Abhängigkeit der Substanz wird beschrieben durch \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) - wieviel Milligramm wirksamer Substanz hat der Patient um 14°°in sich? Nr. 1467
	n(14:00)=31,89mg
	n(14:00)=32,89mg
	n(14:00)= 43,13mg
	n(14:00)= 44,62mg
	n(14:00)= 58,07mg
Lösungsweg \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50\cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) \(n(8)= 2^{-\frac{8}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (8) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (8-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (8-9))\) \(= 2^{-1} \cdot (40 \cdot 1 +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot 1+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)\) \(\approx 43,133\)

5 erreichbare Punkte

Bakterien vermehren sich durch Zellteilung. Zu Beginn sind n₀ Bakterien in einer Nährlösung vorhanden. Die durchschnittliche Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Teilungen heißt „Verdopplungszeit T_D“. Wie lautet die Berechnungsformel für n(t) , wobei t und T_D in gleichen Zeiteinheiten gegeben sein sollen? Nr. 1423
	\(n(t)=n_0 \cdot 2^{\frac{t}{T_D}}\)
	\(n(t)= n_0 \cdot 2^{\frac{T_D}{T_D}}\)
	\(n(t)=2 \cdot n_0\)
	\(n(t)=t\cdot n_0 \cdot 2^{T_{D}}\)
	\(n(t)= n_0\cdot 2^{T_{D}}\)
Lösungsweg \(n(t)=n(0)\cdot a^t\) \(n(0)\cdot a^{T_D}=2n(0)\) \(a=\sqrt[T_D]{2}\)

5 erreichbare Punkte

Eine logarithmisch geteilte Stromskala für den Bereich \(0,05mA \leq i \leq 80mA\) soll auf einer Länge von L = 14cm dargestellt werden. Wo liegt i₀ = 1 mA genau? Nr. 1480
	1mA liegt +5,685 cm rechts von der unteren Intervallgrenze i_A
	1mA liegt -5,685 cm links von der oberen Intervallgrenze i_A
	1mA liegt +6,85 cm rechts von der unteren Intervallgrenze i_A
	1mA liegt -6,85 cm links von der oberen Intervallgrenze i_A
	Keine der Antworten ist korrekt

5 erreichbare Punkte

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 9°° eine Dosis von 10mg des Medikaments , um 13°° 4mg und um 18°° 8mg zu sich. Bedenkt man, dass die Formel \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9)) \)die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt - wie viel Milligramm wirksamer Substanz hat der Patient um 17°° in sich? Nr. 1463
	n(17:00)= 9,03mg
	n(17:00)=8,47mg
	n(17:00)=7,83mg
	n(17:00)=5,09mg
	n(17:00)=3,47mg
Lösungsweg \(n(t)=2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) \(n(8)=2^{-\frac{8}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (8) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (8-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (8-9))\) \(=2^{-1} \cdot (10 \cdot \sigma (8) + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot \sigma (4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (-1))\) \(=2^{-1} \cdot (10 \cdot 1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 1+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)\) \(\approx 7.82842\)

5 erreichbare Punkte

Fünf Jahre nachdem jemand ein Kapital K₀ bei einer Bank eingelegt hat, beträgt das Guthaben 7000€. Nach fünf weiteren Jahren ist das Guthaben auf 7800€ angewachsen. Berechnen Sie den Zinssatz \(p_{%}\) Nr. 1410
	\(p_{%}= 2,188%\)
	\(p_{%}=2,223%\)
	\(p_{%}=3,146%\)
	\(p_{%}=3,416%\)
	\(p_{%}=3,614%\)
Lösungsweg \(7800=7000\cdot p^5\) \(\sqrt[5]{7800/7000}=p\) \(p\approx 1,02188\)

5 erreichbare Punkte

Die Exponentialfunktion \(f(x)=e^x\) hat die folgenden Eigenschaften (markieren Sie jene, die wahr sind): Nr. 284
	Alle Funktionswerte sind positiv.
	Alle Funktionswerte sind größer als \(e\).
	Die Funktionswerte sind nach oben beschränkt.
	Die Funktion ist streng monoton wachsend.
	Die Funktionswerte sind nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt.

5 erreichbare Punkte

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