Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Zufallsvariablen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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test Nr. 4047
	richtig
	falsch
Lösungsweg schritt 1 schritt 2

2 erreichbare Punkte

Sei X die Anzahl der Würfe mit einem fairen Würfel, bis zum ersten Mal eine Sechs geworfen wird. Welche Werte kann die Zufallsvariable X annehmen? Nr. 4559
	\(\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\)
	\(\mathbb{N}\)
	\(\mathbb{R}\)
	\(\left[0; \ \infty)\)
Lösungsweg X kann den Wert jeder natürlichen Zahl annehmen, also 1, 2, 3, usw. Eine obere Grenze können wir nicht festlegen, da es theoretisch 10, 100 oder auch 1000 Würfe dauern kann, bis zum ersten Mal eine Sechs fällt (auch wenn die Wahrscheinlichkeit für sehr hohe X sehr klein ist).

4 erreichbare Punkte

Bei einem Glücksspiel können Sie eine von drei Türen wählen. Hinter einer Tür befinden sich 25 Goldmünzen, hinter einer 30 Goldmünzen, und hinter einer sind 45 Goldmünzen. Wieviele Goldmünzen gewinnen Sie im Durchschnitt, wenn Sie dieses Spiel sehr oft spielen? Nr. 3739
	25,5
	33,3
	30,4
	29,5
Lösungsweg Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen: \(E(X)=\sum g(x_i)p_i = \frac{1}{3}(25+30+45)=33\frac{1}{3} \approx 33,3\)

4 erreichbare Punkte

Bei einem Glücksspiel erhalten Sie in jedem Durchgang entweder 5, 25, oder 30 Punkte. Wie viele Punkte erhalten Sie im Durchschnitt wenn Sie sehr oft spielen? Nr. 3774
	15,5
	20
	25
	30
Lösungsweg Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen: \(E(X)=\sum g(x_i)p_i = \frac{1}{3}(5+25+30) =20\)

4 erreichbare Punkte

Bei der Übertragung von Vierer-Bitfolgen kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5% zu Übertragungsfehlern. Sei X die Zufallsvariable "Anzahl der Bitfehler in einer zufällig gesendeten Bitfolge der Länge 4". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Bitfehler auftritt? Wie viele Fehler sind im Schnitt pro gesendeter Bitfolge zu erwarten? Nr. 4595
	\(P(X \geq 1 ) = 0,04; \; \; E(X) = 0,02\)
	\(P(X \geq 1 ) = 0,03; \; \; E(X) = 0,03\)
	\(P(X \geq 1 ) = 0,02; \; \; E(X) = 0,04\)
	\(P(X \geq 1 ) = 0,02; \; \; E(X) = 0,02\)
Lösungsweg Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung mit n=4 und p=0,005, es gilt also: \(P(X=0) = 0,005^0 \cdot 0,995^4 \cdot {4 \choose 0} = 0,995^4 = 0,98015\) Dies ist die Gegenwahrscheinlichkeit zur gesuchten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \geq 1) = 1-P(X=0) = 1-0,98015 = 0,01985\) Für den Erwartungswert einer Binomialverteilung gilt \(E(X) = n \cdot p\), mit n=4 und p=0,005 erhalten wir E(X) = 0,02. Im Schnitt sind bei jeder Übertragung also 0,02 Fehler pro Bitfolge zu erwarten. Alternativer Lösungsweg: Falls einem die Formel für den Erwartungswert nicht einfällt, kann man diesen auch "zu Fuß" berechnen: \(P(X=1) = 0,005^1 \cdot 0,995^3 \cdot {4 \choose 1} = 0,01970\) \(P(X=2) = 0,005^2 \cdot 0,995^2 \cdot {4 \choose 2} = 0,00014850375\) \(P(X=3) = 0,005^3 \cdot 0,995^1 \cdot {4 \choose 3} = 0,0000004975\) \(P(X=4) = 0,005^4 \cdot 0,995^0 \cdot {4 \choose 4} = 0,000000000625\) Damit erhalten wir: \(E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) \approx 0,02\)

4 erreichbare Punkte

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel" und F(x) ihre Verteilungsfunktion. Wie kann man die Wahrscheinlichkeit angeben für das Ereignis, dass eine zweistellige Augensumme gewürfelt wird? Nr. 4557
	F(9)
	F(10)
	1-F(9)
	1-F(9,5)
Lösungsweg \(P(Augensumme\ \ zweistellig) = P(X>9) = 1-P(X \leq 9) = 1-F(9)\) Da X nur ganzzahlige Werte annehmen kann, gilt \(F(9) = P(X \leq 9) = P(X \leq 9,5) = F(9,5)\), somit ist \(1-F(9,5)\) ebenfalls korrekt.

4 erreichbare Punkte

Bei einem Glücksspiel können Sie eine von drei Türen wählen. Hinter einer Tür befinden sich 31 Goldmünzen, hinter einer 33 Goldmünzen, und hinter einer sind 36 Goldmünzen. Berechnen Sie die Varianz für dieses Spiel. Nr. 3776
	\(4,2\)
	\(72,2\)
	\(518,4\)
	\(1338,9\)
Lösungsweg Varianz für disktrete Zufallsvariablen. \(Var(X)= \sum(x_i- \mu)^2p_i = \\ \frac{1}{3} ((31-33,3)^2+(33-33,3)^2+(36-33,3)^2) \approx 4,2\)

4 erreichbare Punkte

Sei X die Anzahl der Würfe mit einem fairen Würfel, bis zum ersten Mal eine Sechs geworfen wird. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X an! Nr. 4560
	\(p_i = \left\(\frac{1}{6}\right\)^i\)
	\(p_i = \left\(\frac{5}{6}\right\)^i\)
	\(p_i = \frac{5}{6} \cdot i + \frac{1}{6}\)
	\(p_i = \left\(\frac{5}{6}\right\)^{i-1} \cdot \frac{1}{6}\)
Lösungsweg Die Wahrscheinlichkeit, gleich beim ersten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, erst beim zweiten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 5/6 mal 1/6 (keine Sechs beim ersten Wurf, Sechs beim zweiten Wurf). Die Wahrscheinlichkeit, erst beim dritten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 5/6 mal 5/6 mal 1/6 (keine Sechs beim ersten und zweiten Wurf, Sechs beim dritten Wurf). Die Wahrscheinlichkeit, erst beim x-ten Wurf eine Sechs zu werfen, ist \(\left\(\frac{5}{6}\right\)^{x-1} \cdot \frac{1}{6}\) (keine Sechs in den ersten x-1 Würfen, Sechs beim x-ten Wurf). Folglich gilt: \(p_i = P(X=i) = \left\(\frac{5}{6}\right\)^{i-1} \cdot \frac{1}{6}\)

4 erreichbare Punkte

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