Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Zufallsvariablen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Eine Fertigungsanlage hat einen gleichbleibenden Ausschuss-Anteil von 0,5%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 100 entnommenen Produktionseinheiten höchstens ein fehlerhaftes? Berechnen Sie die Lösung exakt sowie als Näherung durch die Poisson-Verteilung! Nr. 4594
	0,8102 und 0,8098
	0,6102 und 0,6098
	0,9102 und 0,9098
	0,7102 und 0,7098
Lösungsweg Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung mit n=100 und p=0,005, es gilt also \(P(X = x) = {100 \choose x} \cdot 0,005^x \cdot 0,995^{100-x}\): \(P(X=0) = {100 \choose 0} \cdot 0,005^0 \cdot 0,995^{100} = 0,995^{100} = 0,6058 \\ P(X=1) = {100 \choose 1} \cdot 0,005^1 \cdot 0,995^{99} = 0,3044 \) Damit ist \(P(X \leq 1) = 0,9102\). Für eine binomialverteilte Zufallsvariable kann man für "große n und kleine p" näherungsweise die Poisson-Verteilung mit Parameter \(\lambda = np = 0,5\) verwenden: \(P(X=0) = e^{-0,5} = 0,6065 \\ P(X=1) = -0,5 e^{-0,5} = 0,3033\) Damit ist näherungsweise \(P(X \leq 1) = 0,9098\).

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Dichtefunktion f(x) im Bereich \(0 \leq x \leq 6\) Nr. 4562
	\(f(x) = \frac{1}{6}x\)
	\(f(x) = 6x\)
	\(f(x) = \frac{1}{6x}\)
	\(f(x) = \frac{1}{6}\)
Lösungsweg Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = 1/(b-a) für \(0 \leq x \leq 6\) und f(x) = 0 sonst (das folgt daraus, dass die Gesamtfläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss). Wegen a=0 und b=6 gilt hier f(x) = 1/6 für \(0 \leq x \leq 6\) und f(x) = 0 sonst.

4 erreichbare Punkte

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Die Verteilungsfunktion F(x) von X gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Augensumme X gewürfelt wird, für welche gilt: Nr. 4550
	\(X \leq x\)
	\(X < x\)
	\(X > x\)
	\(X = x\)
Lösungsweg Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist definiert als: \(F(x) = P(X \leq x); x \in \mathbb{R}\)

4 erreichbare Punkte

Wahr oder falsch: Der Erwartungswert gewichtet alle Werte einer Zufallsvariablen X gleich. Nr. 4581
	Wahr.
	Das hängt von der Definition der Zufallsvariablen ab.
	Das gilt nur für diskrete Zufallsvariable.
	Falsch.
Lösungsweg Die Aussage ist falsch. Um den Erwartungswert zu ermitteln, werden die Werte der Zufallsvariablen mit ihren Wahrscheinlichkeiten (bzw. der Dichtefunktion) multipliziert. Dadurch werden Werte, die eine höhere Wahrscheinlichkeit haben, stärker gewichtet als solche mit einer geringen Wahrscheinlichkeit.

4 erreichbare Punkte

Auf einem Jahrmarkt wird ein Glücksspiel angeboten: Für einen Einsatz von 1 Euro werfen Sie drei faire Würfel gleichzeitig. Bei einer Augensumme von 3 oder 18 erhalten Sie jeweils 100 Euro, ansonsten ist der Einsatz weg. Welche Aussagen sind korrekt? Nr. 4566
	Bei diesem Spiel macht der Spielende langfristig Gewinn.
	Bei diesem Spiel macht der Spielende langfristig Verlust.
	Im Schnitt verliert der Spielende 7,4 Cent pro Spiel.
	Im Schnitt gewinnt der Spielende 1,2 Cent pro Spiel.
Lösungsweg Sei X die Zufallsvariable "Gewinn beim Glücksspiel = ausbezahlter Betrag minus Einsatz". Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3 beträgt, ebenso wie die Wahrscheinlichket für die Augensumme 18, 1/216; bei allen anderen 214 Wurffolgen verliert man den Einsatz: P(X=99) = 2/216 und P(X=-1) = 214/216. Damit gilt für den Erwartungswert von X: \(E(X) = \frac{2}{216} \cdot 99 + \frac{214}{216} \cdot (-1) = - \frac{16}{216} \approx -0,074 \) Man verliert also langfristig; im Mittel 7,4 Cent pro Spiel. Sei X die Zufallsvariable "ausbezahlter Betrag" (ohne Berücksichtigung des Einsatzes). Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3 beträgt, ebenso wie die Wahrscheinlichket für die Augensumme 18, 1/216; bei allen anderen 214 Wurffolgen verliert man den Einsatz: P(X=100) = 2/216 und P(X=0) = 214/216. Damit gilt für den Erwartungswert von X: \(E(X) = \frac{2}{216} \cdot 100 = \frac{200}{216} \approx 0,926 = 1-0,074\) Der Erwartungswert für den ausbezahlten Betrag liegt also unter dem Einsatz, d.h. man zahlt langfristig mehr, als man bekommt.

4 erreichbare Punkte

Die Varianz der Zufallsvariablen X = "Anzahl der Köpfe beim Wurf einer Münze" beträgt Var(X) = 0,25. Berechnen Sie daraus die Varianz der Zufallsvariablen Y = "Anzahl der Köpfe beim Wurf dreier Münzen"! (Annahme: Alle Münzen sind fair.) Nr. 4585
	0,5
	0,75
	1
	1,5
Lösungsweg Sei \(X_1\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der ersten Münze", \(X_2\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der zweiten Münze" und \(X_3\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der dritten Münze". Dann gilt \(Var(X_1) = Var(X_2) = Var(X_3) = 0,25\) . Da diese drei Zufallsvariablen unabhängig sind, ist \(Var(Y) = Var(X_1 + X_2 + X_3) = Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3) = 0,75\). Alternativer Lösungsweg: Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung, die Formel für die Varianz lautet daher: \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 3 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,75 \)

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 0,2 und 0,5 annimmt! Nr. 4565
	0
	0,05
	0,1
	0,5
Lösungsweg Die Verteilungsfunktion von X ist \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: \(P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05\)

4 erreichbare Punkte

Der Erwartungswert der Zufallsvariablen X = "Anzahl der Köpfe beim Wurf einer Münze" beträgt E(X) = 0,5. Berechnen Sie daraus den Erwartungswert der Zufallsvariablen Y = "Anzahl der Köpfe beim Wurf dreier Münzen"! (Annahme: Alle Münzen sind fair.) Nr. 4584
	0,25
	0,5
	1
	1,5
Lösungsweg Sei \(X_1\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der ersten Münze", \(X_2\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der zweiten Münze" und \(X_3\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der dritten Münze". Dann gilt \(E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = 0,5\) und somit \(E(Y) = E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 1,5\).

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