Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 7/8 und nicht 1, daher sind die angegebenen Werte nicht alle, die X annehmen kann.

Wir summieren die Wahrscheinlichkeiten, dass die Augensumme 3, 4, 5 oder 6 ist:\(P(X \leq 6) = F(6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = \frac{1+3+6+10}{216} = \frac{20}{216}\)

Es gibt 1 Möglichkeit für Augensumme 3: 1-1-1
Es gibt 3 Möglichkeiten für Augensumme 4: 1-1-2, 1-2-1, 2-1-1
Es gibt 6 Möglichkeiten für Augensumme 5: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1; 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1
Es gibt 10 Möglichkeiten für Augensumme 6: 1-1-4, 1-4-1, 4-1-1; 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1; 2-2-2

Es handelt sich hier um eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N=24, M=6 und n=4, also H(4;6;24). Folglich gilt \(P(X=x) = \frac{ {6 \choose x} \cdot {18 \choose 4-x}}{ {24 \choose 4} }\) und \(P(X=1) = \frac{ {6 \choose 1} \cdot {18 \choose 3}}{ {24 \choose 4} } = \frac{816}{1771} = 0,46076\).

Für den Erwartungswert gilt bei einer hypergeometrischen Verteilung \(E(X) = n \cdot \frac{M}{N}\), in diesem Fall also \(E(X) = 4 \cdot \frac{6}{24} = 1\).

Alternativer Lösungsweg zur Berechnung von P(X=1):

Es gibt \({4 \choose 1} = 4\) Möglichkeiten für die Position der roten Kugel innerhalb der Stichprobe. Beim ersten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu erwischen, 6/24 (denn 6 von 24 Kugeln sind rot). Beim zweiten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu erwischen, 18/23 (denn es sind noch 23 Kugeln in der Urne, davon 18 blaue). Beim dritten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu erwischen, 17/22 (denn es sind noch 22 Kugeln in der Urne, davon 17 blaue), usw. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also: \(P(X=1) = {4 \choose 1} \cdot \frac{6}{24} \cdot \frac{18}{23} \cdot \frac{17}{22} \cdot \frac{16}{21} = \frac{816}{1771}\)

Wir summieren die Wahrscheinlichkeiten, dass die Augensumme 5 oder 6 ist:\(P(4

Es gibt 6 Möglichkeiten für Augensumme 5: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1; 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1
Es gibt 10 Möglichkeiten für Augensumme 6: 1-1-4, 1-4-1, 4-1-1; 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1; 2-2-2

Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen:

\(E(X)=\sum g(x_i)p_i = \frac{1}{3}(25+30+45)=33\frac{1}{3} \approx 33,3\)

Wir suchen den Erwartungswert für die Kosten der Störungsbehebung, diese betragen 1000 X. Es gilt:
\(E(1000 X) = 1000 E(X) = 1000 \cdot (0,3 \cdot 0 + 0,4 \cdot 1 + 0,2 \cdot 2 + 0,1 \cdot 3) = 1000 \cdot 1,1 = 1100\)
Im Schnitt ist pro Tag also mit Kosten von 1100 Euro für die Behebung von Störungen zu rechnen.

Standardabweichung.

\(P(rot)=\frac{18}{37} \\ P(\overline{rot})=\frac{19}{37} \\ \mu = E(X)= \sum x_i P_i = 10\cdot \frac{18}{37} + (-10)\cdot \frac{19}{37} \approx -0,27 \\\)

\(\sigma^2 = Var(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot p_i = (10 + 0,27)^2 \cdot \frac{18}{37} + (-10 + 0,27)^2 \cdot \frac{19}{37} \approx 99,93 \Rightarrow \sigma \approx 10\)

Eine Zufallsstichprobe vom Umfang n ist eine Folge \(X_1, ..., X_n\) von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen, die man Stichprobenvariablen nennt. \(X_i\) ist die Merkmalsausprägung des i-ten Stichprobenelements.