Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gerade der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion erhält man folglich durch Integration der Dichtefunktion; umgekehrt ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Genauer: Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion über dem Bereich \((-\infty;\, x)\) gerade der Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt (d.h. dass X < x gilt), und damit dem Wert der Verteilungsfunktion F(x) = P(X < x). Folglich gilt: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt\)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 7/8 und nicht 1, daher sind die angegebenen Werte nicht alle, die X annehmen kann.

Die Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt; Erwartungswert und Varianz addieren sich ebenso
(Letzteres gilt sogar für beliebig verteilte unabhängige Zufallsvariable).

X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\) und \(P(X \geq x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)\) (*). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 10) = 1-F(10) = 1-\frac{10}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

(*) Anmerkung: Bei einer stetigen Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit, exakt einen vorgegebenen Wert x anzunehmen,
gleich Null; daraus folgt \(P(X \leq x) = P(X < x)\) und \(P(X \geq x) = P(X > x)\).

X ist eine stetige Zufallsvariable. Als Wartezeit in Minuten kommt jede reelle Zahl zwischen 0 und 15 infrage.

Sei \(X_1\) die Zufallsvariable "Augensumme beim Wurf des ersten Würfels" und \(X_2\) die Zufallsvariable "Augensumme beim Wurf des zweiten Würfels". Beide können jeweils die Werte von 1 bis 6 annehmen mit der Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6, d.h. die Erwartungswerte sind \(E(X_1) = E(X_2) = \frac{1}{6} \cdot (1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3,5\). Die Summe der Erwartungswerte von \(X_1\) und \(X_2\) entspricht dem gesuchten Erwartungswert der Summe der beiden Zufallsvariablen, d.h. es gilt: \(E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 3,5 + 3,5 = 7\)

Alternativer Lösungsweg 1:
Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X (siehe Bild); diese ist symmetrisch um den Wert \(x_i = 7\): Es gibt 1 Möglichkeit für die Augensumme 2 bzw. 12, nämlich 1-1 bzw. 6-6; es gibt 2 Möglichkeiten für die Augensumme 3 bzw. 11, nämlich 1-2 und 2-1 bzw. 5-6 und 6-5, usw. Somit gilt E(X) = 7.

Alternativer Lösungsweg 2:
Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X (siehe Bild) und berechnen daraus den Erwartungswert:
\(E(X) = \frac{1}{36} \cdot (2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 6 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 11 \cdot 2 + 12 \cdot 1) = \frac{1}{36} \cdot 252 = 7 \)

\(F(1) = 1-e^{-3} = 0,95\)

Die Verteilungsfunktion von X ist \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: \(P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05\)