Damit drei Würfel eine Augensumme von 4 haben, müssen zwei Würfel eine Eins anzeigen und der dritte eine Zwei. Dafür gibt es \({3 \choose 1} = 3\) Möglichkeiten: 112, 121 und 211. Weiterhin gibt es \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\) mögliche Wurffolgen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also:\(P(X=4) = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}\)

Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gerade der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion erhält man folglich durch Integration der Dichtefunktion; umgekehrt ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Genauer: Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion über dem Bereich \((-\infty;\, x)\) gerade der Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt (d.h. dass X < x gilt), und damit dem Wert der Verteilungsfunktion F(x) = P(X < x). Folglich gilt: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt\)

X kann den Wert jeder natürlichen Zahl annehmen, also 1, 2, 3, usw. Eine obere Grenze können wir nicht festlegen, da es theoretisch 10, 100 oder auch 1000 Würfe dauern kann, bis zum ersten Mal eine Sechs fällt (auch wenn die Wahrscheinlichkeit für sehr hohe X sehr klein ist).

Varianz für disktrete Zufallsvariablen.

\(\mu= (10+20+80)/3=36,67\\ Var(X)= \sum(x_i- \mu)^2p_i = \\ \frac{1}{3} ((10-36,7)^2+(20-36,7)^2+(80-36,7)^2) \approx 955,6\)

Je größer der Stichprobenumfang wird, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert der Stichprobe in ein beliebig kleines Intervall um den Erwartungswert fällt: Der Mittelwert konvergiert stochastisch gegen den Erwartungswert. Werfen wir beispielsweise sehr oft einen fairen Würfel (Erwartungswert 3,5) und notieren die Augenzahl nach jedem Wurf, so wird das arithmetische Mittel der bisher geworfenen Augenzahlen sich immer stärker um 3,5 konzentrieren. Es kann trotzdem immer wieder Ausreißer geben (z.B. fünfmal hintereinander eine Eins), wir können also nicht sicher sein, dass der Mittelwert ab einer genügend großen Wurfanzahl beliebig nahe an den Erwartungswert herankommt (daher sind Aussage 1 und 5 falsch).

X ist eine stetige Zufallsvariable. Als Wartezeit in Minuten kommt jede reelle Zahl zwischen 0 und 15 infrage.

Wir summieren die Wahrscheinlichkeiten, dass die Augensumme 3, 4, 5 oder 6 ist:\(P(X \leq 6) = F(6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = \frac{1+3+6+10}{216} = \frac{20}{216}\)

Es gibt 1 Möglichkeit für Augensumme 3: 1-1-1
Es gibt 3 Möglichkeiten für Augensumme 4: 1-1-2, 1-2-1, 2-1-1
Es gibt 6 Möglichkeiten für Augensumme 5: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1; 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1
Es gibt 10 Möglichkeiten für Augensumme 6: 1-1-4, 1-4-1, 4-1-1; 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1; 2-2-2

Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = 1/(b-a) für \(0 \leq x \leq 6\) und f(x) = 0 sonst (das folgt daraus, dass die Gesamtfläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss). Wegen a=0 und b=6 gilt hier f(x) = 1/6 für \(0 \leq x \leq 6\) und f(x) = 0 sonst.