Varianz für disktrete Zufallsvariablen.

\(Var(X)= \sum(x_i- \mu)^2p_i = \\ \frac{1}{3} ((25-33,3)^2+(30-33,3)^2+(45-33,3)^2) \approx 72,2\)

Falsch. X kann nur endlich viele Werte annehmen (nämlich die ganzen Zahlen zwischen 3 und 18) und ist somit eine diskrete Zufallsvariable.

X ist gleichverteilt im Intervall (0;15), denn alle Wartezeiten zwischen 0 und 15 Minuten sind gleich wahrscheinlich. Für den Erwartungswert einer gleichverteilten Zufallsvariable gilt: \(\mu = \frac{a+b}{2}\)
Mit a=0 und b=15 folgt: \(\mu = \frac{15}{2} = 7,5\)

Erwartungswert.

\(P(rot)=\frac{18}{37} \\ P(\overline{rot})=\frac{19}{37} \\ E(X)= 100 \cdot \sum x_i P_i = 100 \cdot (1 \cdot \frac{18}{37} + (-1)\cdot \frac{19}{37}) \approx -2,7 \)

Das geht, weil der Erwartungswert linear ist.

Sei \(X_1\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der ersten Münze", \(X_2\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der zweiten Münze" und \(X_3\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der dritten Münze". Dann gilt \(E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = 0,5\) und somit \(E(Y) = E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 1,5\).

X kann den Wert jeder natürlichen Zahl annehmen, also 1, 2, 3, usw. Eine obere Grenze können wir nicht festlegen, da es theoretisch 10, 100 oder auch 1000 Würfe dauern kann, bis zum ersten Mal eine Sechs fällt (auch wenn die Wahrscheinlichkeit für sehr hohe X sehr klein ist).

Jede Wartezeit zwischen 0 und 15 Minuten ist gleich wahrscheinlich. Folglich ist X gleichverteilt im Intervall (0;15) und die Dichtefunktion hat in diesem Bereich einen konstanten Wert >0 ("Rechteckverteilung"). Da die Fläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss (denn irgendeinen Wert zwischen 0 und 15 nimmt f(x) auf jeden Fall an), gilt f(x) = 1/15 für 0 < x < 15 und f(x) = 0 sonst.

Die Verteilungsfunktion von X ist \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: \(P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05\)