Der Zusammenhang \(E(X \cdot Y)= E(X) \cdot E(Y)\) gilt nur dann, wenn X und Y unabhängig sind!

Die Verteilungsfunktion von X ist \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: \(P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05\)

Wir suchen den Erwartungswert für die Kosten der Störungsbehebung, diese betragen 1000 X. Es gilt:
\(E(1000 X) = 1000 E(X) = 1000 \cdot (0,3 \cdot 0 + 0,4 \cdot 1 + 0,2 \cdot 2 + 0,1 \cdot 3) = 1000 \cdot 1,1 = 1100\)
Im Schnitt ist pro Tag also mit Kosten von 1100 Euro für die Behebung von Störungen zu rechnen.

Erwartungswert.

\(P(rot)=\frac{18}{37} \\ P(\overline{rot})=\frac{19}{37} \\ E(X)= \sum x_i P_i = 500\cdot \frac{18}{37} + (-500)\cdot \frac{19}{37} \approx -13,5\)

Die Augenzahl eines jeden Würfels ist unabhängig von der Augenzahl der beiden anderen Würfel, und sie kann nur endlich viele Werte annehmen. Die drei Zufallsvariablen sind also unabhängig und diskret.

Sei X die Zufallsvariable "Gewinn beim Glücksspiel = ausbezahlter Betrag minus Einsatz". Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3 beträgt, ebenso wie die Wahrscheinlichket für die Augensumme 18, 1/216; bei allen anderen 214 Wurffolgen verliert man den Einsatz:
P(X=99) = 2/216 und P(X=-1) = 214/216.

Damit gilt für den Erwartungswert von X:

\(E(X) = \frac{2}{216} \cdot 99 + \frac{214}{216} \cdot (-1) = - \frac{16}{216} \approx -0,074\)
Man verliert also langfristig; im Mittel 7,4 Cent pro Spiel.

Sei X die Zufallsvariable "ausbezahlter Betrag" (ohne Berücksichtigung des Einsatzes). Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3 beträgt, ebenso wie die Wahrscheinlichket für die Augensumme 18, 1/216; bei allen anderen 214 Wurffolgen verliert man den Einsatz:
P(X=100) = 2/216 und P(X=0) = 214/216.

Damit gilt für den Erwartungswert von X:

\(E(X) = \frac{2}{216} \cdot 100 = \frac{200}{216} \approx 0,926 = 1-0,074\)
Der Erwartungswert für den ausbezahlten Betrag liegt also unter dem Einsatz, d.h. man zahlt langfristig mehr, als man bekommt.

Die Summe X von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_i\) ist für große n annäherend normalverteilt, das arithmetische Mittel der Summe ebenso. Dafür brauchen die \(X_i\) nicht normalverteilt zu sein!

Der zentrale Grenzwertsatz ist somit der Grund dafür, dass eine Zufallsvariable X annähernd normalverteilt ist, wenn sie als Summe von vielen kleinen zufälligen Einflüssen entsteht (z.B. Messfehler, kleine Schwankungen bei der Produktion oder Abfüllung, etc.).

Es handelt sich hier um eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N=24, M=6 und n=4, also H(4;6;24). Folglich gilt \(P(X=x) = \frac{ {6 \choose x} \cdot {18 \choose 4-x}}{ {24 \choose 4} }\) und \(P(X=1) = \frac{ {6 \choose 1} \cdot {18 \choose 3}}{ {24 \choose 4} } = \frac{816}{1771} = 0,46076\).

Für den Erwartungswert gilt bei einer hypergeometrischen Verteilung \(E(X) = n \cdot \frac{M}{N}\), in diesem Fall also \(E(X) = 4 \cdot \frac{6}{24} = 1\).

Alternativer Lösungsweg zur Berechnung von P(X=1):

Es gibt \({4 \choose 1} = 4\) Möglichkeiten für die Position der roten Kugel innerhalb der Stichprobe. Beim ersten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu erwischen, 6/24 (denn 6 von 24 Kugeln sind rot). Beim zweiten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu erwischen, 18/23 (denn es sind noch 23 Kugeln in der Urne, davon 18 blaue). Beim dritten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu erwischen, 17/22 (denn es sind noch 22 Kugeln in der Urne, davon 17 blaue), usw. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also: \(P(X=1) = {4 \choose 1} \cdot \frac{6}{24} \cdot \frac{18}{23} \cdot \frac{17}{22} \cdot \frac{16}{21} = \frac{816}{1771}\)