Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Auf einer Hochzeitsfeier sind 30 Gäste. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben? Nr. 4521
	29%
	50%
	71%
	90%
Lösungsweg Wir berechnen die gesuchte Wahrscheinlichkeit über ihre Gegenwahrscheinlichkeit P, dass alle 30 Gäste an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die Anzahl der möglichen Fälle ist \(365^{30}\) (365 Tage für den ersten Gast, 365 Tage für den zweiten Gast, usw.). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot \ldots \cdot 336 = 365! / 335!\) (der erste Gast hat 365 Möglichkeiten, der zweite nur noch 364, da er nicht am selben Tag Geburtstag haben darf wie der erste, der dritte noch 363, usw.). Wegen P = "Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle" gilt also \(P = \frac{365!}{335! \cdot 365^{30}} \approx 0,2937\) . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit \(1-P = 0,7063\). Die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben, liegt also bei etwa 71%.

4 erreichbare Punkte

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zehn Würfen mit einer fairen Münze genau fünfmal Kopf und fünfmal Zahl fällt? Nr. 4532
	63/256
	64/256 = 1/4
	126/256
	128/256 = 1/2
Lösungsweg Es gibt \(2^{10} = 1024\) Möglichkeiten, wie die zehn Würfe ausgehen können (bei Beachtung der Reihenfolge). Jede davon ist gleich wahrscheinlich. Außerdem gibt es \({10 \choose 5} = 252\) Möglichkeiten für die Reihenfolge, wenn fünfmal Kopf bzw. Zahl fällt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt folglich \(\frac{{10 \choose 5}}{2^{10}} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}\).

4 erreichbare Punkte

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem vollen Satz Spielkarten (52 Stück) zwei Damen zu ziehen (ohne Zurücklegen)? Nr. 4537
	0,00045
	0,0045
	0,045
	0,45
Lösungsweg Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 2}\) (wir ziehen zufällig 2 der 4 Damen) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 2}\) (wir ziehen zufällig 2 aus 52 Karten) Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 2}}{{52 \choose 2}} = \frac{4 \cdot 3}{52 \cdot 51} = \frac{1}{221} \approx 0,0045\) Alternativer Lösungsweg: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte eine Dame ist, beträgt 4/52 (denn es sind vier Damen im Stapel). Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Karte eine Dame ist, beträgt 3/51 (denn es sind noch drei Damen im Stapel, der nun aus 51 Karten besteht). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{4 \cdot 3}{52 \cdot 51} = \frac{1}{221} \approx 0,0045\).

4 erreichbare Punkte

In einer Schraubenfabrik ist bei einer Maschine zur Fertigung von Schrauben der Anteil fehlerhafter Schrauben gleichbleibend bei 2%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 50 entnommenen Schrauben höchstens 2 fehlerhafte Schrauben? Nr. 3723
	\(24,5%\)
	\(29,8%\)
	\(36,4%\)
	\(92%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. \(P(X \leq 2) = P(X=0) + P(=1) + P(X=2) =\) \({50 \choose 0}\cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{50} + {50 \choose 1}\cdot 0,02^1 \cdot (1-0,02)^{49} + {50 \choose 2}\cdot 0,02^2 \cdot (1-0,02)^{48} =\\ 0,364 + 0,371 + 0,185 = 0,92 = 92%\)

4 erreichbare Punkte

Beim Pokerspielen bezeichnet ein Flush eine Hand mit fünf Karten derselben Farbe. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei fünfmaligem Ziehen (ohne Zurücklegen) einen Flush zu erhalten? Nr. 4539
	2%
	0,2%
	0,02%
	0,002%
Lösungsweg Anzahl der günstigen Ereignisse: \(4 \cdot {13 \choose 5}\) (wir ziehen fünf der insgesamt 13 Karten einer Farbe; es gibt 4 Farben, daher multiplizieren wir mit 4) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 4 \cdot \frac{{13 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,00198\). Alternativer Lösungsweg: Die erste Karte ist beliebig, es gibt also 52 Möglichkeiten. Die zweite Karte muss dieselbe Farbe haben wie die erste, dafür gibt es noch 12 Möglichkeiten. Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte noch 11, 10, bzw. 9 Möglichkeiten. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 0,00198\).

4 erreichbare Punkte

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem vollen Satz Spielkarten (52 Stück) alle vier Asse in Folge zu ziehen (ohne Zurücklegen)? Nr. 4536
	0,37%
	0,037%
	0,0037%
	0,00037%
Lösungsweg Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 der 4 Asse) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 aus 52 Karten) Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 4}}{{52 \choose 4}} = \frac{1}{{52 \choose 4}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 3,7 \cdot 10^{-4}\), das sind ca. 0,00037%. Alternativer Lösungsweg: Die Wahrscheinlichkeit für das erste Ass ist 4/52, für das zweite 3/51, für das dritte 2/50 und für das vierte 1/49, insgesamt also \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 3,7 \cdot 10^{-4}\).

4 erreichbare Punkte

Ein Gefäß enthält zwölf Kugeln, 5 Weiße und 7 Schwarze. Es werden daraus 5 Kugeln zufällig gezogen und zwar ohne Zurücklegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass mindestens 5 weiße Kugeln gezogen werden. Nr. 3731
	\(7,21%\)
	\(5,92%\)
	\(4,35%\)
	\(0,126%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung. \(P(k \geq 5)=P(k=5)=\frac{{5 \choose 5} \cdot {7 \choose 0}}{12 \choose 5}} \approx 0,00126 = 0,126%\)

4 erreichbare Punkte

In einer Schublade sind 10 einzelne schwarze und 6 einzelne weiße Socken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei farblich passende Socken zu ziehen, wenn man ohne hinzusehen zufällig zwei Socken auswählt? Nr. 4525
	1/8
	1/6
	1/4
	1/2
Lösungsweg Zwei farblich passende Socken erhält man, wenn man zwei schwarze oder zwei weiße Socken zieht. Die Wahrscheinlichkeit für zwei schwarze Socken ist \(P(schwarz) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{3}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Socken ist \(P(weiss) = \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} = \frac{1}{8}\). Insgesamt hat man also eine Chance von 50%, bei zweimaligem Ziehen ein farblich passendes Sockenpaar zu erhalten.

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