Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Es sei bekannt, dass 5% der Bevölkerung mit einer Viruserkrankung infiziert sind. Ein medizinischer Test erkennt Gesunde mit einer Erfolgsrate von 99% (Spezifität) und Kranke mit einer Erfolgsrate von 98% (Sensitivität). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei negativem Testergebnis dennoch infiziert ist? Nr. 4535
	0,1%
	0,5%
	1%
	5%
Lösungsweg Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt: Wahrscheinlichkeit, gesund (d.h. nicht mit dem Virus infiziert) zu sein: P(G) = 0,95 Wahrscheinlichkeit, krank (d.h. mit dem Virus infiziert) zu sein: P(K) = 0,05 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person korrekt als gesund erkennt (d.h. negativ ausfällt): P(neg\|G) = 0,99 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person fälschlich für krank hält (d.h. positiv ausfällt): P(pos\|G) = 0,01 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person korrekt als krank erkennt (d.h. positiv ausfällt): P(pos\|K) = 0,98 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person fälschlich für gesund hält (d.h. negativ ausfällt): P(neg\|K) = 0,02 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(K\|neg), dass eine Person krank ist, unter der Bedingung, dass sie negativ getestet wurde. Aus dem Satz von Bayes folgt (wegen \(\overline K = G\)): \(P(K\|neg) = \frac{P(K) \cdot P(neg\|K)}{P(K) \cdot P(neg\|K) + P(G) \cdot P(neg\|G)} = \frac{0,05 \cdot 0,02}{0,05 \cdot 0,02 + 0,95 \cdot 0,99} \approx 0,001062\) Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch negatives Testergebnis liegt also bei 0,1%.

4 erreichbare Punkte

In einer Fabrik wird ein Produkt aus drei Maschinen (A,B,C) hergestellt. Maschine A produziert 45% des Produkts, Maschine B 30% und Maschine C 25%. Aus Langzeittests weiß man, dass die Maschinen unterschiedliche Ausschusswahrscheinlichkeiten haben: Maschine A produziert 2%, Maschine B 3% und Maschine C 4% Ausschuss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgesondertes Produkt von Maschine C stammt? Nr. 3722
	\(35,7%\)
	\(45,7%\)
	\(55,7%\)
	\(27,8%\)
Lösungsweg Bayes. \(P(A)=0,45\\ P(B)=0,3\\ P(C)=0,25\\ P(ok\|A)=0,98\\ P(ok\|B)=0,97\\ P(ok\|C)=0,96\\\) \(P(A)\cdot P(\overline{ok}\|A)+P(B)\cdot P(\overline{ok}\|B)+P(C)\cdot P(\overline{ok}\|C)=0,028=2,8%\) \(P(C\|\overline{ok})=\frac{P(C) \cdot P(\overline{ok}\|C)}{P(\overline{ok})}=\\ \frac{0,25 \cdot 0,04}{0,028} \approx 0,357 = 35,7%\)

4 erreichbare Punkte

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem vollen Satz Spielkarten (52 Stück) alle vier Asse in Folge zu ziehen (ohne Zurücklegen)? Nr. 4536
	0,37%
	0,037%
	0,0037%
	0,00037%
Lösungsweg Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 der 4 Asse) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 aus 52 Karten) Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 4}}{{52 \choose 4}} = \frac{1}{{52 \choose 4}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 3,7 \cdot 10^{-4}\), das sind ca. 0,00037%. Alternativer Lösungsweg: Die Wahrscheinlichkeit für das erste Ass ist 4/52, für das zweite 3/51, für das dritte 2/50 und für das vierte 1/49, insgesamt also \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 3,7 \cdot 10^{-4}\).

4 erreichbare Punkte

Bei den Vorsorgeuntersuchungen in der Schwangerschaft wird der Fötus auf Vorhandensein einer Krankheit untersucht. Dieser Test liefert bei Vorliegen der Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,92 ein positives Testergebnis. Hat der Fötus diese Krankheit nicht, liefert der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 ein negatives Ergebnis. Die Krankheit tritt bei 1 von 800 Föten auf. Wie groß ist bei einem positiven Testergebnis die Wahrscheinlichkeit, dass die Krankheit tatsächlich vorliegt? Nr. 3720
	\(92%\)
	\(90%\)
	\(4,36%\)
	\(1,14%\)
Lösungsweg Bayes. \(P(T_{pos}\|Tris)=0,92 \\ P(T_{neg}\|\overline{Tris})=0,9 \\ P(Tris)=\frac{1}{800}=0,00125\) \(P(Tris\|T_{pos})=\frac{P(T_{pos}\|Tris) \cdot P(Tris)}{P(T_{pos})}=\) \(\frac{P(T_{pos}\|Tris) \cdot P(Tris)}{P(Tris) \cdot P(T_{pos}\|Tris) + P(\overline{Tris}) \cdot P(T_{pos}\|\overline{Tris})} \approx 0,0114 = 1,14%\)

4 erreichbare Punkte

Es sei bekannt, dass 5% der Bevölkerung mit einer Viruserkrankung infiziert sind. Ein medizinischer Test erkennt Gesunde mit einer Erfolgsrate von 99% (Spezifität) und Kranke mit einer Erfolgsrate von 98% (Sensitivität). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei positivem Testergebnis dennoch gesund ist? Nr. 4534
	12%
	16%
	20%
	24%
Lösungsweg Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt: Wahrscheinlichkeit, gesund (d.h. nicht mit dem Virus infiziert) zu sein: P(G) = 0,95 Wahrscheinlichkeit, krank (d.h. mit dem Virus infiziert) zu sein: P(K) = 0,05 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person korrekt als gesund erkennt (d.h. negativ ausfällt): P(neg\|G) = 0,99 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person fälschlich für krank hält (d.h. positiv ausfällt): P(pos\|G) = 0,01 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person korrekt als krank erkennt (d.h. positiv ausfällt): P(pos\|K) = 0,98 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person fälschlich für gesund hält (d.h. negativ ausfällt): P(neg\|K) = 0,02 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(G\|pos), dass eine Person gesund ist, unter der Bedingung, dass sie positiv getestet wurde. Aus dem Satz von Bayes folgt: \(P(G\|pos) = \frac{P(G) \cdot P(pos\|G)}{P(G) \cdot P(pos\|G) + P(K) \cdot P(pos\|K)} = \frac{0,95 \cdot 0,01}{0,95 \cdot 0,01 + 0,05 \cdot 0,98} \approx 0,1624\) Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch positives Testergebnis liegt also bei 16%.

4 erreichbare Punkte

Ein Multiple-Choice Test besteht aus 5 Fragen, bei jeder stehen 3 Antworten zur Auswahl, nur genau eine davon ist jeweils richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch zufälliges Raten eine Frage richtig zu beantworten? Nr. 3733
	\(32,9%\)
	\(29,5%\)
	\(49,5%\)
	\(28,7%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. \(P(X=1)=(\frac{1}{3})^1 \cdot (\frac{2}{3})^4 \cdot {5 \choose 1} \approx 0,329 = 32,9%\)

4 erreichbare Punkte

Ein Gefäß enthält zwölf Kugeln, 5 Weiße und 7 Schwarze. Es werden daraus 5 Kugeln zufällig gezogen und zwar ohne Zurücklegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass genau 3 schwarze Kugeln gezogen werden. Nr. 3727
	\(34,46%\)
	\(44,2%\)
	\(24,1%\)
	\(65,4%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung. \(P(k=3)=\frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,442 = 44,2%\)

4 erreichbare Punkte

Ein Gefäß enthält zwölf Kugeln, 5 Weiße und 7 Schwarze. Es werden daraus 5 Kugeln zufällig gezogen und zwar ohne Zurücklegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass maximal 2 weiße Kugeln gezogen werden. Nr. 3729
	\(34,46%\)
	\(44,2%\)
	\(68,9%\)
	\(65,4%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung. \(P(k \leq 2)= P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = \) \(\frac{{7 \choose 5} \cdot {5 \choose 0}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 4} \cdot {5 \choose 1}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,689 = 68,9%\)

4 erreichbare Punkte

Anmelden

Passwort vergessen
Registrieren

NEWS

Derzeit kommt es beim Rendern der Formeln leider zu einem Problem. Wir sind bemüht das Problem zu lösen.

Auch in diesem Semester für alle FHTW Studierenen wieder verfügbar: Der Mathe-Support

Mathematik lernen ist eine Herausforderung, vor allem im Eigenstudium! Sie tun sich schwer beim Lesen von mathematischen Skripten oder kommen bei den Übungsaufgaben nicht weiter? Vielleicht wollen Sie auch einfach nicht alleine, sondern lieber in einer Gruppe lernen? Dann kommen Sie zum Mathe-Support!

https://www.technikum-wien.at/mathe-support/

Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

Anmeldung und Informationen
Warm-up-Kurse

Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

weitere News

Wussten Sie schon?

Sie können sich rechts oben einen kostenlosen Benutzer erstellen. Dann wird Ihr Lernfortschritt gespeichert, Sie können Tests zwischenspeichern und an Tutorien teilnehmen.

Mathematik Übungsplattform

Übungstest

Anmelden

NEWS