Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \leq 2)= P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = \)

\(\frac{{7 \choose 5} \cdot {5 \choose 0}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 4} \cdot {5 \choose 1}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,689 = 68,9%\)

Binomialverteilung.

\(P(X=1)=(\frac{1}{3})^1 \cdot (\frac{2}{3})^4 \cdot {5 \choose 1} \approx 0,329 = 32,9%\)

Anzahl der günstigen Ereignisse: \(4 \cdot {13 \choose 5}\) (wir ziehen fünf der insgesamt 13 Karten einer Farbe; es gibt 4 Farben, daher multiplizieren wir mit 4)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 4 \cdot \frac{{13 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,00198\).

Alternativer Lösungsweg:
Die erste Karte ist beliebig, es gibt also 52 Möglichkeiten. Die zweite Karte muss dieselbe Farbe haben wie die erste, dafür gibt es noch 12 Möglichkeiten. Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte noch 11, 10, bzw. 9 Möglichkeiten.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 0,00198\).

Bayes.

\(P(A)=0,45\\ P(B)=0,3\\ P(C)=0,25\\ P(ok|A)=0,98\\ P(ok|B)=0,97\\ P(ok|C)=0,96\\ \)

\(P(A)\cdot P(\overline{ok}|A)+P(B)\cdot P(\overline{ok}|B)+P(C)\cdot P(\overline{ok}|C)=0,028=2,8%\)

\(P(C|\overline{ok})=\frac{P(C) \cdot P(\overline{ok}|C)}{P(\overline{ok})}=\\ \frac{0,25 \cdot 0,04}{0,028} \approx 0,357 = 35,7%\)

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \geq 5)=P(k=5)=\frac{{5 \choose 5} \cdot {7 \choose 0}}{12 \choose 5}} \approx 0,00126 = 0,126%\)

Wir berechnen die gesuchte Wahrscheinlichkeit über ihre Gegenwahrscheinlichkeit P, dass alle 30 Gäste an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die Anzahl der möglichen Fälle ist \(365^{30}\) (365 Tage für den ersten Gast, 365 Tage für den zweiten Gast, usw.). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot \ldots \cdot 336 = 365! / 335! \) (der erste Gast hat 365 Möglichkeiten, der zweite nur noch 364, da er nicht am selben Tag Geburtstag haben darf wie der erste, der dritte noch 363, usw.). Wegen P = "Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle" gilt also \(P = \frac{365!}{335! \cdot 365^{30}} \approx 0,2937\) . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit \(1-P = 0,7063\). Die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben, liegt also bei etwa 71%.

Binomialverteilung.

\(P(X \geq 4)= P(X=4) + P(X=5)= \)

\((\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 \cdot {5 \choose 4} + (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \)\(\approx 0,0453 = 4,53%\)

Wir bestimmen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit \(\overline P\), dass man nach fünfmaligem Ziehen kein Ass auf der Hand hat:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({48 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 der 48 Karten, die kein Ass sind)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(\overline P = \frac{{48 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,659\)
Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P = 1-\overline P = 0,341\) und damit ca. 1:3.

Alternativer Lösungsweg:
Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeiten, dass wir genau ein, zwei, drei oder vier Asse ziehen, und summieren diese (wesentlich komplizierter als die erste Lösung!):

\(P(1 Ass) = \frac{{4 \choose 1} \cdot {48 \choose 4}}{{52 \choose 5}}\approx 0,29947\)

\(P(2 Asse) = \frac{{4 \choose 2} \cdot {48 \choose 3}}{{52 \choose 5}} = \frac{8684}{216580} \approx 0,03993 \)

\(P(3 Asse) = \frac{{4 \choose 3} \cdot {48 \choose 2}}{{52 \choose 5}} = \frac{4512}{2598960} \approx 0,001736 \)

\(P(4 Asse) = \frac{{4 \choose 4} \cdot {48 \choose 1}}{{52 \choose 5}} = \frac{48}{2598960} \approx 0,000018469 \)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also P = P(1 Ass) + P(2 Asse) + P(3 Asse) + P(4 Asse) = 0,341.