Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Eine Maschine besteht aus zwei unabhängigen Teilen \(T_1\) und \(T_2\). Die Wahrscheinlichkeit, dass Teil 1 während eines Zeitraums störungsfrei arbeitet ist 80%, für Teil 2 ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 90%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur Teil 2 störungsfrei arbeitet? Nr. 3716
	\(2%\)
	\(18%\)
	\(72%\)
	\(98%\)
Lösungsweg Totale Wahrscheinlichkeit. \(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\) \(P(\overline{T_{1ok}} \quad und \quad T_{2ok})=P(\overline{T_{1ok}})\cdot P(T_{2ok})=0,18=18%\)

4 erreichbare Punkte

Eine Lieferung enthält 80 Glühbirnen, davon sind 6 defekt. Es wird eine zufällige Stichprobe von 8 Birnen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der entnommenen Birnen defekt ist? Nr. 4526
	32%
	42%
	52%
	62%
Lösungsweg Wenn 6 der 80 Glühbirnen defekt sind, funktionieren die restlichen 74 Stück. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass alle der acht entnommenen Birnen funktionieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{74}{80}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{73}{79}\), denn es sind noch 79 Birnen vorhanden, von denen 73 funktionieren. Folglich erhalten wir: \(P = \frac{74}{80} \cdot \frac{73}{79} \cdot \frac{72}{78} \cdot \frac{71}{77} \cdot \frac{70}{76}\cdot \frac{69}{75} \cdot \frac{68}{74} \cdot \frac{67}{73} \approx 0,52\) Etwas eleganter lässt sich die Lösung auch so schreiben: Anzahl der günstigen Ereignisse: \({74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}\) (wir ziehen zufällig 8 der 74 funktionierenden Glühbirnen und keine der 6 defekten) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({80 \choose 8}\) (wir ziehen zufällig 8 aus 80 Glühbirnen) Damit gilt: \(P = \frac{{74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}}{{80 \choose 8}} \approx 0,52\)

4 erreichbare Punkte

Eine Maschine besteht aus zwei unabhängigen Teilen \(T_1\) und \(T_2\). Die Wahrscheinlichkeit, dass Teil 1 während eines Zeitraums störungsfrei arbeitet ist 80%, für Teil 2 ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 90%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Teile ausfallen? Nr. 3717
	\(2%\)
	\(18%\)
	\(72%\)
	\(98%\)
Lösungsweg Totale Wahrscheinlichkeit. \(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\) \(P(\overline{T_{1ok}} \quad und \quad \overline{T_{2ok}})=P(\overline{T_{1ok}})\cdot P(\overline{T_{2ok}})=0,02=2%\)

4 erreichbare Punkte

Ein Multiple-Choice Test besteht aus 5 Fragen, bei jeder stehen 3 Antworten zur Auswahl, nur genau eine davon ist jeweils richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch zufälliges Raten alle 5 Fragen richtig zu beantworten? Nr. 3732
	\(1,23%\)
	\(0,41%\)
	\(0,87%\)
	\(2,83%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. \(P(X=5)=(\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \approx 0,0041 = 0,41%\)

4 erreichbare Punkte

Auf einer Hochzeitsfeier sind 30 Gäste. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben? Nr. 4521
	29%
	50%
	71%
	90%
Lösungsweg Wir berechnen die gesuchte Wahrscheinlichkeit über ihre Gegenwahrscheinlichkeit P, dass alle 30 Gäste an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die Anzahl der möglichen Fälle ist \(365^{30}\) (365 Tage für den ersten Gast, 365 Tage für den zweiten Gast, usw.). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot \ldots \cdot 336 = 365! / 335!\) (der erste Gast hat 365 Möglichkeiten, der zweite nur noch 364, da er nicht am selben Tag Geburtstag haben darf wie der erste, der dritte noch 363, usw.). Wegen P = "Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle" gilt also \(P = \frac{365!}{335! \cdot 365^{30}} \approx 0,2937\) . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit \(1-P = 0,7063\). Die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben, liegt also bei etwa 71%.

4 erreichbare Punkte

Eine Krankheit A tritt mit einer Häufigkeit von 0,01 auf. Krankheit B tritt mit der Häufigkeit 0,15 auf. Symptom S kann von beiden Krankheiten A und B hervorgerufen werden, es kann aber auch bei einem gesunden Menschen auftreten. Das Symptom S tritt bei der Krankheit A mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf, bei Krankheit B mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 und bei gesunden Menschen, die weder A noch B haben, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit Symptom S die Krankheit A hat? Nr. 3735
	\(4,2%\)
	\(8,7%\)
	\(11,9%\)
	\(17,4%\)
Lösungsweg Bayes. \(P(S)=P(A)P(S\|A) + P(B)P(B\|S) + P(C)P(C\|S) \approx 0,119\\ P(A\|S)=\frac{P(A)\cdot P(S\|A)}{P(S)} \approx 0,042 = 4,2%\)

4 erreichbare Punkte

Wie wahrscheinlich ist es, mit zwei fairen Würfeln eine Augensumme von Sieben zu würfeln? Nr. 4523
	1/6
	1/7
	4/36
	6/36
Lösungsweg Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Wir können also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme 7" bestimmen, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle berechnen: Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Fälle, wie ein Wurf mit zwei Würfeln ausgehen kann. Davon sind die Fälle (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1) günstig, da die Auganzahl hier Sieben beträgt. Insgesamt sind also 6 von 36 möglichen Fällen günstig, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1/6.

4 erreichbare Punkte

In einer Schraubenfabrik ist bei einer Maschine zur Fertigung von Schrauben der Anteil fehlerhafter Schrauben gleichbleibend bei 2%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 50 entnommenen Schrauben mindestens eine fehlerhafte Schraube? Nr. 3725
	\(24,5%\)
	\(63,58%\)
	\(36,4%\)
	\(92%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. \(P(X\geq 1) = 1 - P(X=0) = \\ 1 - (1-0,02)^{50} \approx 0,6358 = 63,58%\)

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