Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Es sei bekannt, dass 5% der Bevölkerung mit einer Viruserkrankung infiziert sind. Ein medizinischer Test erkennt Gesunde mit einer Erfolgsrate von 99% (Spezifität) und Kranke mit einer Erfolgsrate von 98% (Sensitivität). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei positivem Testergebnis dennoch gesund ist? Nr. 4534
	12%
	16%
	20%
	24%
Lösungsweg Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt: Wahrscheinlichkeit, gesund (d.h. nicht mit dem Virus infiziert) zu sein: P(G) = 0,95 Wahrscheinlichkeit, krank (d.h. mit dem Virus infiziert) zu sein: P(K) = 0,05 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person korrekt als gesund erkennt (d.h. negativ ausfällt): P(neg\|G) = 0,99 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person fälschlich für krank hält (d.h. positiv ausfällt): P(pos\|G) = 0,01 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person korrekt als krank erkennt (d.h. positiv ausfällt): P(pos\|K) = 0,98 Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person fälschlich für gesund hält (d.h. negativ ausfällt): P(neg\|K) = 0,02 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(G\|pos), dass eine Person gesund ist, unter der Bedingung, dass sie positiv getestet wurde. Aus dem Satz von Bayes folgt: \(P(G\|pos) = \frac{P(G) \cdot P(pos\|G)}{P(G) \cdot P(pos\|G) + P(K) \cdot P(pos\|K)} = \frac{0,95 \cdot 0,01}{0,95 \cdot 0,01 + 0,05 \cdot 0,98} \approx 0,1624\) Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch positives Testergebnis liegt also bei 16%.

4 erreichbare Punkte

In einer Fabrik wird ein Produkt aus drei Maschinen (A,B,C) hergestellt. Maschine A produziert 45% des Produkts, Maschine B 30% und Maschine C 25%. Aus Langzeittests weiß man, dass die Maschinen unterschiedliche Ausschusswahrscheinlichkeiten haben: Maschine A produziert 2%, Maschine B 3% und Maschine C 4% Ausschuss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgesondertes Produkt von Maschine C stammt? Nr. 3722
	\(35,7%\)
	\(45,7%\)
	\(55,7%\)
	\(27,8%\)
Lösungsweg Bayes. \(P(A)=0,45\\ P(B)=0,3\\ P(C)=0,25\\ P(ok\|A)=0,98\\ P(ok\|B)=0,97\\ P(ok\|C)=0,96\\ \) \(P(A)\cdot P(\overline{ok}\|A)+P(B)\cdot P(\overline{ok}\|B)+P(C)\cdot P(\overline{ok}\|C)=0,028=2,8%\) \(P(C\|\overline{ok})=\frac{P(C) \cdot P(\overline{ok}\|C)}{P(\overline{ok})}=\\ \frac{0,25 \cdot 0,04}{0,028} \approx 0,357 = 35,7%\)

4 erreichbare Punkte

Zwei Münzen sind gegeben, davon ist eine fair (Kopf: 50%, Zahl: 50%) und eine unfair. Für die unfaire Münze gilt: P(Kopf) = 0,1. Es wird eine beliebige Münze geworfen, das Ergebnis ist Kopf. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die geworfene Münze fair war? Nr. 3714
	\(83,3%\)
	\(66,6%\)
	\(57,3%\)
	\(48,6%\)
Lösungsweg Wir verwenden dazu den Satz von Bayes: M1 ... faire Münze: P(K)=0,5; P(Z)=0,5 M2 ... unfaire Münze: P(K)=0,1; P(Z)=0,9 \(P(M1\| K) = \frac{P(K\|M1) \cdot P(M1)}{P(K)} \approx 0,83 = 83,3%\) wobei \(P(K\|M_1)=0,5; \qquad P(M_1)=0,5; \qquad P(K)=0,3 \) ist.

4 erreichbare Punkte

In einer Schublade sind 10 einzelne schwarze und 6 einzelne weiße Socken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei farblich passende Socken zu ziehen, wenn man ohne hinzusehen zufällig zwei Socken auswählt? Nr. 4525
	1/8
	1/6
	1/4
	1/2
Lösungsweg Zwei farblich passende Socken erhält man, wenn man zwei schwarze oder zwei weiße Socken zieht. Die Wahrscheinlichkeit für zwei schwarze Socken ist \(P(schwarz) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{3}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Socken ist \(P(weiss) = \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} = \frac{1}{8}\). Insgesamt hat man also eine Chance von 50%, bei zweimaligem Ziehen ein farblich passendes Sockenpaar zu erhalten.

4 erreichbare Punkte

Wie wahrscheinlich ist es, mit zwei fairen Würfeln eine Augensumme von Sieben zu würfeln? Nr. 4523
	1/6
	1/7
	4/36
	6/36
Lösungsweg Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Wir können also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme 7" bestimmen, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle berechnen: Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Fälle, wie ein Wurf mit zwei Würfeln ausgehen kann. Davon sind die Fälle (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1) günstig, da die Auganzahl hier Sieben beträgt. Insgesamt sind also 6 von 36 möglichen Fällen günstig, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1/6.

4 erreichbare Punkte

Ein Gefäß enthält zwölf Kugeln, 5 Weiße und 7 Schwarze. Es werden daraus 5 Kugeln zufällig gezogen und zwar mit Zurücklegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass genau 3 schwarze Kugeln gezogen werden. Nr. 3726
	\(34,46%\)
	\(44,2%\)
	\(24,1%\)
	\(65,4%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. \(P(X=3)={(\frac{7}{12})^3}\cdot{(\frac{5}{12})^2} \cdot {5 \choose 3} \approx 0,3446 = 34,46%\)

4 erreichbare Punkte

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei fünf Würfen mit einer fairen Münze mindestens einmal Kopf fällt? Nr. 4533
	25/32
	27/32
	29/32
	31/32
Lösungsweg Es gibt \(2^5 = 32\) Möglichkeiten, wie die fünf Würfe ausgehen können (bei Beachtung der Reihenfolge). Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einmal Kopf fällt, ist \(P(1K) = \frac{{5 \choose 1}}{2^5} = \frac{5}{32}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Kopf fällt, ist \(P(2K) = \frac{{5 \choose 2}}{2^5} = \frac{10}{32}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Kopf fällt, ist \(P(3K) = \frac{{5 \choose 3}}{2^5} = \frac{10}{32}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass viermal Kopf fällt, ist \(P(4K) = \frac{{5 \choose 4}}{2^5} = \frac{5}{32}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass fünfmal Kopf fällt, ist \(P(5K) = \frac{{5 \choose 5}}{2^5} = \frac{1}{32}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten und beträgt folglich \(\frac{31}{32}\). Alternativer Lösungsweg: Es ist wesentlich einfacher, die Lösung über die Gegenwahrscheinlichkeit zu ermitteln, d.h. die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei fünf Würfen kein einziges Mal Kopf (und somit fünfmal Zahl) fällt. Diese Wahrscheinlichkeit ist \(P(5Z) = \frac{{5 \choose 0}}{2^5} = \frac{{5 \choose 5}}{2^5} = \frac{1}{32}\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(1 - P(5Z) = \frac{31}{32}\).

4 erreichbare Punkte

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem vollen Satz Spielkarten (52 Stück) fünf Karten zu ziehen und mindestens ein Ass auf der Hand zu haben (ohne Zurücklegen)? Nr. 4542
	ca. 2:3
	ca. 1:2
	ca. 1:3
	ca. 1:4
Lösungsweg Wir bestimmen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit \(\overline P\), dass man nach fünfmaligem Ziehen kein Ass auf der Hand hat: Anzahl der günstigen Ereignisse: \({48 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 der 48 Karten, die kein Ass sind) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten) Damit gilt: \(\overline P = \frac{{48 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,659\) Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P = 1-\overline P = 0,341\) und damit ca. 1:3. Alternativer Lösungsweg: Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeiten, dass wir genau ein, zwei, drei oder vier Asse ziehen, und summieren diese (wesentlich komplizierter als die erste Lösung!): \(P(1 Ass) = \frac{{4 \choose 1} \cdot {48 \choose 4}}{{52 \choose 5}}\approx 0,29947\) \(P(2 Asse) = \frac{{4 \choose 2} \cdot {48 \choose 3}}{{52 \choose 5}} = \frac{8684}{216580} \approx 0,03993 \) \(P(3 Asse) = \frac{{4 \choose 3} \cdot {48 \choose 2}}{{52 \choose 5}} = \frac{4512}{2598960} \approx 0,001736 \) \(P(4 Asse) = \frac{{4 \choose 4} \cdot {48 \choose 1}}{{52 \choose 5}} = \frac{48}{2598960} \approx 0,000018469 \) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also P = P(1 Ass) + P(2 Asse) + P(3 Asse) + P(4 Asse) = 0,341.

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