Binomialverteilung.

\(P(X \leq 2) = P(X=0) + P(=1) + P(X=2) = \)

\({50 \choose 0}\cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{50} + {50 \choose 1}\cdot 0,02^1 \cdot (1-0,02)^{49} + {50 \choose 2}\cdot 0,02^2 \cdot (1-0,02)^{48} =\\ 0,364 + 0,371 + 0,185 = 0,92 = 92% \)

Binomialverteilung.

\(P(X=5)=(\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \approx 0,0041 = 0,41%\)

Totale Wahrscheinlichkeit.
\(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\)

\(P(T_{1ok} \quad oder \quad T_{2ok})=P(T_{1ok})\cdot P(\overline{T_{2ok}}) + P(\overline{T_{1ok}})\cdot P(T_{2ok}) + P(T_{1ok})\cdot P(T_{2ok})=0,98=98%\)

oder

\(1 - P(\overline{T_{1ok}} \quad und \quad \overline{T_{2ok}})= 1 - P(\overline{T_{1ok}})\cdot P(\overline{T_{2ok}}) =0,98=98%\)

Zwei farblich passende Socken erhält man, wenn man zwei schwarze oder zwei weiße Socken zieht. Die Wahrscheinlichkeit für zwei schwarze Socken ist \(P(schwarz) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{3}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Socken ist \(P(weiss) = \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} = \frac{1}{8}\). Insgesamt hat man also eine Chance von 50%, bei zweimaligem Ziehen ein farblich passendes Sockenpaar zu erhalten.

Bayes.

\(P(T_{pos}|Tris)=0,92 \\ P(T_{neg}|\overline{Tris})=0,9 \\ P(Tris)=\frac{1}{800}=0,00125\)

\(P(Tris|T_{pos})=\frac{P(T_{pos}|Tris) \cdot P(Tris)}{P(T_{pos})}=\)

\(\frac{P(T_{pos}|Tris) \cdot P(Tris)}{P(Tris) \cdot P(T_{pos}|Tris) + P(\overline{Tris}) \cdot P(T_{pos}|\overline{Tris})} \approx 0,0114 = 1,14%\)

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \leq 2)= P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = \)

\(\frac{{7 \choose 5} \cdot {5 \choose 0}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 4} \cdot {5 \choose 1}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,689 = 68,9%\)

Totale Wahrscheinlichkeit.
\(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\)

\(P(\overline{T_{1ok}} \quad und \quad \overline{T_{2ok}})=P(\overline{T_{1ok}})\cdot P(\overline{T_{2ok}})=0,02=2%\)

Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Wir können also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme mindestens 10" bestimmen, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle berechnen: Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Fälle, wie ein Wurf mit zwei Würfeln ausgehen kann. Davon sind die Fälle (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5) und (6,6) günstig, da die Auganzahl hier mindestens 10 beträgt. Insgesamt sind also 6 von 36 möglichen Fällen günstig, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1/6.