Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem vollen Satz Spielkarten (52 Stück) zwei Asse und zwei Könige zu ziehen (ohne Zurücklegen)? Nr. 4538
	0,000133
	0,00133
	0,0133
	0,133
Lösungsweg Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}\) (wir ziehen zufällig 2 der 4 Könige und 2 der 4 Asse) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 aus 52 Karten) Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}}{{52 \choose 4}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 } = \frac{36}{270725} \approx 0,000133\) Alternativer Lösungsweg: Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein Ass ist, beträgt 4/52 (denn es sind alle vier Asse im Stapel). Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Karte ein Ass ist, beträgt 3/51 (denn es sind noch drei Asse im Stapel). Die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Karte ein König ist, beträgt 4/50 (denn es sind alle vier Könige im Stapel). Die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte Karte ein König ist, beträgt 3/49 (denn es sind noch drei Könige im Stapel). Weiterhin gibt es \({4 \choose 2} = 6\) Möglichkeiten für die Reihenfolge der beiden Asse und Könige (AAKK, AKAK, AKKA, KAAK, KAKA, KKAA). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 6 \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 0,000133\).

4 erreichbare Punkte

Beim Pokerspielen bezeichnet ein Flush eine Hand mit fünf Karten derselben Farbe. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei fünfmaligem Ziehen (ohne Zurücklegen) einen Flush zu erhalten? Nr. 4539
	2%
	0,2%
	0,02%
	0,002%
Lösungsweg Anzahl der günstigen Ereignisse: \(4 \cdot {13 \choose 5}\) (wir ziehen fünf der insgesamt 13 Karten einer Farbe; es gibt 4 Farben, daher multiplizieren wir mit 4) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 4 \cdot \frac{{13 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,00198\). Alternativer Lösungsweg: Die erste Karte ist beliebig, es gibt also 52 Möglichkeiten. Die zweite Karte muss dieselbe Farbe haben wie die erste, dafür gibt es noch 12 Möglichkeiten. Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte noch 11, 10, bzw. 9 Möglichkeiten. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 0,00198\).

4 erreichbare Punkte

Ein Multiple-Choice Test besteht aus 5 Fragen, bei jeder stehen 3 Antworten zur Auswahl, nur genau eine davon ist jeweils richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch zufälliges Raten mindestens 4 Fragen richtig zu beantworten? Nr. 3773
	\(15,74%\)
	\(4,53%\)
	\(24,86%\)
	\(32,68%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. \(P(X \geq 4)= P(X=4) + P(X=5)= \) \((\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 \cdot {5 \choose 4} + (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \)\(\approx 0,0453 = 4,53%\)

4 erreichbare Punkte

In einer Schraubenfabrik ist bei einer Maschine zur Fertigung von Schrauben der Anteil fehlerhafter Schrauben gleichbleibend bei 2%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 50 entnommenen Schrauben höchstens 2 fehlerhafte Schrauben? Nr. 3723
	\(24,5%\)
	\(29,8%\)
	\(36,4%\)
	\(92%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. \(P(X \leq 2) = P(X=0) + P(=1) + P(X=2) = \) \({50 \choose 0}\cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{50} + {50 \choose 1}\cdot 0,02^1 \cdot (1-0,02)^{49} + {50 \choose 2}\cdot 0,02^2 \cdot (1-0,02)^{48} =\\ 0,364 + 0,371 + 0,185 = 0,92 = 92% \)

4 erreichbare Punkte

In einer Schublade sind 10 einzelne schwarze und 6 einzelne weiße Socken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei farblich passende Socken zu ziehen, wenn man ohne hinzusehen zufällig zwei Socken auswählt? Nr. 4525
	1/8
	1/6
	1/4
	1/2
Lösungsweg Zwei farblich passende Socken erhält man, wenn man zwei schwarze oder zwei weiße Socken zieht. Die Wahrscheinlichkeit für zwei schwarze Socken ist \(P(schwarz) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{3}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Socken ist \(P(weiss) = \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} = \frac{1}{8}\). Insgesamt hat man also eine Chance von 50%, bei zweimaligem Ziehen ein farblich passendes Sockenpaar zu erhalten.

4 erreichbare Punkte

Eine Lieferung enthält 80 Glühbirnen, davon sind 6 defekt. Es wird eine zufällige Stichprobe von 8 Birnen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der entnommenen Birnen defekt ist? Nr. 4526
	32%
	42%
	52%
	62%
Lösungsweg Wenn 6 der 80 Glühbirnen defekt sind, funktionieren die restlichen 74 Stück. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass alle der acht entnommenen Birnen funktionieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{74}{80}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{73}{79}\), denn es sind noch 79 Birnen vorhanden, von denen 73 funktionieren. Folglich erhalten wir: \(P = \frac{74}{80} \cdot \frac{73}{79} \cdot \frac{72}{78} \cdot \frac{71}{77} \cdot \frac{70}{76}\cdot \frac{69}{75} \cdot \frac{68}{74} \cdot \frac{67}{73} \approx 0,52\) Etwas eleganter lässt sich die Lösung auch so schreiben: Anzahl der günstigen Ereignisse: \({74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}\) (wir ziehen zufällig 8 der 74 funktionierenden Glühbirnen und keine der 6 defekten) Anzahl der möglichen Ereignisse: \({80 \choose 8}\) (wir ziehen zufällig 8 aus 80 Glühbirnen) Damit gilt: \(P = \frac{{74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}}{{80 \choose 8}} \approx 0,52\)

4 erreichbare Punkte

Beim Pokerspielen bezeichnet ein Royal Flush eine Hand mit den fünf höchsten aufeinanderfolgenden Karten derselben Farbe (also Ass, König, Dame, Bube und 10 derselben Farbe). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nach fünfmaligem Ziehen (ohne Zurücklegen) einen Royal Flush auf der Hand zu haben? Nr. 4541
	0,15%
	0,015%
	0,0015%
	0,00015%
Lösungsweg Für die erste Karte gibt es 20 Möglichkeiten (4 Farben, 5 Karten je Farbe). Für die zweite Karte gibt es nur noch 4 Möglichkeiten, da die Farbe durch die erste Karte bereits festgelegt ist. Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte nur noch 3, 2 bzw. 1 Möglichkeit. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{20 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 1,54 \cdot 10^{-6}\), das sind ca. 0,00015%.

4 erreichbare Punkte

Ein Gefäß enthält zwölf Kugeln, 5 Weiße und 7 Schwarze. Es werden daraus 5 Kugeln zufällig gezogen und zwar mit Zurücklegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass maximal 2 weiße Kugeln gezogen werden. Nr. 3728
	\(34,46%\)
	\(44,2%\)
	\(24,1%\)
	\(65,4%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. \(P(X\leq 2)=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \) \({(\frac{5}{12})^0}\cdot{(\frac{7}{12})^5} \cdot {5 \choose 0} + {(\frac{5}{12})^1}\cdot{(\frac{7}{12})^4} \cdot {5 \choose 1} + {(\frac{5}{12})^2}\cdot{(\frac{7}{12})^3} \cdot {5 \choose 2} \) \(\approx 0,654 = 65,4%\)

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