Wenn 6 der 80 Glühbirnen defekt sind, funktionieren die restlichen 74 Stück. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass alle der acht entnommenen Birnen funktionieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{74}{80}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{73}{79}\), denn es sind noch 79 Birnen vorhanden, von denen 73 funktionieren. Folglich erhalten wir: \(P = \frac{74}{80} \cdot \frac{73}{79} \cdot \frac{72}{78} \cdot \frac{71}{77} \cdot \frac{70}{76}\cdot \frac{69}{75} \cdot \frac{68}{74} \cdot \frac{67}{73} \approx 0,52\)

Etwas eleganter lässt sich die Lösung auch so schreiben:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}\) (wir ziehen zufällig 8 der 74 funktionierenden Glühbirnen und keine der 6 defekten)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({80 \choose 8}\) (wir ziehen zufällig 8 aus 80 Glühbirnen)
Damit gilt: \(P = \frac{{74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}}{{80 \choose 8}} \approx 0,52\)

Für die erste Karte gibt es 20 Möglichkeiten (4 Farben, 5 Karten je Farbe).
Für die zweite Karte gibt es nur noch 4 Möglichkeiten, da die Farbe durch die erste Karte bereits festgelegt ist.
Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte nur noch 3, 2 bzw. 1 Möglichkeit.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{20 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 1,54 \cdot 10^{-6}\), das sind ca. 0,00015%.

Wir verwenden dazu den Satz von Bayes:

M1 ... faire Münze: P(K)=0,5; P(Z)=0,5
M2 ... unfaire Münze: P(K)=0,1; P(Z)=0,9

\(P(M1| K) = \frac{P(K|M1) \cdot P(M1)}{P(K)} \approx 0,83 = 83,3%\)

 wobei \(P(K|M_1)=0,5; \qquad P(M_1)=0,5; \qquad P(K)=0,3 \)  ist. 

Binomialverteilung.

\(P(X=3)={(\frac{7}{12})^3}\cdot{(\frac{5}{12})^2} \cdot {5 \choose 3} \approx 0,3446 = 34,46%\)

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
Wahrscheinlichkeit, gesund (d.h. nicht mit dem Virus infiziert) zu sein: P(G) = 0,95
Wahrscheinlichkeit, krank (d.h. mit dem Virus infiziert) zu sein: P(K) = 0,05
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person korrekt als gesund erkennt (d.h. negativ ausfällt): P(neg|G) = 0,99
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person fälschlich für krank hält (d.h. positiv ausfällt): P(pos|G) = 0,01
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person korrekt als krank erkennt (d.h. positiv ausfällt): P(pos|K) = 0,98
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person fälschlich für gesund hält (d.h. negativ ausfällt): P(neg|K) = 0,02

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(K|neg), dass eine Person krank ist, unter der Bedingung, dass sie negativ getestet wurde. Aus dem Satz von Bayes folgt (wegen \(\overline K = G\)):
\(P(K|neg) = \frac{P(K) \cdot P(neg|K)}{P(K) \cdot P(neg|K) + P(G) \cdot P(neg|G)} = \frac{0,05 \cdot 0,02}{0,05 \cdot 0,02 + 0,95 \cdot 0,99} \approx 0,001062\)

Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch negatives Testergebnis liegt also bei 0,1%.

Binomialverteilung.

\(P(X=5)=(\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \approx 0,0041 = 0,41%\)

Es gibt \(2^5 = 32\) Möglichkeiten, wie die fünf Würfe ausgehen können (bei Beachtung der Reihenfolge).
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einmal Kopf fällt, ist \(P(1K) = \frac{{5 \choose 1}}{2^5} = \frac{5}{32}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Kopf fällt, ist \(P(2K) = \frac{{5 \choose 2}}{2^5} = \frac{10}{32}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Kopf fällt, ist \(P(3K) = \frac{{5 \choose 3}}{2^5} = \frac{10}{32}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass viermal Kopf fällt, ist \(P(4K) = \frac{{5 \choose 4}}{2^5} = \frac{5}{32}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass fünfmal Kopf fällt, ist \(P(5K) = \frac{{5 \choose 5}}{2^5} = \frac{1}{32}\).
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten und beträgt folglich \(\frac{31}{32}\).

Alternativer Lösungsweg: Es ist wesentlich einfacher, die Lösung über die Gegenwahrscheinlichkeit zu ermitteln, d.h. die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei fünf Würfen kein einziges Mal Kopf (und somit fünfmal Zahl) fällt. Diese Wahrscheinlichkeit ist \(P(5Z) = \frac{{5 \choose 0}}{2^5} = \frac{{5 \choose 5}}{2^5} = \frac{1}{32}\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(1 - P(5Z) = \frac{31}{32}\).

Wir bestimmen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit \(\overline P\), dass man nach fünfmaligem Ziehen kein Ass auf der Hand hat:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({48 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 der 48 Karten, die kein Ass sind)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(\overline P = \frac{{48 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,659\)
Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P = 1-\overline P = 0,341\) und damit ca. 1:3.

Alternativer Lösungsweg:
Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeiten, dass wir genau ein, zwei, drei oder vier Asse ziehen, und summieren diese (wesentlich komplizierter als die erste Lösung!):

\(P(1 Ass) = \frac{{4 \choose 1} \cdot {48 \choose 4}}{{52 \choose 5}}\approx 0,29947\)

\(P(2 Asse) = \frac{{4 \choose 2} \cdot {48 \choose 3}}{{52 \choose 5}} = \frac{8684}{216580} \approx 0,03993\)

\(P(3 Asse) = \frac{{4 \choose 3} \cdot {48 \choose 2}}{{52 \choose 5}} = \frac{4512}{2598960} \approx 0,001736\)

\(P(4 Asse) = \frac{{4 \choose 4} \cdot {48 \choose 1}}{{52 \choose 5}} = \frac{48}{2598960} \approx 0,000018469\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also P = P(1 Ass) + P(2 Asse) + P(3 Asse) + P(4 Asse) = 0,341.