Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}\) (wir ziehen zufällig 2 der 4 Könige und 2 der 4 Asse)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}}{{52 \choose 4}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 } = \frac{36}{270725} \approx 0,000133\)

Alternativer Lösungsweg:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein Ass ist, beträgt 4/52 (denn es sind alle vier Asse im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Karte ein Ass ist, beträgt 3/51 (denn es sind noch drei Asse im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Karte ein König ist, beträgt 4/50 (denn es sind alle vier Könige im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte Karte ein König ist, beträgt 3/49 (denn es sind noch drei Könige im Stapel).
Weiterhin gibt es \({4 \choose 2} = 6\) Möglichkeiten für die Reihenfolge der beiden Asse und Könige (AAKK, AKAK, AKKA, KAAK, KAKA, KKAA).
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 6 \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 0,000133\).

Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 2}\) (wir ziehen zufällig 2 der 4 Damen)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 2}\) (wir ziehen zufällig 2 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 2}}{{52 \choose 2}} = \frac{4 \cdot 3}{52 \cdot 51} = \frac{1}{221} \approx 0,0045\)

Alternativer Lösungsweg:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte eine Dame ist, beträgt 4/52 (denn es sind vier Damen im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Karte eine Dame ist, beträgt 3/51 (denn es sind noch drei Damen im Stapel, der nun aus 51 Karten besteht). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{4 \cdot 3}{52 \cdot 51} = \frac{1}{221} \approx 0,0045\).

Binomialverteilung.

\(P(X=3)={(\frac{7}{12})^3}\cdot{(\frac{5}{12})^2} \cdot {5 \choose 3} \approx 0,3446 = 34,46%\)

Wir verwenden dazu den Satz von Bayes:

M1 ... faire Münze: P(K)=0,5; P(Z)=0,5
M2 ... unfaire Münze: P(K)=0,1; P(Z)=0,9

\(P(M1| K) = \frac{P(K|M1) \cdot P(M1)}{P(K)} \approx 0,83 = 83,3%\)

 wobei \(P(K|M_1)=0,5; \qquad P(M_1)=0,5; \qquad P(K)=0,3 \)  ist. 

Zwei farblich passende Socken erhält man, wenn man zwei schwarze oder zwei weiße Socken zieht. Die Wahrscheinlichkeit für zwei schwarze Socken ist \(P(schwarz) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{3}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Socken ist \(P(weiss) = \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} = \frac{1}{8}\). Insgesamt hat man also eine Chance von 50%, bei zweimaligem Ziehen ein farblich passendes Sockenpaar zu erhalten.

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \leq 2)= P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = \)

\(\frac{{7 \choose 5} \cdot {5 \choose 0}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 4} \cdot {5 \choose 1}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,689 = 68,9%\)

Wir bestimmen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit \(\overline P\), dass man nach fünfmaligem Ziehen kein Ass auf der Hand hat:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({48 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 der 48 Karten, die kein Ass sind)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(\overline P = \frac{{48 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,659\)
Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P = 1-\overline P = 0,341\) und damit ca. 1:3.

Alternativer Lösungsweg:
Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeiten, dass wir genau ein, zwei, drei oder vier Asse ziehen, und summieren diese (wesentlich komplizierter als die erste Lösung!):

\(P(1 Ass) = \frac{{4 \choose 1} \cdot {48 \choose 4}}{{52 \choose 5}}\approx 0,29947\)

\(P(2 Asse) = \frac{{4 \choose 2} \cdot {48 \choose 3}}{{52 \choose 5}} = \frac{8684}{216580} \approx 0,03993\)

\(P(3 Asse) = \frac{{4 \choose 3} \cdot {48 \choose 2}}{{52 \choose 5}} = \frac{4512}{2598960} \approx 0,001736\)

\(P(4 Asse) = \frac{{4 \choose 4} \cdot {48 \choose 1}}{{52 \choose 5}} = \frac{48}{2598960} \approx 0,000018469\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also P = P(1 Ass) + P(2 Asse) + P(3 Asse) + P(4 Asse) = 0,341.

Binomialverteilung.

\(P(X \geq 4)= P(X=4) + P(X=5)= \)

\((\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 \cdot {5 \choose 4} + (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \)\(\approx 0,0453 = 4,53%\)