X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet somit F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 5) = F(5) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(P(X>x) = 0,98 ? \\ P(X \leq x) = 0,02 \Rightarrow \Phi(Z) = 0,02 \Rightarrow 1 - \Phi(-Z) = 0,02 \Rightarrow \Phi(-Z) = 0,98\\ Z=-2,06 = \frac{x-0,8}{0,06} \Rightarrow x= 0,6764\)

Die ZV ist binomialveteilt. Verwendung der Binomialverteilung ergibt: \(P(x\geq 10)=0,9953...\approx 0,995\)

Anderer "händischer" Weg:

Approximation der (diskreten) Binomialverteilung durch die (stetige) Normalverteilung: 

n ... Stichprobe = 1000
p ... Anteil fehlerhafte Stück = 0,02
\(\mu = np = 20\\ \sigma^2 = np(1-p) = 19,6 \Rightarrow \sigma \approx 4,43\\\)

\( P(X\geq 10)\approx 1-\Phi(\frac{9,5 - 20}{4,43})=1-\Phi( -2,37)\approx 0.991\) , wobei \(Z= \frac{10-0,5 - 20}{4,43} \approx -2,37\) ist. 

Vorsicht: Hier wurde die Stetigkeitskorrektur verwendet, die aber oftmals auch weggelassen wird, vor allem bei großem n. 

Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gerade der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion erhält man folglich durch Integration der Dichtefunktion; umgekehrt ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Genauer: Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion über dem Bereich \((-\infty;\, x)\) gerade der Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt (d.h. dass X < x gilt), und damit dem Wert der Verteilungsfunktion F(x) = P(X < x). Folglich gilt: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt\)

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z = \frac{X- \mu}{\sigma} = \frac{48-50}{1}=-2 \\ P(X<48) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1-0,977 = 0,023 = 2,3%\)

Gegeben ist ein einseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert \(\mu\) eines normalverteilten Merkmals bei bekannter Standardabweichung \(\sigma\). Die Formel für das nach oben begrenzte Konfindenzintervall lautet \((-\infty; \; \overline x + z_{p} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ]\). Die obere Intervallgrenze ist vorgegeben als 499,9; wir suchen das passende p-Quantil der Standardnormalverteilung, also den Wert p, für welchen gilt: \(\overline x + z_{p} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 499,9\). Auflösen nach \(z_p\) ergibt \(z_p = (499,9 - \overline x) \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sigma}\). Mit \(\overline x = 497,5\); \(\sigma = 5\) und n = 10 folgt \(z_p = (499,9 - 497,5) \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 2,4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 1,51789\). Der Tabelle für die Standardnormalverteilung entnehmen wir p=0,93548. Der Erwartungswert liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 93,5% unterhalb des Sollgewichts von 500 Gramm.

\(P(X > 2) = 1-P(X \leq 2) = 1-F(2) = 1-(1-e^{-6}) = e^{-6} = 0,0025\)

Jede Wartezeit zwischen 0 und 15 Minuten ist gleich wahrscheinlich. Folglich ist X gleichverteilt im Intervall (0;15) und die Dichtefunktion hat in diesem Bereich einen konstanten Wert >0 ("Rechteckverteilung"). Da die Fläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss (denn irgendeinen Wert zwischen 0 und 15 nimmt f(x) auf jeden Fall an), gilt f(x) = 1/15 für 0 < x < 15 und f(x) = 0 sonst.