Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(\Phi(Z) = 0,9 \Rightarrow Z=1,29\\ Z = \frac{X-50}{20} \Rightarrow X = 75,8 \)

Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\) für a < x < b und F(x)=0 für \(x \leq a\) bzw. F(x) = 1 für \(x \geq b\). Wegen a=0 und b=6 gilt hier \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0<x<6.

Die Anzahl X der fehlerhaft übertragenen Bit ist binomialverteilt mit \(n=10^6\) und \(p=10^{-4}\).
Wegen \(np(1-p) = 10^6 \cdot 10^{-4} \cdot 0,9999 = 99,99 > 9\) können wir die Normalverteilung als Näherung verwenden mit \(\mu = np = 100\) und \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = 9,9995\): 

\(F_{Binomial}(x) = F_{Normal}(x+0,5) = \Phi \left\( \frac{x+0,5-\mu}{\sigma} \right\) = \Phi \left\( \frac{x+0,5-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right\)\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Übertragen von einer Million Bit mehr als 80 Bit kippen, ist also ungefähr:

X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\) und \(P(X \geq x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)\) (*). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 10) = 1-F(10) = 1-\frac{10}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

(*) Anmerkung: Bei einer stetigen Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit, exakt einen vorgegebenen Wert x anzunehmen,
gleich Null; daraus folgt \(P(X \leq x) = P(X < x)\) und \(P(X \geq x) = P(X > x)\).

Die Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt; Erwartungswert und Varianz addieren sich ebenso
(Letzteres gilt sogar für beliebig verteilte unabhängige Zufallsvariable).

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(P(X<48,5) + P(X>51,5) \\ Z_1 = \frac{X_1 - \mu}{\sigma} = \frac{48,5-50}{1}=-1,5 \\ Z_2 = \frac{X_2 - \mu}{\sigma} = \frac{51,5-50}{1}=1,5 \)

\(P(X<48,5) = \Phi(-1,5) = 1 - \Phi(1,5) \approx 0,067 \\ \\ P(X>51,5) = 1- P(X \leq 51,5) = 1- \Phi(1,5) \approx 0,067\)

Die Augensummen der einzelnen Würfel sind paarweise unabhängig und alle identisch verteilt (nämlich gleichverteilt). Die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (also die Augensumme aller n Würfel) ist nach dem zentralen Grenzwertsatz normalverteilt. Die Normalverteilung kann für große n also auch als Näherung von diskreten Zufallsvariablen verwendet werden.

\(f(x)=F^{\prime}(x)\)

Die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.