Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Stetige Verteilungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Sei X eine stetige Zufallsvariable. Welche Ausssagen sind (unter gewissen Voraussetzungen) korrekt? Nr. 4575
	Die Dichtefunktion erhält man durch Ableitung der Verteilungsfunktion.
	Die Dichtefunktion erhält man durch Integration der Verteilungsfunktion.
	Die Verteilungsfunktion erhält man durch Ableitung der Dichtefunktion.
	Die Verteilungsfunktion erhält man durch Integration der Dichtefunktion.
Lösungsweg Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gerade der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion erhält man folglich durch Integration der Dichtefunktion; umgekehrt ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion. Genauer: Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion über dem Bereich \((-\infty;\, x)\) gerade der Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt (d.h. dass X < x gilt), und damit dem Wert der Verteilungsfunktion F(x) = P(X < x). Folglich gilt: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt\)

4 erreichbare Punkte

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion \(F(x) = 1-e^{-3x}\) für \(x \geq 0\) und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Lebensdauer des Bauteils höchstens 1 Jahr? Nr. 4576
	35%
	55%
	75%
	95%
Lösungsweg \(F(1) = 1-e^{-3} = 0,95\)

4 erreichbare Punkte

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 5 Minuten auf den Bus warten muss? Nr. 4572
	1/2
	1/3
	1/4
	1/5
Lösungsweg X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet somit F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 5) = F(5) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

4 erreichbare Punkte

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert \(\mu=50\,g\) und Standardabweichung \(\sigma=1,0\,g\) folgen. Berechnen Sie den Anteil der Tafeln, deren Masse um mehr als \(1,5\,g\) vom Mittelwert abweicht. Nr. 3756
	\(2,86%\)
	\(13,4%\)
	\(49,2%\)
	\(52,7%\)
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. \(P(X<48,5) + P(X>51,5) \\ Z_1 = \frac{X_1 - \mu}{\sigma} = \frac{48,5-50}{1}=-1,5 \\ Z_2 = \frac{X_2 - \mu}{\sigma} = \frac{51,5-50}{1}=1,5 \) \(P(X<48,5) = \Phi(-1,5) = 1 - \Phi(1,5) \approx 0,067 \\ \\ P(X>51,5) = 1- P(X \leq 51,5) = 1- \Phi(1,5) \approx 0,067\)

4 erreichbare Punkte

Die Lebensdauer eines radioaktiven \(C_{14}\) Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion \(F(t)= 1-e^{-0.00012t}\) (für \(t>0\) ) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(T>5000)\). Nr. 3751
	\(11,3%\)
	\(23,8%\)
	\(54,9%\)
	\(47,5%\)
Lösungsweg \(P(T > t) = 1 - P(T \leq t) = 1- F(T)\\ 1 - P(t \leq 5000) = 1- (1-e^{-0.00012\cdot 5000} )= e^{-0,6} \approx 0,549 = 54,9%\)

4 erreichbare Punkte

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert \(\mu=50\,g\) und Standardabweichung \(\sigma=1,0\,g\) folgen. Berechnen Sie den Anteil der Riegeln, deren Masse mehr als 51g beträgt. Nr. 3755
	\(20,81%\)
	\(25,27%\)
	\(28,14%\)
	\(15,9%\)
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{51-50}{1}= 1 \\ P(X>51) = 1 - P(X \leq 51) = 1 - \Phi(1) \approx 1-0,841 = 0,159 = 15,9%\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x) im Bereich 0<x<6! Nr. 4563
	\(F(x) = \frac{x}{6}\)
	\(F(x) = \frac{6}{x}\)
	\(F(x) = \frac{x^2}{6}\)
	\(F(x) = \frac{1}{6}\)
Lösungsweg Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\) für a < x < b und F(x)=0 für \(x \leq a\) bzw. F(x) = 1 für \(x \geq b\). Wegen a=0 und b=6 gilt hier \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0<x<6.

4 erreichbare Punkte

Die erreichte Punkteanzahl bei einer Prüfung ist näherungsweise normalverteilt mit \(\mu = 50\) Punkten und \(\sigma= 20\) Punkten. Über welche Punktezahl kommen höchstens 10% der Geprüften? Nr. 3761
	34 Punkte
	68 Punkte
	75 Punkte
	81 Punkte
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. \(\Phi(Z) = 0,9 \Rightarrow Z=1,29\\ Z = \frac{X-50}{20} \Rightarrow X = 75,8 \)

4 erreichbare Punkte

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