Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\) für a < x < b und F(x)=0 für \(x \leq a\) bzw. F(x) = 1 für \(x \geq b\). Wegen a=0 und b=6 gilt hier \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0<x<6.

Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = 1/(b-a) für \(0 \leq x \leq 6\) und f(x) = 0 sonst (das folgt daraus, dass die Gesamtfläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss). Wegen a=0 und b=6 gilt hier f(x) = 1/6 für \(0 \leq x \leq 6\) und f(x) = 0 sonst.

Die Verteilungsfunktion von X ist \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: \(P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05\)

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{51-50}{1}= 1 \\ P(X>51) = 1 - P(X \leq 51) = 1 - \Phi(1) \approx 1-0,841 = 0,159 = 15,9%\)

\(P(T \leq t) = F_T(t)=F(T)\\ P(t \leq 100) = 1-e^{-0.00012\cdot 100} = 1- e^{-0,012} \approx 0,012 = 1,2%\)

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{0,7 - 0,8}{0,06} \approx -1,67\\ P(X>0,7) = 1 - P(X \leq 0,7) = 1 - \Phi(-1,67) = 1- (1 - \Phi(1,67)) = \Phi(1,67) \approx 0,9525\)

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(\Phi(Z) = 0,9 \Rightarrow Z=1,29\\ Z = \frac{X-50}{20} \Rightarrow X = 75,8 \)

X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet somit F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 5) = F(5) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).