Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Stetige Verteilungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert $μ = 50 g$ und Standardabweichung $σ = 1, 0 g$ folgen. Berechnen Sie den Anteil der Tafeln, deren Masse um mehr als $1, 5 g$ vom Mittelwert abweicht. Nr. 3756
	$2, 86$
	$13, 4$
	$49, 2$
	$52, 7$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $P (X < 48, 5) + P (X > 51, 5) Z_{1} = \frac{X_{1} - μ}{σ} = \frac{48, 5 - 50}{1} = - 1, 5 Z_{2} = \frac{X_{2} - μ}{σ} = \frac{51, 5 - 50}{1} = 1, 5$ $P (X < 48, 5) = Φ (- 1, 5) = 1 - Φ (1, 5) \approx 0, 067 P (X > 51, 5) = 1 - P (X \leq 51, 5) = 1 - Φ (1, 5) \approx 0, 067$

4 erreichbare Punkte

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert $μ = 50 g$ und Standardabweichung $σ = 1, 0 g$ folgen. Berechnen Sie den Anteil der Riegeln, deren Masse mehr als 51g beträgt. Nr. 3755
	$20, 81$
	$25, 27$
	$28, 14$
	$15, 9$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{51 - 50}{1} = 1 P (X > 51) = 1 - P (X \leq 51) = 1 - Φ (1) \approx 1 - 0, 841 = 0, 159 = 15, 9$

4 erreichbare Punkte

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert $μ = 50 g$ und Standardabweichung $σ = 2, 0 g$ folgen. Wie muss $c$ gewählt werden, damit 95% der Tafeln in dem Intervall $[μ - c; μ + c]$ liegen? Nr. 3757
	$c = 1, 96$
	$c = 0, 05$
	$c = 3, 92$
	$c = 4, 46$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $Φ (\frac{c}{σ}) - Φ (- \frac{c}{σ}) = 0, 95$ $Φ (\frac{c}{2}) - (1 - Φ (\frac{c}{2})) = 0, 95 U m f o r m e n n a c h Φ (\frac{c}{2}) Φ (\frac{c}{2}) = (1 + 0.95) / 2 = 0.975$ Wert aus für $\frac{c}{2}$ aus Tabelle ablesen: $\frac{c}{2} = 1, 96 c = 3, 92$

4 erreichbare Punkte

Eine Kaffeekonsumentin will anhand einer zufälligen Stichprobe von 10 Kaffeepackungen feststellen, ob das Sollgewicht von 500 Gramm systematisch unterschritten wird. Ihre Stichprobe hat den Mittelwert $\overset{―}{x} = 497, 5$ . Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält das Intervall $(- \infty; 499, 9]$ den Erwartungswert des Abfüllgewichts? Annahme: Das Abfüllgewicht X ist normalverteilt mit $σ = 5$ Gramm. Nr. 4609
	90,2%
	91,3%
	92,4%
	93,5%
Lösungsweg Gegeben ist ein einseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert $μ$ eines normalverteilten Merkmals bei bekannter Standardabweichung $σ$ . Die Formel für das nach oben begrenzte Konfindenzintervall lautet $(- \infty; \overset{―}{x} + z_{p} \frac{σ}{\sqrt{n}}]$ . Die obere Intervallgrenze ist vorgegeben als 499,9; wir suchen das passende p-Quantil der Standardnormalverteilung, also den Wert p, für welchen gilt: $\overset{―}{x} + z_{p} \frac{σ}{\sqrt{n}} = 499, 9$ . Auflösen nach $z_{p}$ ergibt $z_{p} = (499, 9 - \overset{―}{x}) \cdot \frac{\sqrt{n}}{σ}$ . Mit $\overset{―}{x} = 497, 5$ ; $σ = 5$ und n = 10 folgt $z_{p} = (499, 9 - 497, 5) \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 2, 4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 1, 51789$ . Der Tabelle für die Standardnormalverteilung entnehmen wir p=0,93548. Der Erwartungswert liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 93,5% unterhalb des Sollgewichts von 500 Gramm.

4 erreichbare Punkte

Die Lebensdauer eines radioaktiven $C_{14}$ Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion $F (t) = 1 - e^{- 0.00012 t}$ (für $t > 0$ ) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $P (T > 5000)$ . Nr. 3751
	$11, 3$
	$23, 8$
	$54, 9$
	$47, 5$
Lösungsweg $P (T > t) = 1 - P (T \leq t) = 1 - F (T) 1 - P (t \leq 5000) = 1 - (1 - e^{- 0.00012 \cdot 5000}) = e^{- 0, 6} \approx 0, 549 = 54, 9$

4 erreichbare Punkte

Ein Unternehmen hat Kunden in verschiedenen Altersgruppen. 10% der Kunden fallen in Altersgruppe A1, 60% in A2 und 30% in A3. Kunden dieser drei Altersgruppen wurden nach einem neuen Produkt befragt. Laut Umfrage würden 70% der Altersgruppe A1, 50% der Altersgruppe A2 und 40% der Altersgruppe A3 das neue Produkt kaufen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Kunde Käufer des neuen Produkts wird? Nr. 3749
	24,5%
	45,3%
	49%
	72,8%
Lösungsweg Totale Wahrscheinlichkeit. $P (K) = P (A 1) \cdot P (K \| A_{1}) + P (A 2) \cdot P (K \| A_{2}) + P (A 3) \cdot P (K \| A_{3}) = 0, 1 \cdot 0, 7 + 0, 6 \cdot 0, 5 + 0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 49 = 49$

4 erreichbare Punkte

Die Lebensdauer eines radioaktiven $C_{14}$ Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion $F (t) = 1 - e^{- 0.00012 t}$ (für $t > 0$ ) Bestimmen Sie die Halbwertszeit von $^{14} C$ , also die Zeit $t_{\frac{1}{2}}$ für die $F (t_{\frac{1}{2}}) = 0, 5$ . gilt Nr. 3752
	$t_{\frac{1}{2}} = 1756 J a h r e$
	$t_{\frac{1}{2}} = 2894 J a h r e$
	$t_{\frac{1}{2}} = 4296 J a h r e$
	$t_{\frac{1}{2}} = 5776 J a h r e$
Lösungsweg $F (t_{\frac{1}{2}}) = 1 - e^{- 0, 00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} e^{- 0, 00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} - 0, 00012 \cdot t_{\frac{1}{2}} = \ln \frac{1}{2}$ $t_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln 2}{- 0, 00012} \approx 5776$

4 erreichbare Punkte

Die erreichte Punkteanzahl bei einer Prüfung ist näherungsweise normalverteilt mit $μ = 50$ Punkten und $σ = 20$ Punkten. Über welche Punktezahl kommen höchstens 10% der Geprüften? Nr. 3761
	34 Punkte
	68 Punkte
	75 Punkte
	81 Punkte
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $Φ (Z) = 0, 9 \Rightarrow Z = 1, 29 Z = \frac{X - 50}{20} \Rightarrow X = 75, 8$

4 erreichbare Punkte

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Auch in diesem Semester für alle FHTW Studierenen wieder verfügbar: Der Mathe-Support

Mathematik lernen ist eine Herausforderung, vor allem im Eigenstudium! Sie tun sich schwer beim Lesen von mathematischen Skripten oder kommen bei den Übungsaufgaben nicht weiter? Vielleicht wollen Sie auch einfach nicht alleine, sondern lieber in einer Gruppe lernen? Dann kommen Sie zum Mathe-Support!

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Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

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