Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Stetige Verteilungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bei Marmeladengläsern ist das Abfüllgewicht normalverteilt mit \(\mu\) = 200 Gramm und \(\sigma\) = 5 Gramm. Legen Sie den Toleranzbereich \([\mu -c;\;\; \mu +c]\) fest, in den 90% aller Abfüllgewichte fallen! Nr. 4600
	[190; 210]
	[192,78; 208,22]
	[195; 205]
	[198,76; 201,24]
Lösungsweg Wenn 90% der Abfüllgewichte innerhalb des Intervalls [200-c; 200+c] liegen sollen, dann liegen links von 200-c und rechts von 200+c jeweils 5% aller Abfüllgewichte. Wir suchen also die Quantile \(x_{0,05}\) und \(x_{0,95}\), welche wir mittels der Quantile \(z_{0,05}\) bzw. \(z_{0,95}\) der Standardnormalverteilung berechnen (bzw. der Tabelle entnehmen). Wegen der Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung gilt außerdem \(z_p = -z_{1-p}\): \(x_{0,05} = \sigma \cdot z_{0,05} + \mu = \sigma \cdot (- z_{0,95}) + \mu = 5 \cdot (-1,645) + 200 = 191,775 \\ x_{0,95} = \sigma \cdot z_{0,95} + \mu = 5 \cdot 1,645 + 200 = 208,225\) 90% aller Abfüllgewichte liegen also im Bereich zwischen 191,78 und 208,22 Gramm (c = 8,225). Alternativer Lösungsweg: Wir suchen den Wert c, für den die Verteilungsfunktion an der Stelle 200+c den Wert 0,95 annimmt (denn das heißt, dass 95% der Abfüllgewichte kleiner oder gleich 200 + c sind): F(200+c) = 0,95 Auch hier nutzen wir wieder die Umrechnung auf die Standardnormalverteilung, damit wir die Tabelle verwenden können: \(F(x) = \Phi( \frac{x-\mu}{\sigma} ) = \Phi( \frac{x-200}{5} ) = 0,95\) Setzt man x=200+c ein, so folgt \(\Phi(\frac{c}{5}) = 0,95\). Der Tabelle entnehmen wir c/5 = 1,645, somit ist c = 8,225 und das gesuchte Intervall lautet [191,78; 208,22].

4 erreichbare Punkte

Die Lebensdauer eines radioaktiven \(C_{14}\) Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion \(F(t)= 1-e^{-0.00012t}\) (für \(t>0\) ) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(T>5000)\). Nr. 3751
	\(11,3%\)
	\(23,8%\)
	\(54,9%\)
	\(47,5%\)
Lösungsweg \(P(T > t) = 1 - P(T \leq t) = 1- F(T)\\ 1 - P(t \leq 5000) = 1- (1-e^{-0.00012\cdot 5000} )= e^{-0,6} \approx 0,549 = 54,9%\)

4 erreichbare Punkte

Die Lebensdauer eines radioaktiven \(C_{14}\) Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion \(F(t)= 1-e^{-0.00012t}\) (für \(t>0\) ) Bestimmen Sie die Halbwertszeit von \(^{14}C\), also die Zeit \(t_{\frac{1}{2}}\) für die \(F( t_{\frac{1}{2}})=0,5\). gilt Nr. 3752
	\(t_{\frac{1}{2}} = 1756 \qquad Jahre\)
	\(t_{\frac{1}{2}} = 2894 \qquad Jahre\)
	\(t_{\frac{1}{2}} = 4296 \qquad Jahre\)
	\(t_{\frac{1}{2}} = 5776 \qquad Jahre\)
Lösungsweg \(F(t_{\frac{1}{2}}) = 1 - e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ -0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}} = \ln{\frac{1}{2}} \) \(t_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln{2}}{-0,00012} \approx 5776\)

4 erreichbare Punkte

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert \(\mu=50\,g\) und Standardabweichung \(\sigma=1,0\,g\) folgen. Berechnen Sie den Anteil der Riegeln, deren Masse mehr als 51g beträgt. Nr. 3755
	\(20,81%\)
	\(25,27%\)
	\(28,14%\)
	\(15,9%\)
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{51-50}{1}= 1 \\ P(X>51) = 1 - P(X \leq 51) = 1 - \Phi(1) \approx 1-0,841 = 0,159 = 15,9%\)

4 erreichbare Punkte

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit während der Übertragung "kippt", also fehlerhaft übertragen wird, betrage \(10^{-4}\). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Senden von einer Million Bit mehr als 80 Bit fehlerhaft übertragen werden? (Tipp: Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung!) Nr. 4604
	0,0974%
	0,974%
	9,74%
	97,4%
Lösungsweg Die Anzahl X der fehlerhaft übertragenen Bit ist binomialverteilt mit \(n=10^6\) und \(p=10^{-4}\). Wegen \(np(1-p) = 10^6 \cdot 10^{-4} \cdot 0,9999 = 99,99 > 9\) können wir die Normalverteilung als Näherung verwenden mit \(\mu = np = 100\) und \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = 9,9995\): \(F_{Binomial}(x) = F_{Normal}(x+0,5) = \Phi \left\( \frac{x+0,5-\mu}{\sigma} \right\) = \Phi \left\( \frac{x+0,5-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right\)\) Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Übertragen von einer Million Bit mehr als 80 Bit kippen, ist also ungefähr: \(P(X>80) = 1-F_{Binomial}(80) = 1 - \Phi \left\( \frac{80+0,5-100}{9,9995} \right\) = 1 - \Phi( -1,95 ) = \Phi( 1,95 ) = 0,974412\) Die vorletzte Gleichheit gilt wegen der Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung. Den Wert von \(\Phi\) entnehmen wir der Tabelle.

4 erreichbare Punkte

Eine Abfüllanlage soll Kaffeebohnen in Packungen zu je 500 Gramm abfüllen, das Abfüllgewicht X ist normalverteilt. Eine zufällige Stichprobe von n=10 Packungen ergibt ein arithmetisches Mittel von \(\overline x = 497,5\). Die Standardabweichung betrage \(\sigma = 5\) Gramm. Berechnen Sie das Konfidenzintervall, welches zu 90% den gesuchten Erwartungswert \(\mu\) der Kaffeepackungen enthält! Nr. 4608
	[492,7; 507,3]
	[493,5; 502,5]
	[494,9; 500,1]
	[495,3; 504,7]
Lösungsweg Gesucht ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Normalverteilung bei bekannter Standardabweichung. Das Konfidenzniveau ist \(1-\alpha = 0,90\), somit ist \(\alpha = 0,10\). Die Formel für das Konfidenzintervall ist \([ \overline x - z_{0,95} \frac{\sigma}{\sqrt{n}};\; \overline x + z_{0,95} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]\). Wir bestimmen also zunächst (aus der Tabelle) das Quantil \(z_{1-\alpha/2} = z_{0,95}\) der Standardnormalverteilung: \(z_{0,95} = 1,645\) Mit \(\overline x = 497,5\) und \(\sigma = 5\) sowie n=10 erhalten wir das Intervall [ 494,899; 500,101 ]. Dieses Konfidenzintervall überdeckt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% den Erwartungswert \(\mu\).

4 erreichbare Punkte

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion \(F(x) = 1-e^{-3x}\) für \(x \geq 0\) und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Lebensdauer des Bauteils höchstens 1 Jahr? Nr. 4576
	35%
	55%
	75%
	95%
Lösungsweg \(F(1) = 1-e^{-3} = 0,95\)

4 erreichbare Punkte

Sie werfen n verschiedene Würfel und addieren die Augensumme X aller Würfel nach jedem Wurf. Welche Verteilung hat X für große n? Nr. 4603
	Gleichverteilung
	Binomialverteilung
	Dreiecksverteilung
	Normalverteilung
Lösungsweg Die Augensummen der einzelnen Würfel sind paarweise unabhängig und alle identisch verteilt (nämlich gleichverteilt). Die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (also die Augensumme aller n Würfel) ist nach dem zentralen Grenzwertsatz normalverteilt. Die Normalverteilung kann für große n also auch als Näherung von diskreten Zufallsvariablen verwendet werden.

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