Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Diskrete Verteilungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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In einer Urne sind 50 Kugeln, 45 davon sind weiß und 5 schwarz. Jemand zieht blind 2 Kugeln (ohne Zurücklegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen? Nr. 3712
	\(2,5%\)
	\(18%\)
	\(50%\)
	\(80%\)
	\(0,8%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung. N ... Grundgesamtheit = 50 n ... Stichprobe = 2 M ... Anzahl d. schwarzen Kugeln in der Grundgesamtheit = 5 k ... Anzahl d. schwarzen Kugeln aus der Stichprobe = 1 \(P(X=1)=\frac{{5 \choose 1}{45 \choose 1}}{{50 \choose 2}}=0,18=18%\)

5 erreichbare Punkte

Beim telefonischen Support-Dienst eines Herstellers treffen zur Hauptgeschäftszeit pro Stunde im Schnitt 240 Anrufe ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von einer Minute kein Anruf bzw. mehr als 5 Anrufe eintreffen? (Annahme: Die Anzahl der Anrufe ist poissonverteilt.) Nr. 4596
	5,27% bzw. 16,49%
	1,83% bzw. 21,49%
	2,47% bzw. 19,84%
	4,23% bzw. 21,78%
Lösungsweg Es handelt sich hier um eine Poissonverteilung mit \(\lambda = 4\) (denn im Schnitt treffen 4=240/60 Anrufe pro Minute ein). Es gilt also: \(P(X=x) = \frac{4^x}{x!}\; e^{-4}\) Die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von einer Minute kein Anruf eintrifft, beträgt \(P(X=0) = e^{-4} = 0,0183\). Die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von einer Minute mehr als fünf Anrufe eintreffen, berechnen wir über die Gegenwahrscheinlichkeit:\(P(X \leq 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = e^{-4}\cdot (1 + 4 + \frac{16}{2} + \frac{64}{6} + \frac{256}{24} + \frac{1024}{120}) = e^{-4}\cdot \frac{643}{15} = 0,7851\) Damit ist \(P(X>5) = 1-P(X \leq 5) = 0,2149\).

4 erreichbare Punkte

In einer Urne sind 50 Kugeln, 45 davon sind weiß und 5 schwarz. Jemand zieht blind 2 Kugeln (ohne Zurücklegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei schwarze Kugel zu ziehen? Nr. 3713
	\(2,5%\)
	\(18%\)
	\(50%\)
	\(80%\)
	\(0,8%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung. N ... Grundgesamtheit = 50 n ... Stichprobe = 2 M ... Anzahl d. schwarzen Kugeln in der Grundgesamtheit = 5 k ... Anzahl d. schwarzen Kugeln aus der Stichprobe = 2 \(P(X=2)=\frac{{5 \choose 2}{45 \choose 0}}{{50 \choose 2}}=0,008=0,8%\)

5 erreichbare Punkte

Ein Eisenwarenhandel bezieht von einem Lieferanten Schrauben in Lieferungen zu je 1000 Stück. Bevor er eine Lieferung annimmt, macht er eine Stichprobenprüfung im Umfang von 100 Stück. Er nimmt die Lieferung an, wenn er in der Stichprobe höchstens 3 fehlerhafte Stück findet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Annahme, wenn in der Lieferung 10 Schrauben fehlerhaft sind? Nr. 3690
	\(24,3%\)
	\(78,5%\)
	\(86,9%\)
	\(98,7%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung. N ... Grundgesamtheit = 1000 n ... Stichprobe = 100 k ... fehlerhafte Stücke aus der Stichprobe <= 3 M ... fehlerhafte Stücke aus der Grundgesamtheit = 10 \(P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \) \(\frac{{10 \choose 0}{990 \choose 100}}{1000 \choose 100} + \frac{{10 \choose 1}{990 \choose 99}}{1000 \choose 100} + \)\( \frac{{10 \choose 2}{990 \choose 98}}{1000 \choose 100} + \frac{{10 \choose 3}{990 \choose 97}}{1000 \choose 100} = \) \(34,7% + 38,9% + 19,4% + 5,7% \approx 98,7%\)

4 erreichbare Punkte

Ein Eisenwarenhandel bezieht von einem Lieferanten Schrauben in Lieferungen zu je 1000 Stück. Bevor er eine Lieferung annimmt, macht er eine Stichprobenprüfung im Umfang von 100 Stück. Er nimmt die Lieferung an, wenn er in der Stichprobe höchstens 3 fehlerhafte Stück findet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Annahme, wenn in der Lieferung 100 Schrauben fehlerhaft sind? Nr. 3692
	\(24,3%\)
	\(1,42%\)
	\(2,55%\)
	\(0,58%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung. N ... Grundgesamtheit = 1000 n ... Stichprobe = 100 k ... fehlerhafte Stücke aus der Stichprobe <= 3 M ... fehlerhafte Stücke aus der Grundgesamtheit = 100 \(P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \) \(\frac{{100 \choose 0}{900 \choose 100}}{1000 \choose 100} + \frac{{100 \choose 1}{900 \choose 99}}{1000 \choose 100} + \)\( \frac{{100 \choose 2}{900 \choose 98}}{1000 \choose 100} + \frac{{100 \choose 3}{900 \choose 97}}{1000 \choose 100} = \) \(0,0015% + 0,018% + 0,112% + 0,447% \approx 0,58%\)

4 erreichbare Punkte

Eine Fertigungsanlage hat einen gleichbleibenden Ausschuss-Anteil von 0,5%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 100 entnommenen Produktionseinheiten höchstens ein fehlerhaftes? Berechnen Sie die Lösung exakt sowie als Näherung durch die Poisson-Verteilung! Nr. 4594
	0,8102 und 0,8098
	0,6102 und 0,6098
	0,9102 und 0,9098
	0,7102 und 0,7098
Lösungsweg Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung mit n=100 und p=0,005, es gilt also \(P(X = x) = {100 \choose x} \cdot 0,005^x \cdot 0,995^{100-x}\): \(P(X=0) = {100 \choose 0} \cdot 0,005^0 \cdot 0,995^{100} = 0,995^{100} = 0,6058 \\ P(X=1) = {100 \choose 1} \cdot 0,005^1 \cdot 0,995^{99} = 0,3044\) Damit ist \(P(X \leq 1) = 0,9102\). Für eine binomialverteilte Zufallsvariable kann man für "große n und kleine p" näherungsweise die Poisson-Verteilung mit Parameter \(\lambda = np = 0,5\) verwenden: \(P(X=0) = e^{-0,5} = 0,6065 \\ P(X=1) = -0,5 e^{-0,5} = 0,3033\) Damit ist näherungsweise \(P(X \leq 1) = 0,9098\).

4 erreichbare Punkte

In einer Fabrik wird ein Bauteil produziert, der Anteil fehlerhafter Teile ist dabei konstant. Es wird eine zufällige Stichprobe von n Bauteilen entnommen. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die Zufallsvariable X = Anzahl fehlerhafter Bauteile in der Stichprobe? Nr. 4593
	Binomialverteilung
	Gleichverteilung
	Hypergeometrische Verteilung
	Poisson-Verteilung
Lösungsweg Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung: Wir ziehen n-mal (ohne Zurücklegen) aus einer unendlichen Grundgesamtheit bei konstanter Warscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt (Ziehen eines fehlerhaften Bauteils). Das Ziehen eines Elementes beeinflusst den Rest der Grundgesamtheit nicht, d.h. die Bedingungen bei jedem Ziehen sind gleich -- im Gegensatz zur hypergeometrischen Verteilung, bei der sich nach jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit ändert. Bei einer Gleichverteilung haben alle möglichen Ausprägungen der Zufallsvariablen die gleiche Wahrscheinlichkeit, das ist hier nicht der Fall (die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Bauteil in der Stichprobe ist, entspricht in der Regel nicht der Wahrscheinlichkeit, dass alle n Bauteile der Stichprobe fehlerhaft sind). Bei einer Poissonverteilung kann die Zufallsvariable unendlich viele verschiedene Werte annehmen, auch das ist hier nicht der Fall, denn X ist hier durch die (endliche) Stichprobengröße n beschränkt.

4 erreichbare Punkte

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie \(P(4, also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme größer als 4 und kleiner oder gleich 6"! Nr. 4554
	2/216
	4/216
	8/216
	16/216
Lösungsweg Wir summieren die Wahrscheinlichkeiten, dass die Augensumme 5 oder 6 ist:\(P(4 Es gibt 6 Möglichkeiten für Augensumme 5: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1; 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1 Es gibt 10 Möglichkeiten für Augensumme 6: 1-1-4, 1-4-1, 4-1-1; 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1; 2-2-2

4 erreichbare Punkte

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