Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Diskrete Verteilungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Seien die beiden Werte der Verteilungsfunktion \(F(4) = \frac{4}{216}\) und \(F(6) = \frac{20}{216}\) bekannt. Bestimmen Sie daraus \(P(4, also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme größer als 4 und kleiner oder gleich 6"! Nr. 4555
	\(P(4
	\(P(4
	\(P(4
	\(P(4
Lösungsweg Die Verteilungsfunktion F(x) ist definiert als \(F(x) = P(X \leq x)\), somit gilt \(F(6) = P(X \leq 6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)\) und \(F(4) = P(X \leq 4) = P(X=3) + P(X=4)\). Damit ist \(P(4.

4 erreichbare Punkte

Der Kinderchor eines Dorfes besteht aus 7 Mädchen und 5 Jungen. Für eine Sondervorstellung wird eine Gruppe aus 4 Kindern per Los bestimmt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht die Gruppe nur aus Mädchen? Nr. 3687
	\(5,5%\)
	\(7,07%\)
	\(1%\)
	\(42%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung: N ... Grundgesamtheit = 12 M ... Anzahl d. Mädchen =7 n ... Auswahl aus der Grundgesamtheit = die Gruppe = 4 k ... Anzahl der Mädchen in der Auswahl = 4 \(P(X=4)=\frac{{7 \choose 4}{5 \choose 0}}{{12 \choose 4}}=\frac{7}{99}\approx 0,07\)

4 erreichbare Punkte

Eine Fertigungsanlage hat einen gleichbleibenden Ausschuss-Anteil von 0,5%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 100 entnommenen Produktionseinheiten höchstens ein fehlerhaftes? Berechnen Sie die Lösung exakt sowie als Näherung durch die Poisson-Verteilung! Nr. 4594
	0,8102 und 0,8098
	0,6102 und 0,6098
	0,9102 und 0,9098
	0,7102 und 0,7098
Lösungsweg Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung mit n=100 und p=0,005, es gilt also \(P(X = x) = {100 \choose x} \cdot 0,005^x \cdot 0,995^{100-x}\): \(P(X=0) = {100 \choose 0} \cdot 0,005^0 \cdot 0,995^{100} = 0,995^{100} = 0,6058 \\ P(X=1) = {100 \choose 1} \cdot 0,005^1 \cdot 0,995^{99} = 0,3044\) Damit ist \(P(X \leq 1) = 0,9102\). Für eine binomialverteilte Zufallsvariable kann man für "große n und kleine p" näherungsweise die Poisson-Verteilung mit Parameter \(\lambda = np = 0,5\) verwenden: \(P(X=0) = e^{-0,5} = 0,6065 \\ P(X=1) = -0,5 e^{-0,5} = 0,3033\) Damit ist näherungsweise \(P(X \leq 1) = 0,9098\).

4 erreichbare Punkte

Sie entnehmen zufällig (ohne Zurücklegen) 4 Kugeln aus einer Urne mit 6 roten und 18 blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau eine rote Kugel ziehen? Wie viele rote Kugeln sind im Schnitt in Ihrer Stichprobe zu erwarten? (Tipp: Überlegen Sie, um welche Verteilung es sich handelt, und nutzen Sie die entsprechende Formel für den Erwartungswert!) Nr. 4592
	P(X=1) = 0,86 und E(X) = 1,2
	P(X=1) = 0,56 und E(X) = 1,5
	P(X=1) = 0,66 und E(X) = 2
	P(X=1) = 0,46 und E(X) = 1
Lösungsweg Es handelt sich hier um eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N=24, M=6 und n=4, also H(4;6;24). Folglich gilt \(P(X=x) = \frac{ {6 \choose x} \cdot {18 \choose 4-x}}{ {24 \choose 4} }\) und \(P(X=1) = \frac{ {6 \choose 1} \cdot {18 \choose 3}}{ {24 \choose 4} } = \frac{816}{1771} = 0,46076\). Für den Erwartungswert gilt bei einer hypergeometrischen Verteilung \(E(X) = n \cdot \frac{M}{N}\), in diesem Fall also \(E(X) = 4 \cdot \frac{6}{24} = 1\). Alternativer Lösungsweg zur Berechnung von P(X=1): Es gibt \({4 \choose 1} = 4\) Möglichkeiten für die Position der roten Kugel innerhalb der Stichprobe. Beim ersten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu erwischen, 6/24 (denn 6 von 24 Kugeln sind rot). Beim zweiten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu erwischen, 18/23 (denn es sind noch 23 Kugeln in der Urne, davon 18 blaue). Beim dritten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu erwischen, 17/22 (denn es sind noch 22 Kugeln in der Urne, davon 17 blaue), usw. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also: \(P(X=1) = {4 \choose 1} \cdot \frac{6}{24} \cdot \frac{18}{23} \cdot \frac{17}{22} \cdot \frac{16}{21} = \frac{816}{1771}\)

4 erreichbare Punkte

Für diskrete Zufallsvariablen hat die Verteilungsfunktion immer die Form Nr. 4558
	einer Treppe
	eines Dreiecks
	eines Rechtecks
	einer Geraden
Lösungsweg Die Verteilungsfunktion F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt, und ist damit monoton wachsend von 0 bis 1. Sie ist für alle reellen Zahlen x definiert. Für diskrete Zufallsvariablen hat die Verteilungsfunktion immer die Form einer ansteigenden Treppe. Die "Stufen" sind an der Stelle, wo x einen der möglichen Werte \(x_i\) der Zufallsvariablen annimmt, und sie haben jeweils die Höhe der zugehörigen Wahrscheinlichkeit \(p_i\).

4 erreichbare Punkte

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X=20) und den Wert der Verteilungsfunktion F(20)! Nr. 4556
	0 und 0
	1 und 0
	0 und 1
	1 und 1
Lösungsweg \(P(X=20) = 0\), denn die Augensumme 20 kann bei drei Würfeln nicht auftreten. \(F(20) = P(X \leq 20) = 1\), denn alle möglichen Augensummen liegen unter dem Wert von 20.

4 erreichbare Punkte

Sei X die Anzahl der Würfe mit einem fairen Würfel, bis zum ersten Mal eine Sechs geworfen wird. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X an! Nr. 4560
	\(p_i = \left\(\frac{1}{6}\right\)^i\)
	\(p_i = \left\(\frac{5}{6}\right\)^i\)
	\(p_i = \frac{5}{6} \cdot i + \frac{1}{6}\)
	\(p_i = \left\(\frac{5}{6}\right\)^{i-1} \cdot \frac{1}{6}\)
Lösungsweg Die Wahrscheinlichkeit, gleich beim ersten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, erst beim zweiten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 5/6 mal 1/6 (keine Sechs beim ersten Wurf, Sechs beim zweiten Wurf). Die Wahrscheinlichkeit, erst beim dritten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 5/6 mal 5/6 mal 1/6 (keine Sechs beim ersten und zweiten Wurf, Sechs beim dritten Wurf). Die Wahrscheinlichkeit, erst beim x-ten Wurf eine Sechs zu werfen, ist \(\left\(\frac{5}{6}\right\)^{x-1} \cdot \frac{1}{6}\) (keine Sechs in den ersten x-1 Würfen, Sechs beim x-ten Wurf). Folglich gilt: \(p_i = P(X=i) = \left\(\frac{5}{6}\right\)^{i-1} \cdot \frac{1}{6}\)

4 erreichbare Punkte

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie P(X=4), also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme ist 4"! Nr. 4551
	1/216
	1/72
	1/64
	1/36
Lösungsweg Damit drei Würfel eine Augensumme von 4 haben, müssen zwei Würfel eine Eins anzeigen und der dritte eine Zwei. Dafür gibt es \({3 \choose 1} = 3\) Möglichkeiten: 112, 121 und 211. Weiterhin gibt es \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\) mögliche Wurffolgen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also:\(P(X=4) = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}\)

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