Die Augensummen der einzelnen Würfel sind paarweise unabhängig und alle identisch verteilt (nämlich gleichverteilt). Die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (also die Augensumme aller n Würfel) ist nach dem zentralen Grenzwertsatz normalverteilt. Die Normalverteilung kann für große n also auch als Näherung von diskreten Zufallsvariablen verwendet werden.

Damit drei Würfel eine Augensumme von 4 haben, müssen zwei Würfel eine Eins anzeigen und der dritte eine Zwei. Dafür gibt es \({3 \choose 1} = 3\) Möglichkeiten: 112, 121 und 211. Weiterhin gibt es \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\) mögliche Wurffolgen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also:\(P(X=4) = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}\)

\(P(X=20) = 0\), denn die Augensumme 20 kann bei drei Würfeln nicht auftreten.

\(F(20) = P(X \leq 20) = 1\), denn alle möglichen Augensummen liegen unter dem Wert von 20.

Hypergeometrische Verteilung.
N ... Grundgesamtheit = Anzahl aller Felder = 64
n ... Stichprobe = 5
M ... Anzahl d. Randfelder = 28
k ... Anzahl d. Randfelder in der Stichprobe = 3

\(P(X=3)=\frac{{28 \choose 3}{36 \choose 2}}{{64 \choose 5}} \approx 0,2706 = 27,06%\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist definiert durch \(p_i = \frac{1}{6} \cdot \left\( \frac{5}{6} \right\)^{i-1} \) . Damit gilt:\(P(X \leq 4) = F(4) = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = \frac{1}{6} \cdot \left\( 1 + \frac{5}{6} + \frac{25}{36} + \frac{125}{216} \right\) = \frac{1}{6} \cdot \frac{671}{216} = \frac{671}{1296} \approx 0,52\)

Wir summieren die Wahrscheinlichkeiten, dass die Augensumme 5 oder 6 ist:\(P(4

Es gibt 6 Möglichkeiten für Augensumme 5: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1; 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1
Es gibt 10 Möglichkeiten für Augensumme 6: 1-1-4, 1-4-1, 4-1-1; 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1; 2-2-2

Hypergeometrische Verteilung.
N ... Grundgesamtheit = 50
n ... Stichprobe = 2
M ... Anzahl d. schwarzen Kugeln in der Grundgesamtheit = 5
k ... Anzahl d. schwarzen Kugeln aus der Stichprobe = 1

\(P(X=1)=\frac{{5 \choose 1}{45 \choose 1}}{{50 \choose 2}}=0,18=18%\)