Aus dem Annahmebereich folgt direkt der Ablehnungsbreich:

\(K = [0 \; ; \; 46] \cup [74 \; ; \; 300]\)

Somit folgt für die Irrtumswahrscheinlichkeit:

\(\alpha = P (0 \leq X \leq 46 ) + P(74 \leq X \leq 300)\)

\(P (0 \leq X \leq 46 ) = \Phi ( \frac{46- \mu }{\sigma} ) - \Phi ( \frac{0 - \mu }{\sigma} ) \)

Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden:

\(\mu = n \cdot p = 300 \cdot \frac{1}{5}= 60\)

\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{300 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5}} \approx 6.93\)

Also:

\(P (0 \leq X \leq 46 ) = \Phi ( \frac{46- 60}{6.93} ) - \Phi ( \frac{0- 60}{6.93} ) = \Phi (-2.02 ) - \Phi (-8.66 ) = \Big( 1- \Phi (2.02 ) \Big) - \Big(1- \Phi (8.66 ) \Big) =\)

\(= \Big( 1- 0.97831 \Big) - \Big(1- 1 \Big) = 0.02169\)

und:

\(P (74 \leq X \leq 300 ) = \Phi ( \frac{300- 60 }{6.93}) - \Phi ( \frac{74 - 60 }{6.93 }) = \Phi ( 34.63) - \Phi (2.19) = 1 - 0.98574 = 0.01426\)

Daher:

\(\alpha = P (0 \leq X \leq 46 ) + P(74 \leq X \leq 300)\) \(= 0.02169 + 0.01426 = 0.03595\)

\(\alpha \approx 3.6%\)

Die Hypothese, die zu überprüfen ist, lautet wie folgt:

\(H: \; p=\frac{1}{4}=0.25\)

Falls die Anzahl der alkholisierten Radfahrer im Bereich

\(\Big[ \mu - 2\sigma , \; \mu + 2\sigma \Big] \)  liegt, so wird die Hypothese H angenommen.

Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden:

\(\mu = n \cdot p = 600 \cdot 0.25 = 150\)

\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{600 \cdot 0.25 \cdot 0.75} \approx 10.61\)

Somit erhalten Sie folgenden Annahmebereich für die Hypothese H:

\(\Big[ \mu - 2\sigma , \; \mu + 2\sigma \Big] = \Big[ 150- 2\cdot 10.61, \; 150 + 2\cdot 10.61 \Big] = \Big[ 129\; , \; 171 \Big] \)

(Es wird auf ganze Zahlen gerundet, da es sich um Personenzahlen handelt. Außerdem wird die untere Grenze aufgerundet und die obere Grenze abgerundet, damit die gerundete Zahl auch tatsächlich im Gültigkeitsbereich der Hypothese liegt.)

Die zu testende Hypothese lautet:

\(H: \; p=\frac{3}{10}=0.3\)

Da rechtsseitig getestet wird, gilt:

\(\alpha = 0.05 = \Phi(z) \rightarrow \Phi(-z)= 0.95 \rightarrow z=-1.65\)

Es gilt:

\(z = \frac{x-\mu}{\sigma} \rightarrow x = \mu + z \sigma\)

Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden:

\(\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0.3= 24\)

\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{80 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 4.1\)

Somit:

\(x = 24 -1.65 \cdot 4.1 = 17.24\)

Sie erhalten folgenden kritischen Bereich:

\(K = \{0, 1 , ... , 17\}\)

Die Hypothese, die zu überprüfen ist, lautet wie folgt:

\(H: \; p=\frac{1}{3}\)

Falls die Anzahl der noch zu Hause wohnenden Studenten im Bereich

\(\Big[ \mu - 2\sigma , \; \mu + 2\sigma \Big] \)  liegt, so wird die Hypothese H angenommen.

Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden:

\(\mu = n \cdot p = 1000 \cdot \frac{1}{3} =\frac{1000}{3} \approx 333.33\)

\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{1000 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} \approx 14.91\)

Somit erhalten Sie folgenden Annahmebereich für die Hypothese H:

\(\Big[ \mu - 2\sigma , \; \mu + 2\sigma \Big] = \Big[ 333.33 - 2\cdot 14.91, \; 333.33 - 2\cdot 14.91\Big] = \Big[ 303.51 \; , \; 363.15 \Big] = \Big[ 304 \; , \; 363 \Big] \)

(Es wird auf ganze Zahlen gerundet, da es sich um Personenzahlen handelt. Außerdem wird die untere Grenze aufgerundet und die obere Grenze abgerundet, damit die gerundete Zahl auch tatsächlich im Gültigkeitsbereich der Hypothese liegt.)

Die ersten vier Aussagen sind wahr, und Antwort 1 und 4 bzw. Antwort 2 und 3 sind jeweils äquivalent: Entscheidet man sich gegen die Nullhypothese (und damit für die Alternativhypothese), obwohl die Nullhypothese wahr (und damit die Alternativhypothese falsch) ist, so begeht man einen Fehler 1. Art (Alpha-Fehler). Entscheidet man sich gegen die Alternativhypothese (und damit für die Nullhypothese), obwohl die Alternativhypothese wahr (und damit die Nullhypothese falsch) ist, so begeht man einen Fehler 2. Art (Beta-Fehler).

Null- und die Alternativhypothese müssen sich gegenseitig ausschließen, sie müssen aber nicht zwingend das Gegenteil voneinander sein (d.h. sie müssen nicht wie Aussage und Gegenaussage zueinander stehen).

Um die Irrtumswahrscheinlichkeit zu bestimmen, muss die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass die Anzahl der alkoholisierten Radfahrer außerhalb des Annahmebreichs \( \Big[ 129\; , \; 171 \Big] \) liegt. Also:

\(\alpha = P ( X \leq 116 \vee \; 172 \leq X) = \Phi ( \frac{116 - \mu }{\sigma} ) + \big[1- \Phi ( \frac{172 - \mu }{\sigma} ) \Big] \)

Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden:

\(\mu = n \cdot p = 600 \cdot 0.25 = 150\)

\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{600 \cdot 0.25 \cdot 0.75} \approx 10.61\)

Also:

\(\alpha = \Phi ( \frac{116 - 150 }{10.61} ) + \Big[ 1- \Phi ( \frac{172 - 150 }{10.61} ) \Big] = \Phi (-3.21 ) + \Big[1- \Phi (2.07 ) \Big] = \)

\(= \Big[ 1- \Phi (3.21 )\Big] + \Big[1- \Phi (2.07 ) \Big] = \Big[ 1- 0.99934\Big] + \Big[1- 0.98077 \Big] = 0.00066 + 0.01923 = 0.01989 \)

Somit erhalten wir:

\(\alpha = 1.99 \% \approx 2\%\)

Beim Fehler 1. Art wird die Nullhypothese verworfen, obwohl sie wahr ist. In diesem Fall würde man also, nachdem der Test auf das Virus bei Frau X negativ war, davon ausgehen, dass sie sich nicht mit dem Virus infiziert hat, obwohl sie in Wirklichkeit infiziert ist. Der Virustest liefert also ein falsch negatives Ergebnis.