Es gilt: \(r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}\)

\(s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x) (y_i - \overline y)}\)

\(s_x = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2}\) und \(s_y = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \overline y)^2}\)

Mit \(n=4\), \(\overline x = 3,5\) und \(\overline y = 2,25\) erhalten wir 

\(s_x = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot (2,5^2 + 0,5^2 + 0,5^2 + 2,5^2)} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 13} \approx 2,08\) und 

\(s_y = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot (1,75^2 + 0,25^2 + 0,75^2 + 2,25^2)} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 8,75} \approx 1,71\).

Weiterhin ist \(s_{xy} = \frac{1}{3} \cdot (-2,5 \cdot 1,75 + (-0,5) \cdot (-0,25) + 0,5 \cdot 0,75 + 2,5 \cdot (-2,25)) = \frac{1}{3} \cdot (-9,5) \approx -3,17\).

Daraus ergibt sich \(r_{xy} = -0,89\). Die Wertepaare sind also stark negativ korreliert, d.h. sie liegen annähernd auf einer Geraden mit negativer Steigung.

Die Aussage ist falsch. Je näher der Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Stichprobe bei 1 liegt, desto eher liegen die Punkte \((x_i, y_i)\) auf einer Geraden mit positiver Steigung.

Die Gleichung der Regressionsgeraden laute f(x) = ax + b. Die Steigung der Geraden ist definiert als \(a = r_{xy} \cdot \frac{s_y}{s_x}\) und der Achsenabschnitt als \(b = \overline y - a \cdot \overline x\). Dabei ist \(r_{xy}\) der empirische Korrelationskoeffizient, \(\overline x, \overline y\) sind die arithmetischen Mittel und \(s_x, s_y\) die Standardabweichungen der Stichprobenwerte \((x_i, y_i)\). Mit \(\overline x = 3,5, \overline y = 2,25, s_x = 2,08, s_y = 1,71\) und \(r_{xy} = -0,89\)  erhalten wir f(x) = -0,73 x + 4,81.

Die Kovarianz beträgt  \(s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x) (y_i - \overline y)}\) .

Mit n=7, \(\overline x = 0\) und \(\overline y = -4\) erhält man \(s_{xy} = 0\) und somit wegen  \(r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}\) auch \(r_{xy} = 0\) (die Berechnung der Standardabweichungen \(s_x\) und \(s_y\) kann man sich in diesem Fall sparen). 

Die Wertepaare \((x_i, y_i)\) sind also nicht linear korreliert, d.h. es gibt keinen linearen Zusammenhang zwischen \(x_i\) und \(y_i\). Betrachtet man jedoch die Wertepaare, so fällt auf, dass \(y_i = - x_i^2\) gilt, d.h. es existiert eine nichtlineare (genauer: quadratische) Korrelation! Der Korrelationskoeffizient sagt also nur etwas darüber aus, ob die Werte linear korreliert sind.

Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen den Stichprobenwerten. Er liegt immer zwischen -1 und +1. Je näher sein Wert bei |1| liegt, desto eher liegen die Punkte der Stichprobe auf einer Geraden. Ein Korrelationskoeffizient von 0,36 (Rechnung siehe Hinweis zur ersten Antwort) legt keinen starken linearen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen nahe. Das Streudiagramm zeigt, dass die beiden Merkmale eher nichtlinear (genauer: quadratisch) zusammenhängen. Der Korrelationskoeffizient sagt also nichts über den nichtlinearen Zusammenhang zwischen den Stichprobenwerten aus!