\(P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\)

Da jede Sendung entweder Spielfilm oder Dokumentation ist (und nicht beides zugleich), gilt die Summenregel: Insgesamt stehen 268 + 349 = 617 Sendungen zur Auswahl.

Eine fünfstellige Dezimalzahl, die mit einer 9 beginnt, kann jeweils 10 verschiedene Ziffern an der zweiten, dritten, vierten und fünften Stelle haben. Es gibt also \(10^4\) Möglichkeiten für eine solche Zahl (diejenigen Zahlen, welche auch mit einer 9 enden, miteingerechnet). Ebenso gibt es \(10^4\) Möglichkeiten für eine fünfstellige Zahl, die mit einer 9 endet. Hier sind wiederum diejenigen Zahlen, die auch mit einer 9 beginnen, eingerechnet. Um sie nicht doppelt zu zählen, müssen wir diejenigen Zahlen, welche mit einer 9 beginnen und enden, also einmal abziehen;
davon gibt es \(10^3\) (sie haben die Gestalt 9xyz9 mit jeweils 10 Möglichkeiten für x, y und z). Insgesamt gibt es also \(10^4 + 10^4 - 10^3 = 19.000\) Zahlen, die mit einer 9 beginnen oder enden (Inklusions-Exklusions-Prinzip).

Alternativer Lösungsweg: Es gibt \(10^4\) fünfstellige Dezimalzahlen, die mit einer 9 beginnen (es gibt jeweils 10 Möglichkeiten für die zweite, dritte, vierte und fünfte Ziffer). Darin sind auch die Zahlen enthalten, die mit einer 9 beginnen und enden. Dazu müssen wir noch diejenigen Zahlen addieren, die mit einer 9 enden, aber nicht beginnen, bei denen also eine Ziffer zwischen 0 und 8 am Anfang steht. Davon gibt es \(9 \cdot 10^3 = 9.000\) Stück (9 Möglichkeiten für die erste Ziffer und jeweils 10 Möglichkeiten für die zweite, dritte und vierte Ziffer). Insgesamt gibt es also 10.000 + 9.000 = 19.000 Möglichkeiten für die gesuchte Zahl.

Wir müssen die Anzahl A der Stichproben, welche genau einen defekten Drucker enthalten, und die Anzahl B der Stichproben, die beide defekten Drucker enthalten, addieren:

A) Es gibt \({2 \choose 1} = 2\) Möglichkeiten, genau einen defekten Drucker in der Stichprobe zu haben, und \({68 \choose 2} = 2.278\) Möglichkeiten, dass zwei der insgesamt 68 funktionierenden Drucker in der Stichprobe enthalten sind. Insgesamt gibt es also A = 2 x 2.278 = 4.556 Möglichkeiten, genau einen defekten Drucker in der Stichprobe zu haben.

B) Es gibt \({2 \choose 2} = 1\) Möglichkeit, bei zweimaligem Ziehen die beiden defekten Drucker zu erwischen, und \({68 \choose 1} = 68\) Möglichkeiten, beim dritten Ziehen einen funktionierenden Drucker auszuwählen. Insgesamt gibt es also B = 1 x 68 = 68 Möglichkeiten, beide defekten Drucker in der Stichprobe zu haben.

Insgesamt existieren also A + B = 4.556 + 68 = 4.624 Möglichkeiten, mindestens einen defekten Drucker in der dreielementigen Stichprobe zu haben.

Alternativer Lösungsweg: Die Anzahl der dreielementigen Stichproben, die mindestens einen defekten Drucker enthalten, ist die Anzahl aller dreielementigen Stichproben minus die Anzahl der dreielementigen Stichproben, die keinen defekten Drucker enthalten: \({70 \choose 3} - {68 \choose 3} = 54.740 - 50.116 = 4.624\)

Wir ziehen zweimal ohne Zurücklegen aus einer Menge von 8 Personen, die Reihenfolge spielt keine Rolle, also gibt es \({8 \choose 2} = 28\) Möglichkeiten.

\({20 \choose 17} = \frac{20!}{17!(17-3)!}= 1140\)

\({8 \choose 2}+{8 \choose 3}+ \cdots + {8 \choose 10} = 247\)

oder

\(2^8 - ({8 \choose 0} + {8 \choose 1}) = 256 - (1 + 8) = 247\)

i) Wörter d. Länge 3 aus {a,e,1} = 3! = 6 Wörter
ii) Wörter d. Länge 4 mit {n} zu (i) = 3!4 = 24 Wörter
iii) Wörter d. Länge 4 mit {t} zu (i) = 3!4 = 24 Wörter
iv) {a} zu (i), sodass {a} zweimal vorkommt: (alle Möglichkeiten\2 a sind gleich) 4!\2! = 12
v) {e} zu (i) = 12 (siehe (iv))
vi) {i} zu (i) = 12 (siehe (iv))
Also in Summe: 24 + 24 + 12 + 12 + 12 = 82 Möglichkeiten