Eine fünfstellige Dezimalzahl, die mit einer 9 beginnt, kann jeweils 10 verschiedene Ziffern an der zweiten, dritten, vierten und fünften Stelle haben. Es gibt also \(10^4\) Möglichkeiten für eine solche Zahl (diejenigen Zahlen, welche auch mit einer 9 enden, miteingerechnet). Ebenso gibt es \(10^4\) Möglichkeiten für eine fünfstellige Zahl, die mit einer 9 endet. Hier sind wiederum diejenigen Zahlen, die auch mit einer 9 beginnen, eingerechnet. Um sie nicht doppelt zu zählen, müssen wir diejenigen Zahlen, welche mit einer 9 beginnen und enden, also einmal abziehen;
davon gibt es \(10^3\) (sie haben die Gestalt 9xyz9 mit jeweils 10 Möglichkeiten für x, y und z). Insgesamt gibt es also \(10^4 + 10^4 - 10^3 = 19.000\) Zahlen, die mit einer 9 beginnen oder enden (Inklusions-Exklusions-Prinzip).

Alternativer Lösungsweg: Es gibt \(10^4\) fünfstellige Dezimalzahlen, die mit einer 9 beginnen (es gibt jeweils 10 Möglichkeiten für die zweite, dritte, vierte und fünfte Ziffer). Darin sind auch die Zahlen enthalten, die mit einer 9 beginnen und enden. Dazu müssen wir noch diejenigen Zahlen addieren, die mit einer 9 enden, aber nicht beginnen, bei denen also eine Ziffer zwischen 0 und 8 am Anfang steht. Davon gibt es \(9 \cdot 10^3 = 9.000\) Stück (9 Möglichkeiten für die erste Ziffer und jeweils 10 Möglichkeiten für die zweite, dritte und vierte Ziffer). Insgesamt gibt es also 10.000 + 9.000 = 19.000 Möglichkeiten für die gesuchte Zahl.

Es gilt die Produktregel: Insgesamt stehen \(2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\) Drei-Gänge-Menüs zur Auswahl.

\(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)

Ziehung mit Zurücklegen, Reihenfolge spielt keine Rolle:

\({6+3-1 \choose 3}={8 \choose 3}=\frac{8!}{3!5!}=56\)

\(C(9,6)={9 \choose 6}=\frac{9!}{6!3!}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84\)

Da jede Sendung entweder Spielfilm oder Dokumentation ist (und nicht beides zugleich), gilt die Summenregel: Insgesamt stehen 268 + 349 = 617 Sendungen zur Auswahl.

\({20 \choose 3} = \frac{20!}{3!(20-3)!}= 1140\)