Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Beweistechnik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Was versteht man unter einem "Gegenbeispiel"? Nr. 5083
	Einen Beweis, dass die vorliegende Aussage gilt.
	Ein Beispiel für die gegebene Aussage.
	Ein weiteres, echt unterschiedliches Beispiel für die Aussage, wenn davor bereits ein Beispiel angegeben wurde.
	Ein Beispiel, das die Gültigkeit einer Aussage widerlegt.
Lösungsweg Unter einem "Gegenbeispiel" versteht man ein Beispiel, das einer gegebenen Aussage widerspricht. Es zeigt also, dass die vorliegende Aussage falsch ist. z.B. Die Aussage \(\forall n \in \mathbb{N}: \quad \sqrt{n} \in \mathbb{N}\) ist falsch, ein Gegenbeispiel ist etwa \(n = 2\), da \(\sqrt{2} \approx 1,414 \notin \mathbb{N}\).

4 erreichbare Punkte

Die Eulersche \(\varphi\)-Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Zahlen aus \(\left\{1,2,...,n \right\}\) zu, die teilerfremd zu n sind. Ist \(n=p\cdot q\) ein Produkt zweier verschiedener Primzahlen, so gilt: Nr. 4712
	\(\varphi (pq) = pq-1\)
	\(\varphi (pq) = p+q-1\)
	\(\varphi (pq) = (p-1)(q-1)\)
Lösungsweg Sei \(a \in \left\{1,2,...,n \right\}\). Die Zahlen a und n = pq können nur dann gemeinsame Teiler haben, wenn a ein Vielfaches von p oder q ist, denn p und q sind Primzahlen (und haben somit selbst keine echten Teiler). Es gibt q Vielfache von p in \(\left\{1,2,...,n \right\}\), und zwar p, 2p, 3p,..., qp. Ebenso gibt es p Vielfache von q in \(\left\{1,2,...,n \right\}\), und zwar q, 2q, 3q,..., pq. Bis auf pq sind diese wegen \(p \neq q\) alle verschieden. Diese p+q Vielfachen müssen wir also von n abziehen, um die Anzahl der zu n teilerfremdem Zahlen zu ermitteln (und 1 addieren, da wir sonst den Kandidaten n=pq zweimal abziehen): \(\varphi (n) = n - p - q +1 = pq-p-q+1 = (p-1)(q-1)\)

3 erreichbare Punkte

Wofür und an welcher Stelle steht in Beweisen dieses Zeichen: \(\qed\) ? Nr. 5087
	q.e.d.
	Nach dem Ende des Beweises
	zu Beginn des Beweises
	D'Alembert-Operator: \(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\frac{\partial^2 }{\partial x^2} - \frac{\partial^2 }{\partial y^2} - \frac{\partial^2 }{\partial z^2}\)
	was zu zeigen war
Lösungsweg Am Ende eines Beweises wird typischerweise das Zeichen \(\qed\) eingefügt. Früher wurde stattdessen meist die Abkürzung "q. e. d." geschrieben (auch heute noch in Verwendung), dies steht für "quod erat demonstrandum" (lat. für "was zu zeigen war").

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die richtige Reihenfolge. Nr. 4644
	Induktionsanfang, Induktionsannahme, Induktionsschluss
	Induktionsannahme, Induktionsanfang, Induktionsschluss
	Induktionsanfang, Induktionsschluss, Induktionsannahme
Lösungsweg 1. Induktionsanfang: Man zeigt, dass die Aussage A(n) für einen konkreten Wert n (meist n=1) gilt. 2. Induktionsannahme: Man nimmt an, dass A(n) für ein beliebiges n gilt. 3. Induktionsschluss: Man zeigt, dass A(n) unter der Induktionsannahme auch für n+1 gilt.

3 erreichbare Punkte

Wie geht man am einfachsten vor, um eine "Es gibt genau ein"-Aussage/Eindeutigkeits-Aussage \(( \exists ! )\) zu beweisen? z.B. "Es gibt genau eine natürliche Zahl, deren Quadrat 9 ergibt." Nr. 5079
	Min. zwei konkrete Beispiele angeben, die die Aussage erfüllen.
	Ein konkretes Beispiel angeben, das die Aussage erfüllt. Damit ist die Aussage bewiesen.
	Ein konkretes Beispiel angeben, das die Aussage erfüllt, und zeigen, dass dies die einzige mögliche Lösung ist.
	Versuchen, die allgemeine Gültigkeit der Aussage herzuleiten.
Lösungsweg Der Beweis einer "Es gibt genau ein"-Aussage besteht aus zwei Teilen: 1. Existenz: Angabe eines Beispiels, das die Aussage erfüllt 2. Eindeutigkeit: Beweis, dass es keine weitere Lösung für die Aussage gibt. Dies wird meist durch einen Widerspruchsbeweis gezeigt: Es wird zunächst angenommen, dass eine weitere Lösung existiert. Dann wird gezeigt, dass diese Lösung identisch mit der bereits zuvor gefundenen Lösung sein muss.

4 erreichbare Punkte

Welche der nachstehenden Aussagen können mittels vollständiger Induktion bewiesen werden? Nr. 5075
	\(3^n -3\) ist durch 6 teilbar für alle \(n \in \mathbb{N}, \; n \geq 1\)
	\(\sum_{i=1}^n (3i -2) =\frac{n(3n - 1)}{2}\) für \(n \in \mathbb{N}\)
	Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Streckensymmetralen der Seiten des Dreiecks.
	Die Ableitung der Funktion \(f(g(x))\) ist gegeben durch \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
	\(n^3 = 27 \Rightarrow n = 3\)
Lösungsweg Vollständige Induktion kann zum Beweisen von Aussagen verwendet werden, die für alle natürlichen Zahlen gilt. (Möglich ist es auch, dass die Aussage erst für alle natürlichen Zahlen ab einem Wert \(n^* \in \mathbb{N}\) gilt (z.B. wenn die Aussage erst ab n = 2 definiert ist).) Bei der vollständigen Induktion wird die Aussage zuerst für den Induktionsanfang bewiesen (meist n = 0 oder n= 1). Nun nimmt man an, dass die Aussage A(n) für ein beliebiges n gelte (= Induktionsannahme). Dann folgt der Induktionsschritt: Daraus folgert man nun, dass die Aussage A(n+1) auch für die nächste natürliche Zahl (n+1) gilt.

5 erreichbare Punkte

Wie geht man vor, wenn man eine Aussage A(n) für \(n \in \mathbb{N}\) mittels Vollständiger Induktion beweisen möchte? Nr. 4642
	Man zeigt, dass A(n) für n=1, 2 und 3 gilt. Daraus folgt, dass A(n) für alle natürlichen Zahlen n gilt.
	Man nimmt an, dass A(n) für eine natürliche Zahl n gilt und zeigt, dass sie dann auch für n+1 gilt.
	Man nimmt an, dass A(n) für alle n=1, 2, ..., n* gilt und zeigt, dass dann auch A(n*+1) gilt.
	Man zeigt, dass A(1) gilt. Anschließend nimmt man an, dass A(n) für ein beliebiges n gilt und zeigt, dass dann auch A(n+1) gilt.
Lösungsweg 1. Induktionsanfang: Man zeigt, dass die Aussage A(n) für einen konkreten Wert n (meist n=1) gilt. 2. Induktionsannahme: Man nimmt an, dass A(n) für ein beliebiges n gilt. 3. Induktionsschluss: Man zeigt, dass A(n) unter der Induktionsannahme auch für n+1 gilt.

4 erreichbare Punkte

Wir betrachten folgenden Beweis für die Gleichung \(1=2\). 1) Es seien \(a, b\) zwei reelle Zahlen ungleich 0 und es gelte: \(a = b\) 2) Wir multiplizieren mit \(a\): \(\Leftrightarrow a^2 = ab\) 3) Wir addieren \((a^2 - 2ab)\): \(\Leftrightarrow a^2 + ( a^2 - 2ab) = ab + (a^2 - 2ab)\) 4) Wir vereinfachen beide Seiten: \(\Leftrightarrow 2 (a^2 - ab) = (a^2 -ab)\) 5) Division durch den Klammerausdruck liefert: \(\Leftrightarrow 2 = 1\) Welche(r) der Umformungen sind/ist nicht erlaubt? Nr. 5086
	1) da wir nicht einfach irgendwelche Voraussetzungen aufstellen dürfen.
	2) da wir nicht einfach mit einer beliebigen Zahl mutlipizieren dürfen.
	3) da wir nicht einfach Ausdrücke mit Variablen addieren dürfen.
	4) da wir nicht beliebige Umformungen durchführen dürfen.
	5) da wir nicht einfach durch Ausdrücke mit Variablen dividieren dürfen.
Lösungsweg Der 5. Umformungsschritt ist nicht erlaubt, da wir nur dann durch Ausdrücke mit Variablen dividieren dürfen, wenn diese ungleich 0 sind. Im vorliegenden Fall gilt aber \(a^2 - ab = a^2 -a^2 = 0\), da wir die Voraussetzung \(a =b\) aufgestellt haben.

5 erreichbare Punkte

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