Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Orthogonalität und Skalarprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}), (\begin{matrix} x \\ 4 \\ 1 \end{matrix})$ Nr. 2529
	x=-4,5
	x=-2
	x=-0,67
	x=1,5
	x=3,2
Lösungsweg $4 x + 4 + 4 = 0 x = - 8 / 4 = - 2$

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})$ Finden Sie den Vektor $\vec{b}$ , der normal auf $\vec{a}$ steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von $\vec{a}$ hat. Nr. 3019
	$\vec{b} = (\begin{matrix} 3, 32 \\ - 1, 11 \\ 0 \end{matrix})$
	$\vec{b} = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})$
	$\vec{b} = \frac{7}{2 \sqrt{10}} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$
	$\vec{b} = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$
	$\vec{b} = (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})$
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor $\vec{z} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ repräsentieren. Der gesuchte Vektor $\vec{b}$ ist also normal zu $\vec{a}$ und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): ${\vec{b}}^{'} = \vec{a} \times \vec{z}$ $‖ \vec{a} \| = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 \Rightarrow ‖ \vec{b} \| = \frac{7}{2}$ $\vec{b} = \frac{7}{2} \cdot \frac{{\vec{b}}^{'}}{‖ {\vec{b}}^{'} \|}$

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Parameter $u$ und $v$ so, dass der Vektor $\vec{c}$ sowohl zu $\vec{a}$ als auch zu $\vec{b}$ orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Vektorprodukts. $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix})$ , $\vec{b} = (\begin{matrix} - 2 \\ 14 \\ 1 \end{matrix})$ , $\vec{c} = (\begin{matrix} u \\ 1 \\ v \end{matrix})$ Nr. 3012
	$u = 4, 6 v = - 4, 8$
	$u = - 23 v = 24$
	$u = - 4, 6 v = 4, 8$
	$u = - 4, 8 v = 4, 6$
Lösungsweg $\vec{a} \times \vec{b}$ ist orthogonal auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ , daher parallel zu $\vec{c}$ .

4 erreichbare Punkte

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec{n}$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 7 \end{matrix})$ , $C = (\begin{matrix} - 3 \\ 6 \\ 10 \end{matrix})$ Nr. 3008
	$\vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \\ - 2 \end{matrix})$
	$\vec{n} = (\begin{matrix} 18 \\ 60 \\ - 12 \end{matrix})$
	$\vec{n} = (\begin{matrix} - 3 \\ - 10 \\ 2 \end{matrix})$
	$\vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ - 10 \\ 2 \end{matrix})$
	$\vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{matrix})$
Lösungsweg $\vec{A B} = B - A$ und $\vec{A C} = C - A$ $\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C}$

5 erreichbare Punkte

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec{n}$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ , $C = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ Nr. 3009
	Die Punkte A, B, C bilden keine Ebene, Aufgabe daher unlösbar.
	$\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$
	$\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$
	$\vec{n} = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})$
	$\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})$
Lösungsweg $\vec{A B}$ entspricht der z-Achse, $\vec{A C}$ entspricht der x-Achse. $\vec{n}$ muss daher parallel zur y-Achse sein.

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Parameter $u$ und $v$ so, dass der Vektor $\vec{c}$ sowohl zu $\vec{a}$ als auch zu $\vec{b}$ orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Skalarprodukts. $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix})$ , $\vec{b} = (\begin{matrix} - 2 \\ 14 \\ 1 \end{matrix})$ , $\vec{c} = (\begin{matrix} u \\ 1 \\ v \end{matrix})$ Nr. 3013
	$u = 4, 6 v = - 4, 8$
	$u = 4, 8 v = - 4, 6$
	$u = - 4, 6 v = 4, 8$
	$u = - 4, 8 v = 4, 6$
Lösungsweg Die Skalarprodukte zweier ortogonaler Vektoren sind 0. $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ und $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

4 erreichbare Punkte

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $(\begin{matrix} x \\ - 2 \\ - 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ Nr. 2530
	x=-2
	x=-1,5
	x=0
	x=2,2
	x=3
Lösungsweg $x - 3 = 0 x = 3$

5 erreichbare Punkte

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $A B C$ ? $A = (25 \| 13 \| 4)$ , $B = (11 \| 5 \| 10)$ , $C = (20 \| 0 \| - 25)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2513
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.
Lösungsweg $\vec{A B} = (\begin{matrix} 14 \\ 8 \\ - 6 \end{matrix})$ , $\vec{A C} = (\begin{matrix} 5 \\ 13 \\ 29 \end{matrix})$ $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 14 \cdot 5 + 8 \cdot 13 - 6 \cdot 29 = 0$

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