Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Parametrisierung von Flächen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Stellen Sie folgende Ebene in Normalvektorform dar: $x + 16 y - 2z = 7$ Nr. 4246
	$\epsilon: \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {1} \\ {-1} \\ {4} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {-1} \\ {16} \\ {-2} \end{array}\right)=0$
	$\epsilon: \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {4.5} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {-1} \\ {-16} \\ {-2} \end{array}\right)=0$
	$\epsilon: \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {4.5} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {16} \\ {-2} \end{array}\right)=0$
Lösungsweg Der Normalvektor kann an den Koeffizienten abgelesen werden: $x + 16 y - 2z = 7$ $\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {16} \\ {-2} \end{array}\right)$ Man benötigt nun noch den Orts- bzw. Stützvektor. Dieser muss so gewählt werden, dass die Ebenegleichung erfüllt ist: z.B.: wähle $x = 0, \; \; y=1$ $\rightarrow 0 + 16 \cdot 1 - 2z = 7 \\ \rightarrow 16-2z=7 \\ \rightarrow -2z = -9 \\ \rightarrow z = 4.5$ Man erhält also: $ \vec{a} = \left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {4.5} \end{array}\right)$ Die Normalvektorform der Ebene lautet also: $\epsilon: \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {4.5} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {16} \\ {-2} \end{array}\right)=0$

3 erreichbare Punkte

Stellen Sie folgende Ebene in Parameterform dar: $\epsilon \; : \; \; 2x+4y - 2z + 6 = 0$ $E : 2 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 + 6 = 0$ Nr. 4243
	$\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {2 + s} \\ {-3 -2s - t}\end{array}\right) $
	$\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {3 +2t + s}\end{array}\right) $
	$\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {3 +2s + t}\end{array}\right) $
Lösungsweg Die Parameterdarstellung einer Ebene sieht allgemein wie folgt aus: $\epsilon \; : \; \vec{x}=\vec{a}+ s\cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v} \\ \text{bzw.} \\ $ $\epsilon: \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) + s \cdot $$\left(\begin{array}{l}{u_{1}} \\ {u_{2}} \\ {u_{3}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}}\end{array}\right)$ Um zu dieser Darstellung zu kommen, löst man die Ebenengleichung nach z auf: $\epsilon \; : \; \; 2x+4y - 2z + 6 = 0$ $\rightarrow \; -2z = -6 - 2x -4y \\ \rightarrow \; z = 3 + x + 2y \$ Für x und y muss man nun Parameter setzen: $x=t \; , \; y=s \; , \; s, \; t \in \mathbb{R}$ Somit erhält man: $z = 3 + t +2s$ Damit kann die Parameterform aufgestellt werden: $\epsilon: \; \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {3}\end{array}\right) + s \cdot $$\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)$ oder kürzer: $\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {3 +2s + t}\end{array}\right) $

3 erreichbare Punkte

Stellen Sie folgende Ebene in Parameterform dar: $4x+3y+2z=5$ Nr. 4242
	$\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {\frac{5}{2} - \frac{3}{2}s -2t}\end{array}\right) $
	$\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {2s} \\ {\frac{5}{2} - 3s -2t}\end{array}\right) $
	$\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {5 - \frac{3}{2}s -2t}\end{array}\right) $
	$\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{5-t} \\ {5-s} \\ {5 - 3s -2t}\end{array}\right) $
Lösungsweg Die Parameterdarstellung einer Ebene sieht allgemein wie folgt aus: $\epsilon \; : \; \vec{x}=\vec{a}+ s\cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v} \\ \text{bzw.} \\ $ $\epsilon: \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) + s \cdot $$\left(\begin{array}{l}{u_{1}} \\ {u_{2}} \\ {u_{3}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}}\end{array}\right)$ Um zu dieser Darstellung zu kommen, löst man die Ebenengleichung nach z auf: $4x+3y+2z=5$ $\rightarrow 2z = 5-4x-3y$ $\rightarrow z = \frac{5}{2} - 2x - \frac{3}{2}y$ Für x und y muss man nun Parameter setzen: $x=t \; , \; y=s \; , \; s, \; t \in \mathbb{R}$ Somit erhält man: $z = \frac{5}{2} - 2t - \frac{3}{2}s$ Damit kann die Parameterform aufgestellt werden: $\epsilon: \; \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {\frac{5}{2}}\end{array}\right) + s \cdot $$\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {-\frac{3}{2}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {-2}\end{array}\right)$ oder kürzer: $\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {\frac{5}{2} - \frac{3}{2}s -2t}\end{array}\right) $

4 erreichbare Punkte

Stellen Sie die folgende Ebene in Parameterform dar: $\epsilon \; : \; \; 2(x-1) + 3(y-2) -1(z-5) = 0$ Nr. 4245
	$\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 +3t} \\ {2 +2s +t} \\ {5-2s} \end{array}\right) $
	$\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 +3s} \\ {2 +2s +t} \\ {5+3t} \end{array}\right) $
	$\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 } \\ {2 +s } \\ {5+3t} \end{array}\right) $
	$\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 +3s} \\ {5 -2s +t} \\ {2-3t} \end{array}\right) $
	$\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 - 3s} \\ {2 +2s +t} \\ {5+3t} \end{array}\right) $
Lösungsweg Die Parameterdarstellung einer Ebene sieht allgemein wie folgt aus: $\epsilon \; : \; \vec{x}=\vec{a}+ s\cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v} \\ \text{bzw.} \\ $ $\epsilon: \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) + s \cdot $$\left(\begin{array}{l}{u_{1}} \\ {u_{2}} \\ {u_{3}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}}\end{array}\right)$ Den Orts- bzw. Stützvektor $\vec{a}$ kann man in diesem Beispiel fast direkt ablesen: $\epsilon \; : \; \; 2(x-1) + 3(y-2) -1(z-5) = 0$ $\rightarrow \; \vec{a} = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right)$ Auch den Normalvektor kann man quasi ablesen: $\rightarrow \; \vec{n} = \left(\begin{array}{l} {2} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)$ Für die Parameterform sucht man allerdings zwei Vektoren $\vec{u} \; \text{ und } \; \vec{v}$, die in der Ebene liegen (also im rechten Winkel auf den Normalvektor stehen). Es muss also gelten: $\vec{n} \cdot \vec{u}=0$ und $\vec{n} \cdot \vec{v}=0$. Um das zu erreichen können wir z.B. folgendes wählen: ${\vec{u}= \left(\begin{array}{c} {-n_{2}} \\ {n_{1}} \\ {0} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right)} $ $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-n_3}\\ {n_{2}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) $ Wir erhalten also: $\epsilon: \; \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right) + s \cdot $$ \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right)} + t \cdot \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) $ oder kürzer: $\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 - 3s} \\ {2 +2s +t} \\ {5+3t} \end{array}\right) $

5 erreichbare Punkte

Geben Sie die durch die drei Punkte gegebene Ebene in Parameterform an P=(1,2,2) Q=(2,1,-1) R=(3,2,1) Nr. 4053
	$\vec x= \left(1\\2\\2\right)+u \left(2\\1\\-1\right) + v \left(3\\2\\1\right)$
	$\vec x= \left(u\\2\\2\right)+ \left(2\\v\\-1\right) + v \left(3\\2\\w\right)$
	$\vec x= \left(1\\2\\2\right)+u \left(1\\-1\\-3\right) + v \left(2\\0\\-1\right)$
Lösungsweg Parameterform: Ein Punkt und zwei Richtungsvektoren $\vec{PQ}=\left(1\\-1\\-3\right)$ $\vec{PR}=\left(2\\0\\-1\right)$

3 erreichbare Punkte

Welche Punkte befinden sich auf der Fläche $f(u,v)= (2v, \ u^2, \ u+v-1) $ ? Nr. 4051
	(2,1,1)
	(4,9,-2)
	(0,0,0)
	(2,2,1)

4 erreichbare Punkte

Rechnen Sie aus der Normalenform in die Parameterform um. Ebenengleichung $2(x_1-1)+2(x_2-2)+1(x_3-3)=0$ Nr. 3892
	$x(a,b)= \left( \begin{matrix} 2+2a-1b \\3+2b\\-2a \end{matrix} \right)$
	$x(a,b)= \left( \begin{matrix} 2a\\2a-1b\\2b \end{matrix} \right)$
	$x(a,b)= \left( \begin{matrix} 1-2a\\2+2a-1b\\3+2b \end{matrix} \right)$
Lösungsweg Stützvektor bleibt gleich $\vec p= \left( \begin{matrix} 1\\2\\3 \end{matrix} \right)$ Richtungsvektoren $\vec u= \left( \begin{matrix} -n_2\\n_1\\0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2\\2\\0 \end{matrix} \right)$ $\vec v= \left( \begin{matrix} 0\\-n_3\\n_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0\\-1\\2 \end{matrix} \right)$ $x(a,b)= \left( \begin{matrix} 1-2a\\2+2a-1b\\3+2b \end{matrix} \right)$

3 erreichbare Punkte

Rechnen Sie folgende Normalform der Ebene in die Parameterform um: $\epsilon \; : \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {13} \\ {2} \end{array}\right)=0$ Nr. 4244
	$\epsilon (s, \; t)= \; \left(\begin{array}{l} {2 + 13s} \\ {1 +s -t} \\ {3 + 13t} \end{array}\right) $
	$\epsilon (s, \; t)= \; \left(\begin{array}{l} {2 -s} \\ {1 - s -2t} \\ {3 + 13t} \end{array}\right) $
	$\epsilon (s, \; t)= \; \left(\begin{array}{l} {2 -13s} \\ {1 +s -2t} \\ {3 + 13t} \end{array}\right) $
Lösungsweg Die Parameterdarstellung einer Ebene sieht allgemein wie folgt aus: $\epsilon \; : \; \vec{x}=\vec{a}+ s\cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v} \\ \text{bzw.} \\ $ $\epsilon: \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) + s \cdot $$\left(\begin{array}{l}{u_{1}} \\ {u_{2}} \\ {u_{3}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}}\end{array}\right)$ Den Orts- bzw. Stützvektor $\vec{a}$ kann man in diesem Beispiel direkt ablesen: $\epsilon \; : \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {13} \\ {2} \end{array}\right)=0$ $\rightarrow \; \vec{a} = \left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)$ In der Normalform ist $\vec{n} = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {13} \\ {2} \end{array}\right)$ der Normalvektor der Ebene. Für die Parameterform sucht man allerdings zwei Vektoren $\vec{u} \; \text{ und } \; \vec{v}$, die in der Ebene liegen (also im rechten Winkel auf den Normalvektor stehen). Es muss also gelten: $\vec{n} \cdot \vec{u}=0$ und $\vec{n} \cdot \vec{v}=0$. Um das zu erreichen können wir z.B. folgendes wählen: ${\vec{u}= \left(\begin{array}{c} {-n_{2}} \\ {n_{1}} \\ {0} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} {-13} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)} $ $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-n_3}\\ {n_{2}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-2} \\ {13} \end{array}\right) $ Wir erhalten also: $\epsilon: \; \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + s \cdot $$ \left(\begin{array}{c} {-13} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)} + t \cdot \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-2} \\ {13} \end{array}\right) $ oder kürzer: $\epsilon (s, \; t)= \; \left(\begin{array}{l} {2 -13s} \\ {1 +s -2t} \\ {3 + 13t} \end{array}\right) $

3 erreichbare Punkte

Anmelden

Passwort vergessen
Registrieren

NEWS

Derzeit kommt es beim Rendern der Formeln leider zu einem Problem. Wir sind bemüht das Problem zu lösen.

Auch in diesem Semester für alle FHTW Studierenen wieder verfügbar: Der Mathe-Support

Mathematik lernen ist eine Herausforderung, vor allem im Eigenstudium! Sie tun sich schwer beim Lesen von mathematischen Skripten oder kommen bei den Übungsaufgaben nicht weiter? Vielleicht wollen Sie auch einfach nicht alleine, sondern lieber in einer Gruppe lernen? Dann kommen Sie zum Mathe-Support!

https://www.technikum-wien.at/mathe-support/

Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

Anmeldung und Informationen
Warm-up-Kurse

Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

weitere News

Stellen Sie folgende Ebene in Normalvektorform dar: \(x + 16 y - 2z = 7\) Nr. 4246
	\(\epsilon: \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {1} \\ {-1} \\ {4} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {-1} \\ {16} \\ {-2} \end{array}\right)=0\)
	\(\epsilon: \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {4.5} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {-1} \\ {-16} \\ {-2} \end{array}\right)=0\)
	\(\epsilon: \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {4.5} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {16} \\ {-2} \end{array}\right)=0\)
Lösungsweg Der Normalvektor kann an den Koeffizienten abgelesen werden: \(x + 16 y - 2z = 7\) \(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {16} \\ {-2} \end{array}\right)\) Man benötigt nun noch den Orts- bzw. Stützvektor. Dieser muss so gewählt werden, dass die Ebenegleichung erfüllt ist: z.B.: wähle \(x = 0, \; \; y=1\) \(\rightarrow 0 + 16 \cdot 1 - 2z = 7 \\ \rightarrow 16-2z=7 \\ \rightarrow -2z = -9 \\ \rightarrow z = 4.5\) Man erhält also: \( \vec{a} = \left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {4.5} \end{array}\right)\) Die Normalvektorform der Ebene lautet also: \(\epsilon: \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {4.5} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {16} \\ {-2} \end{array}\right)=0\)

Stellen Sie folgende Ebene in Parameterform dar: \(\epsilon \; : \; \; 2x+4y - 2z + 6 = 0\) $E : 2 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 + 6 = 0$ Nr. 4243
	\(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {2 + s} \\ {-3 -2s - t}\end{array}\right) \)
	\(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {3 +2t + s}\end{array}\right) \)
	\(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {3 +2s + t}\end{array}\right) \)
Lösungsweg Die Parameterdarstellung einer Ebene sieht allgemein wie folgt aus: \(\epsilon \; : \; \vec{x}=\vec{a}+ s\cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v} \\ \text{bzw.} \\ \) \(\epsilon: \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) + s \cdot \)\(\left(\begin{array}{l}{u_{1}} \\ {u_{2}} \\ {u_{3}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}}\end{array}\right)\) Um zu dieser Darstellung zu kommen, löst man die Ebenengleichung nach z auf: \(\epsilon \; : \; \; 2x+4y - 2z + 6 = 0\) \(\rightarrow \; -2z = -6 - 2x -4y \\ \rightarrow \; z = 3 + x + 2y \\) Für x und y muss man nun Parameter setzen: \(x=t \; , \; y=s \; , \; s, \; t \in \mathbb{R}\) Somit erhält man: \(z = 3 + t +2s\) Damit kann die Parameterform aufgestellt werden: \(\epsilon: \; \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {3}\end{array}\right) + s \cdot \)\(\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)\) oder kürzer: \(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {3 +2s + t}\end{array}\right) \)

Stellen Sie folgende Ebene in Parameterform dar: \(4x+3y+2z=5\) Nr. 4242
	\(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {\frac{5}{2} - \frac{3}{2}s -2t}\end{array}\right) \)
	\(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {2s} \\ {\frac{5}{2} - 3s -2t}\end{array}\right) \)
	\(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {5 - \frac{3}{2}s -2t}\end{array}\right) \)
	\(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{5-t} \\ {5-s} \\ {5 - 3s -2t}\end{array}\right) \)
Lösungsweg Die Parameterdarstellung einer Ebene sieht allgemein wie folgt aus: \(\epsilon \; : \; \vec{x}=\vec{a}+ s\cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v} \\ \text{bzw.} \\ \) \(\epsilon: \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) + s \cdot \)\(\left(\begin{array}{l}{u_{1}} \\ {u_{2}} \\ {u_{3}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}}\end{array}\right)\) Um zu dieser Darstellung zu kommen, löst man die Ebenengleichung nach z auf: \(4x+3y+2z=5\) \(\rightarrow 2z = 5-4x-3y\) \(\rightarrow z = \frac{5}{2} - 2x - \frac{3}{2}y\) Für x und y muss man nun Parameter setzen: \(x=t \; , \; y=s \; , \; s, \; t \in \mathbb{R}\) Somit erhält man: \(z = \frac{5}{2} - 2t - \frac{3}{2}s\) Damit kann die Parameterform aufgestellt werden: \(\epsilon: \; \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {\frac{5}{2}}\end{array}\right) + s \cdot \)\(\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {-\frac{3}{2}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {-2}\end{array}\right)\) oder kürzer: \(\epsilon(s,t) = \left(\begin{array}{l}{t} \\ {s} \\ {\frac{5}{2} - \frac{3}{2}s -2t}\end{array}\right) \)

Stellen Sie die folgende Ebene in Parameterform dar: \(\epsilon \; : \; \; 2(x-1) + 3(y-2) -1(z-5) = 0\) Nr. 4245
	\(\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 +3t} \\ {2 +2s +t} \\ {5-2s} \end{array}\right) \)
	\(\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 +3s} \\ {2 +2s +t} \\ {5+3t} \end{array}\right) \)
	\(\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 } \\ {2 +s } \\ {5+3t} \end{array}\right) \)
	\(\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 +3s} \\ {5 -2s +t} \\ {2-3t} \end{array}\right) \)
	\(\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 - 3s} \\ {2 +2s +t} \\ {5+3t} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Die Parameterdarstellung einer Ebene sieht allgemein wie folgt aus: \(\epsilon \; : \; \vec{x}=\vec{a}+ s\cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v} \\ \text{bzw.} \\ \) \(\epsilon: \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) + s \cdot \)\(\left(\begin{array}{l}{u_{1}} \\ {u_{2}} \\ {u_{3}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}}\end{array}\right)\) Den Orts- bzw. Stützvektor \(\vec{a}\) kann man in diesem Beispiel fast direkt ablesen: \(\epsilon \; : \; \; 2(x-1) + 3(y-2) -1(z-5) = 0\) \(\rightarrow \; \vec{a} = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right)\) Auch den Normalvektor kann man quasi ablesen: \(\rightarrow \; \vec{n} = \left(\begin{array}{l} {2} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) Für die Parameterform sucht man allerdings zwei Vektoren \(\vec{u} \; \text{ und } \; \vec{v}\), die in der Ebene liegen (also im rechten Winkel auf den Normalvektor stehen). Es muss also gelten: \(\vec{n} \cdot \vec{u}=0\) und \(\vec{n} \cdot \vec{v}=0\). Um das zu erreichen können wir z.B. folgendes wählen: \({\vec{u}= \left(\begin{array}{c} {-n_{2}} \\ {n_{1}} \\ {0} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right)} \) \(\vec{v}= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-n_3}\\ {n_{2}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) \) Wir erhalten also: \(\epsilon: \; \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right) + s \cdot \)\( \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right)} + t \cdot \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) \) oder kürzer: \(\epsilon (s,\; t)= \; \left(\begin{array}{l} {1 - 3s} \\ {2 +2s +t} \\ {5+3t} \end{array}\right) \)

Geben Sie die durch die drei Punkte gegebene Ebene in Parameterform an P=(1,2,2) Q=(2,1,-1) R=(3,2,1) Nr. 4053
	\(\vec x= \left(1\\2\\2\right)+u \left(2\\1\\-1\right) + v \left(3\\2\\1\right)\)
	\(\vec x= \left(u\\2\\2\right)+ \left(2\\v\\-1\right) + v \left(3\\2\\w\right)\)
	\(\vec x= \left(1\\2\\2\right)+u \left(1\\-1\\-3\right) + v \left(2\\0\\-1\right)\)
Lösungsweg Parameterform: Ein Punkt und zwei Richtungsvektoren \(\vec{PQ}=\left(1\\-1\\-3\right)\) \(\vec{PR}=\left(2\\0\\-1\right)\)

Rechnen Sie aus der Normalenform in die Parameterform um. Ebenengleichung \(2(x_1-1)+2(x_2-2)+1(x_3-3)=0\) Nr. 3892
	\(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 2+2a-1b \\3+2b\\-2a \end{matrix} \right)\)
	\(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 2a\\2a-1b\\2b \end{matrix} \right)\)
	\(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 1-2a\\2+2a-1b\\3+2b \end{matrix} \right)\)
Lösungsweg Stützvektor bleibt gleich \(\vec p= \left( \begin{matrix} 1\\2\\3 \end{matrix} \right)\) Richtungsvektoren \(\vec u= \left( \begin{matrix} -n_2\\n_1\\0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2\\2\\0 \end{matrix} \right)\) \(\vec v= \left( \begin{matrix} 0\\-n_3\\n_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0\\-1\\2 \end{matrix} \right)\) \(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 1-2a\\2+2a-1b\\3+2b \end{matrix} \right)\)

Rechnen Sie folgende Normalform der Ebene in die Parameterform um: \(\epsilon \; : \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {13} \\ {2} \end{array}\right)=0\) Nr. 4244
	\(\epsilon (s, \; t)= \; \left(\begin{array}{l} {2 + 13s} \\ {1 +s -t} \\ {3 + 13t} \end{array}\right) \)
	\(\epsilon (s, \; t)= \; \left(\begin{array}{l} {2 -s} \\ {1 - s -2t} \\ {3 + 13t} \end{array}\right) \)
	\(\epsilon (s, \; t)= \; \left(\begin{array}{l} {2 -13s} \\ {1 +s -2t} \\ {3 + 13t} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Die Parameterdarstellung einer Ebene sieht allgemein wie folgt aus: \(\epsilon \; : \; \vec{x}=\vec{a}+ s\cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v} \\ \text{bzw.} \\ \) \(\epsilon: \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{a_{1}} \\ {a_{2}} \\ {a_{3}}\end{array}\right) + s \cdot \)\(\left(\begin{array}{l}{u_{1}} \\ {u_{2}} \\ {u_{3}}\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{l}{v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}}\end{array}\right)\) Den Orts- bzw. Stützvektor \(\vec{a}\) kann man in diesem Beispiel direkt ablesen: \(\epsilon \; : \; \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {1} \\ {13} \\ {2} \end{array}\right)=0\) \(\rightarrow \; \vec{a} = \left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\) In der Normalform ist \(\vec{n} = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {13} \\ {2} \end{array}\right)\) der Normalvektor der Ebene. Für die Parameterform sucht man allerdings zwei Vektoren \(\vec{u} \; \text{ und } \; \vec{v}\), die in der Ebene liegen (also im rechten Winkel auf den Normalvektor stehen). Es muss also gelten: \(\vec{n} \cdot \vec{u}=0\) und \(\vec{n} \cdot \vec{v}=0\). Um das zu erreichen können wir z.B. folgendes wählen: \({\vec{u}= \left(\begin{array}{c} {-n_{2}} \\ {n_{1}} \\ {0} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} {-13} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)} \) \(\vec{v}= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-n_3}\\ {n_{2}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-2} \\ {13} \end{array}\right) \) Wir erhalten also: \(\epsilon: \; \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + s \cdot \)\( \left(\begin{array}{c} {-13} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)} + t \cdot \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-2} \\ {13} \end{array}\right) \) oder kürzer: \(\epsilon (s, \; t)= \; \left(\begin{array}{l} {2 -13s} \\ {1 +s -2t} \\ {3 + 13t} \end{array}\right) \)

Mathematik Übungsplattform

Übungstest

Anmelden

NEWS