Aus der Koordinatenform können Sie direkt den Normalvektor ablesen:

\(-7x+0.5y=14\)

\(\rightarrow n_1=-7 \; , \; n_2=0.5\)

\(\rightarrow \vec{n}= \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {0.5} \end{array}\right)\)

Die Allgemeine Normalvektorform lautet:

\(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \)  bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\)

Vergleichen Sie die rechte Darstellung mit der Koordinatenform, so erkennen Sie, dass nun nur noch folgendes gelöst werden muss:

\(\vec{n} \cdot P = 14\)

\( \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {0.5} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = 14\)  \(\rightarrow -7p_1 + 0.5p_2 = 14\)

Wählen Sie z.B.  \(p_2 = 0\), dann erhalten Sie sofort:

\( -7p_1 = 14 \rightarrow p_1 = -2\)

Sie erhalten also:

\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {0.5} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {0} \end{array}\right) \Big) = 0 \)

Der Winkel \(\varphi \) zwischen den beiden Geraden g und h ist gegeben durch:

\(\varphi = \arccos (|\vec{g_0}\cdot \vec{h_0}|)\),  wobei \(\vec{g_0}\) und \(\vec{h_0}\) die jeweiligen Richtungsvektoren mit Länge 1 sind.

\(\vec{g_0} = \frac{ \vec{g} }{ \mid \vec{g} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ (-1)^2 +(-2)^2+5^2} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) = \)\(\frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) \)

\(\vec{h_0} = \frac{ \vec{h} }{ \mid \vec{h} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ 1^2 + (-2)^2+(-5)^2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right) \)\(= \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right) \)

\(\vec{g_0}\cdot \vec{h_0} = \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) \cdot \)\( \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right) \)\(= \frac{1}{ 30 } \Big( (-1)\cdot 1 - 2 \cdot (-2) + 5 \cdot (-5) \Big) = \frac{-22}{ 30 } =- \frac{11}{ 15 }\)

\(\varphi = \arccos (|\vec{g_0}\cdot \vec{h_0}|) = \arccos \Big( \frac{11}{15} \Big) \approx 42,83^\circ\)

Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten:

1. schneidend
2. parallel
3. identisch

Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden:

\(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \end{array}\right)\)  und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-4.5} \\ {7.5} \end{array}\right)\)

Nun wird überprüft, ob die beiden Richtungsvektoren paralle sind (also ob sie ein Vielfaches voneinander sind):

Für die x-Komponente der Vketoren gilt: \(3 \cdot (-1.5) = -4.5\)

Für die y-Komponente folgt jedoch: \(-5 \cdot (-1.5) = 7.5\)

Somit sind die beiden Vektoren ein Vielfaches voneinander und die Geraden sind entweder parallel oder identisch.

Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.:

\(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right) \in g_2 ?\)

\(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right) \stackrel{?}{=} \left(\begin{array}{c} {9} \\ {-15} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-4.5} \\ {7.5} \end{array}\right)\)

Aus der ersten Zeile erhalten Sie:

\(0 = 9 -4.5 s\rightarrow s =2\)

Aus der zweiten Zeile erhalten Sie:

\(0 = -15 + 7.5s \rightarrow s=2\)

Daraus folgt:

\(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right) \in g_2 \)
  

Die Geraden sind identisch.

Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten:

1. schneidend
2. parallel
3. identisch

Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden. Dafür kann aus der Koordinatenform der Normalvektor abgelesen werden. Diesen kann man dann zu einem Richtungsvektor umwandeln:

\(g_2\; : \; \; \; 3x - 4y = 16\)

\(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \end{array}\right)\)  \(\rightarrow \vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\)

Nun können die beiden Richtungsvektoren verglichen werden:

\(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {8} \\ {6} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\)

Es kann sofort erkannt werden, dass gilt: \(\vec{g_1} = 2 \cdot \vec{g_2}\)

Die Geraden sind somit entweder parallel oder identisch.

Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \in g_2 ?\)

\(\rightarrow \; 3\cdot (-1) - 4\cdot 1 = -3 - 4 = - 7 \neq 16\)

Daraus folgt:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \notin g_2 \)  

Die Geraden sind parallel.

Die allgemeine Normalvektorform einer Gerade im \(\mathbb{R}^2\) lautet:

\(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \)  bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\)

wobei \(\vec{n}\) der Normalvektor der Gerade ist, X ein allgemeiner Punkt der Ebene und P ein Punkt auf der Gerade.

Den Normalvektor erhalten Sie, indem Sie zuerst den Vektor \(\vec{AB}\) berechnen:

\(\vec{AB} = B - A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)\)

Nun erhalten Sie einen Vektor, der normal auf \(\vec{AB}\) steht, indem Sie die beiden Komponenten vertauschen, und bei einer der beiden das Vorzeichen ändern. Z.B.:

\(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)\)

Als Punkt auf der Gerade, können Sie A oder B wählen. Hier wird A gewählt und man erhält:

\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0 \)

Der Abstand lässt sich über die Hesse'sche Abstandsformel berechnen:

\(d(P, \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\)  , wobei \(A \in \epsilon\) und \(\vec{n_0} \perp \epsilon\) mit Länge 1.

Der Normalvektor lässt sich direkt aus der Ebenengleichung ablesen:

\(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)\)

Nun wir der Einheitsvektor von \(\vec{n}\) benötigt:

\(\vec{n_0} = \frac{1}{ \mid \vec{n} \mid } \cdot \vec{n} = \frac{1}{ \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{ \sqrt{14} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)\)

Um den Punkt A zu erhalten, wird folgendes Wissen benutzt: Die rechte Seite der Ebenegleichung besagt \(\vec{n} \cdot \vec{A} = 1\)

\(\rightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {a_1} \\ {a_2} \\ {a_3} \end{array}\right) =1\)

Die \(a_i\) müssen so bestimmt werden, dass die obige Gleichung erfüllt ist. Die einfachste Wahl ergibt:

\(A = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)\)

\(\vec{AP} = P -A = \left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \\ {-6} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) = \)\(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \\ {-6} \end{array}\right)\)

\(d(P, \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \\ {-6} \end{array}\right) \cdot \)\( \frac{1}{ \sqrt{14} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) \mid\)

\(d(P, \epsilon) = \mid \frac{1}{ \sqrt{14} } \big( 4 \cdot 1 +3 \cdot 3 -6 \cdot (-2) \big) \mid = \mid \frac{25}{ \sqrt{14} } \mid \)

Aus der Koordinatenform können Sie direkt den Normalvektor ablesen:

\(2x - y = -3\)

\(\rightarrow n_1=2 \; , \; n_2=-1\)

\(\rightarrow \vec{n}= \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right)\)

Den Richtungsvektor \(\vec{g}\) der Geraden erhalten Sie durch Vertauschen der Komponenten des Normalvektors und durch Ändern des Vorzeichens einer Komponente. Also z.B.

\(\vec{g}= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)\)

Um einen Punkt auf der Geraden zu erhalten, muss folgende Gleichung gelöst werden:

\(\vec{n} \cdot P = -3\)

\( \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = -3\)  

  \(\rightarrow 2p_1 - p_2 = -3\)

Wählen Sie z.B.  \(p_1 = 0\), dann erhalten Sie sofort:

\(-p_2 = -3 \rightarrow p_2 = 3\)

Die allgemeine Parameterform einer Geraden lautet:

\(g : \; X= P + t \cdot \vec{g} \)

Somit haben Sie nun alles, was Sie brauchen:

\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).

Da die Gerade normal auf g stehen soll, müssen Sie einen Normalvektor des Richtungsvektors \(\vec{g}= \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) bilden:

zum Beispiel \(\vec{n}= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)\), dieser Vektor zeigt nun entlang der neuen Geraden und dient somit als neuer Richtungsvektor

Nun müssen nur noch der neue Richtungsvektor und der neue Punkt in die allgemeine Parameterform eingesetzt werden:

\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\).