Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Analytische Geometrie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform: $g : X = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ , mit $t \in R .$ Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes $P = (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \end{matrix})$ von der Geraden g. Nr. 4271
	$d (P, g) = 7.5$
	$d (P, g) = \frac{10.5}{\sqrt{10}}$
	$d (P, g) = 4.5$
	$d (P, g) = \frac{4}{\sqrt{10}}$
	$d (P, g) = \frac{3}{10}$
Lösungsweg Der Abstand kann mit Hilfe der Hesse'schen Normalabstandsformel berechnet werden: $d (P, g) =∣ \vec{A P} \cdot \vec{n_{0}} ∣$ , wobei $A \in g$ und $\vec{n_{0}} ⊥ g$ . Aus der Parameterform können Sie den Punkt A direkt ablesen: $A = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix})$ Den Normalvektor erhalten Sie mit Hilfe des Richtungsvektors $\vec{g} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ : $\vec{n} = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})$ $\vec{n_{0}}$ ist der Einheits-Normalvektor. Somit muss $\vec{n}$ noch normiert werden: $\vec{n_{0}} = \frac{\vec{n}}{∣ \vec{n} ∣} = \frac{1}{\sqrt{(- 1)^{2} + 3^{2}}} (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) =$ $\frac{1}{\sqrt{10}} (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})$ Somit: $\vec{A P} = P - A = (\begin{matrix} - 1 \\ 0.5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 2.5 \end{matrix})$ $d (P, g) =∣ \vec{A P} \cdot \vec{n_{0}} ∣=∣ \frac{1}{\sqrt{10}} (\begin{matrix} - 3 \\ 2.5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) ∣$ $d (P, g) =∣ \frac{1}{\sqrt{10}} ((- 3) \cdot (- 1) + 2.5 \cdot 3) ∣=∣ \frac{3 + 7.5}{\sqrt{10}} ∣= \frac{10.5}{\sqrt{10}}$

5 erreichbare Punkte

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden im $R^{3}$ an: $g_{1} : X = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 14 \end{matrix})$ , $t \in R$ . $g_{2} : X = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ , $s \in R$ . Nr. 4283
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind parallel.
	Die Geraden sind windschief.
	Die Geraden schneiden einander.
Lösungsweg Im $R^{3}$ gibt es für die Lagebeziehung zweier Geraden folgende vier Möglichkeiten: parallel identisch schneidend windschief (=kreuzend) Analog zum zweidimensionalen Fall kann zwischen den ersten beiden und letzten beiden Fällen entschieden werden, indem zuerst die beiden Richtungsvektoren verglichen werden: $\vec{g_{1}} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 14 \end{matrix})$ und $\vec{g_{2}} = (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ Diese beiden Vektoren sind kein Vielfaches voneinander, somit sind die Geraden weder parallel noch identisch. Um zwischen dem dritten und vierten Fall zu unterscheiden, muss untersucht werden, ob die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt S haben: $g_{1} \cap g_{2} \overset{?}{=} {S}$ $\to (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 14 \end{matrix}) =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ Daraus erhält man drei lineare Gleichungen für s und t. $3 + 2 t = 2 - 3 s 3 = 3 + 4 s - 2 - 14 t = 5 + 6 s$ Zur Berechnung der beiden Parameter reichen zwei Gleichungen aus, hier werden die zweite und die erste gewählt: $3 = 3 + 4 s \to s = 0$ $3 + 2 t = 2 - 3 \cdot 0 2 t = - 1 t = - \frac{1}{2}$ Nun gilt es, zu überprüfen ob mit diesen beiden Parameterwerten auch die dritte Gleichung erfüllt ist: $- 2 - 14 t = 5 + 6 s - 2 - 14 (- \frac{1}{2}) \overset{?}{=} 5 + 6 \cdot 0 5 = 5 \sqrt$ Die Geraden schneiden einander also.

4 erreichbare Punkte

Gegeben ist folgende Gerade im $R^{3}$ : $g : X = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$ , $t \in R$ . Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade g und dem Punkt $P = (\begin{matrix} 10 \\ - 5 \\ 8 \end{matrix})$ Nr. 4280
	$d (P, g) = 5.75$
	$d (P, g) = 5 \sqrt{\frac{13}{14}}$
	$d (P, g) = 125$
	$d (P, g) = 3 \sqrt{2 π}$
	$d (P, g) = - 11.684$
Lösungsweg Im $R^{3}$ kann der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden folgendermaßen berechnet werden: $d (P, g) =∣ \vec{A P} \times \vec{g_{0}} ∣$ , wobei $A \in g$ und $\vec{g_{0}}$ der Richtungsvektor der Geraden g mit der Länge 1 (also der normierte Richtungsvektor der Geraden g) ist. Somit: $\vec{A P} = P - A = (\begin{matrix} 10 \\ - 5 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ - 4 \end{matrix}) =$ $(\begin{matrix} 9 \\ - 10 \\ 12 \end{matrix})$ $\vec{g_{0}} = \frac{1}{∣ \vec{g} ∣} \cdot \vec{g} = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + 3^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$ $= \frac{1}{\sqrt{14}} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$ $\vec{A P} \times \vec{g_{0}} = \frac{1}{\sqrt{14}} (\begin{matrix} 9 \\ - 10 \\ 12 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) =$ $\frac{1}{\sqrt{14}} (\begin{matrix} - 30 + 24 \\ - 27 + 12 \\ - 18 + 10 \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{14}} (\begin{matrix} - 6 \\ - 15 \\ - 8 \end{matrix})$ $d (P, g) =∣ \vec{A P} \times \vec{g_{0}} ∣=∣ \frac{1}{\sqrt{14}} (\begin{matrix} - 6 \\ - 15 \\ - 8 \end{matrix}) ∣$ $= \frac{1}{\sqrt{14}} \sqrt{(- 6)^{2} + (- 15)^{2} + (- 8)^{2}} = \frac{\sqrt{325}}{\sqrt{14}} = 5 \sqrt{\frac{13}{14}}$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Schnittpunkt der folgenden Ebene $ϵ : - (x + 2) + 2 (y + 3) + 4 (z - 1) = 0$ mit der Geraden durch die beiden Punkte $A = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$ und $B = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})$ . Nr. 4292
	$S = (\begin{matrix} 2 + t \\ 3 - 2 t \\ - 4 t \end{matrix})$ , mit $t \in R .$
	$S = \frac{2}{3} (\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ - 2 \end{matrix})$
	$S = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$
	$S = \frac{1}{15} (\begin{matrix} - 8 \\ 38 \\ - 21 \end{matrix})$
Lösungsweg Zuerst wird die Gerade in Parameterform bestimmt. Die allgemeine Parameterform einer Geraden lautet: $g : X = A + t \cdot \vec{g}$ , wobei $A \in g$ , $t \in R$ und $\vec{g}$ ein Richtungsvektor der Geraden. Zuerst wird der Richtungsvektor bestimmt: $\vec{g} = \vec{A B} = B - A = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) =$ $(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix})$ Für die Gerade folgt also: $g : X = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix})$ , mit $t \in R .$ Daraus kann man für die drei Koordinaten folgende Gleichungen ablesen: $x = - 1 + t y = 3 - t z = - 3 t$ Mit diesen Gleichungen können die drei Koordinaten in der Ebenengleichung ersetzt werden: $ϵ : - (x + 2) + 2 (y + 3) + 4 (z - 1) = 0$ $\to - (- 1 + t + 2) + 2 (3 - t + 3) + 4 (- 3 t - 1) = 0$ $1 - t - 2 + 6 - 2 t + 6 - 12 t - 4 = 0 7 - 15 t = 0 - 15 t = - 7 t = \frac{7}{15}$ Den Schnittpunkt erhalten Sie, indem Sie in der Parameterdarstellung der Geraden für t die Zahl 7/15 einsetzen: $g : S = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{7}{15} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix})$ $S = \frac{1}{15} (\begin{matrix} - 8 \\ 38 \\ - 21 \end{matrix})$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Schwerpunkt des Dreiecks ABC: $A = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$ , $C = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$ Nr. 4277
	$S = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 12 \\ 7 \\ 4 \end{matrix})$
	$S = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 12 \\ 7 \\ 4 \end{matrix})$
	$S = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$
	$S = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$
	$S = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$
Lösungsweg Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks gilt: $S = \frac{1}{3} (A + B + C)$ Daher: $S = \frac{1}{3} [(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$ $+ (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})]$ $S = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 12 \\ 7 \\ 4 \end{matrix})$

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P: $g : X = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix})$ , mit $t \in R$ und $P = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix})$ . Geben Sie die Parameterform einer Geraden an, die normal zu g und durch den Punkt P verläuft! Nr. 4269
	$g : X = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix})$ , mit $t \in R$ .
	$g : X = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ , mit $t \in R$ .
	$g : X = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix})$ , mit $t \in R$ .
Lösungsweg Da die Gerade normal auf g stehen soll, müssen Sie einen Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{g} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix})$ bilden: zum Beispiel $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ , dieser Vektor zeigt nun entlang der neuen Geraden und dient somit als neuer Richtungsvektor Nun müssen nur noch der neue Richtungsvektor und der neue Punkt in die allgemeine Parameterform eingesetzt werden: $g : X = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ , mit $t \in R$ .

3 erreichbare Punkte

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an: $g_{1} : X = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})$ , mit $t \in R .$ $g_{2} : 3 x - 4 y = 16$ Nr. 4276
	Die Geraden schneiden einander.
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind parallel.
Lösungsweg Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten: schneidend parallel identisch Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden. Dafür kann aus der Koordinatenform der Normalvektor abgelesen werden. Diesen kann man dann zu einem Richtungsvektor umwandeln: $g_{2} : 3 x - 4 y = 16$ $\to \vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \end{matrix})$ $\to \vec{g_{2}} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ Nun können die beiden Richtungsvektoren verglichen werden: $\vec{g_{1}} = (\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix})$ und $\vec{g_{2}} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ Es kann sofort erkannt werden, dass gilt: $\vec{g_{1}} = 2 \cdot \vec{g_{2}}$ Die Geraden sind somit entweder parallel oder identisch. Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.: $(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) \in g_{2} ?$ $\to 3 \cdot (- 1) - 4 \cdot 1 = - 3 - 4 = - 7 \neq 16$ Daraus folgt: $(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}) \notin g_{2}$ Die Geraden sind parallel.

3 erreichbare Punkte

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P: $g : X = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix})$ , mit $t \in R$ und $P = (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \end{matrix})$ . Geben Sie die Normalvektorform der Geraden an, die normal zu g und durch den Punkt P verläuft! Nr. 4270
	$g : - 3 x + 2 y = 6$
	$g : (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (X - (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \end{matrix})) = 0$
	$g : (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (X - (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \end{matrix})) = 0$
	$g : (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (X - (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \end{matrix})) = 0$
Lösungsweg Die allgemeine Normalvektorform lautet: $g : \vec{n} \cdot (X - P) = 0$ bzw. $g :$ $\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P$ Da die neue Gerade normal auf die gegeben stehen soll, ist der Richtungsvektor $\vec{g} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix})$ direkt der Normalvektor der neuen Geraden: $\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix})$ Nun müssen nur noch der neue Punkt P und der Normalvektor in die allgemeine Normalvektorform eingesetzt werden: $g : (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (X - (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \end{matrix})) = 0$

4 erreichbare Punkte

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