Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Fourier-Transformationen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie die Fouriertransformierte\(F= \mathcal{F}(f)\) der folgenden Funktion \(f(t)=e^{-7it} \cdot 8 \cdot e^{-\|4t\|}\). Hinweis: \(e^{-\frac{\|t\|}{T}} \circ - \bullet \frac{2T}{1+(\omega T)^2}\) Nr. 3949
	\( \frac{8}{1+(\frac{\omega - 7}{4})^2}\)
	\( \frac{1}{1+(\frac{\omega - 7}{4})^2}\)
	\( \frac{8}{1+(\frac{\omega - 12}{5})^2}\)
	\( \frac{8}{1+(\frac{\omega}{4})^2}\)
Lösungsweg \(f(t)=e^{7it} \cdot 8 \cdot e^{-\|4t\|}\) \(e^{-\|t\|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}\) \(e^{-\|4t\|} \circ - \bullet \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}\) Streckung: c=4 \(8 \cdot e^{-\|4t\|} \circ - \bullet 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}\) Linearität: \(\alpha = 8\) \(e^{-7it} \cdot 8 \cdot e^{-\|4t\|} \circ - \bullet 4 \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega - 7}{4})^2}\) Verschiebung im Frequenzbereich: \(\Omega=7\) Streckung: \(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\) Linearität: \(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\) Verschiebung im Zeitbereich: \(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\) Verschiebung im Frequenzbereich: \(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Fouriertransformierte der folgenden Funktion: \(x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} {1:} & {\mid x \mid \leq a} \\ {0:} & {\mid x \mid > a} \end{array}\right. \) Nr. 4231
	\(=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\sin (ak)}{k} \)
	\(=\sqrt{2\pi} \cos (ak)}\)
	\( = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} ki \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) \)
Lösungsweg \(\mathcal{F} (f) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \bigint_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}dx = \\ \) \(= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Big( \bigint_{-\infty}^{-a} 0 \cdot e^{-ikx} dx + \bigint_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-ikx} dx + \bigint_{a}^{\infty} 0 \cdot e^{-ikx} \Big) = \\ \) \(= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\bigint_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-ikx} dx = \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{-ik} e^{-ikx} \; \mid _{-a}^{a} = \\ \) \(= \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big)\) Nun muss etwas getrickst werden (der obige Ausdruck wird mit 2 unter der Wurzel erweitert): \(= \sqrt{\frac{2}{2\cdot 2\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ = \sqrt{\frac{2}{4\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) \) Nun kann die Wurzel aus 4 gezogen werden und man erhält: \(= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{2ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2i} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ \) \(=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{k} \sin (ak) = \\ =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\sin (ak)}{k} \)

3 erreichbare Punkte

Die Fouriertransformierte der Funktion \(f\) mit \(f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-bt} & t \geq 0 \\ 0 & \text{sonst} \\ \end{array} \right.\) für \(b > 0\) (einseitig abfallender Impuls) ist durch \(F(\omega)=\frac{1}{b+j\omega}\) gegeben. (Dies muss nicht gezeigt werden!) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte des von doppelter Höhe abfallenden Impulses \(2\cdot f(x)\). Abbildung von \(f\)(blau) und \(2 \cdot f\)(rot) für \(b=1\): Nr. 4868
	\(\frac{1}{2b+j\omega}\)
	\(\frac{2}{b+j\omega}\)
	\(\frac{1}{b+2j\omega}\)
	\(\frac{1}{b+j\frac{\omega}{2]}\)
	\(\frac{e^{-2j\omega}}{b+j\omega}\)
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(a \cdot f(t)\) ist durch \(a \cdot F(\omega)\) gegeben. Daher ist die richtige Antwort \(2 \cdot \frac{1}{b+j\omega}=\frac{2}{b+j\omega}\).

5 erreichbare Punkte

Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(t)=2e^{-t^2}\) und \(g(t)=e^{-(t+3)^2}\). Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von \(f \star g\) (der Faltung von \(f\) mit \(g\)). Hinweis: Nr. 4872
	\(2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}+\sqrt{\pi}e^{-(\omega+3)^2/4}\)
	\(2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}+e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\)
	\(e^{2j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4} \cdot \sqrt{\pi}e^{(-\omega+3)^2/4}\)
	\((2+e^{3j\omega}) \sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\)
	\(2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2 = 2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}\)
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(a \cdot f(t)\) ist durch \(a \cdot F(\omega)\) gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe (mit \(a=2\)): \(F(\omega)=2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\). Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(t-a)\) ist durch \(e^{-ja\omega}\cdot F(\omega)\) gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe (mit \(a=-3\)): \(G(\omega)=e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\). Weiters gilt: Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \((f \star g)(t)\) ist durch \(F(\omega) \cdot G(\omega)\) gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe: \(\mathcal{F}[(f \star g)(t)](\omega)=F(\omega)\cdot G(\omega)=2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4} \cdot e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}= 2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2\) und \(2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2\) die richtige Antwort. Anmerkung: Die Lösung kann noch weiter umgeformt ("vereinfacht") werden: \(2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2=2e^{3j\omega}\sqrt{\pi}^2(e^{-\omega^2/4})^2=2e^{3j\omega}\pi e^{-2 \cdot \omega^2/4}=2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}\). Demnach kann die Lösung auch in der folgenden Form angegeben werden: \(2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}\).

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte\(F= \mathcal{F}(f)\) der folgenden Funktion \(f(t)=e^{-\|3t\|}\). Hinweis: \(e^{-\frac{\|t\|}{T}} \circ - \bullet \frac{2T}{1+(\omega T)^2}\) Nr. 3950
	\( \frac{3}{1+(\frac{\omega}{3})^2}\)
	\( \frac{2}{1+(\frac{\omega}{3})^2}\)
	\(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{3})^2}\)
	\( \frac{6}{3+(\frac{\omega}{3})^2}\)
Lösungsweg \(f(t)=e^{-\|3t\|}\) \(e^{-\|t\|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}\) \(e^{-\|3t\|} \circ - \bullet \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{3})^2}\) Streckung: c=3 Streckung: \(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\) Linearität: \(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\) Verschiebung im Zeitbereich: \(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\) Verschiebung im Frequenzbereich: \(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte \(F=\mathcal{F}(f)\) der Funktion \(f\)mit \(f(t)=e^{-\|\pi t\|} + e^{-\|t+\pi\|}\). Hinweis: Nr. 4875
	\(\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}+e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}\)
	\(\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}+e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}\)
	\(\frac{1}{\pi}\cdot \frac{2}{1+\omega^2}+e^{-j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}\)
	\(\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}} \cdot e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}\)
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(t)+g(t)\) ist durch \(F(\omega) + G(\omega)\) gegeben, wobei mit \(F\) bzw. \(G\) die Fouriertransformierte von \(f\) bzw. \(g\) bezeichnet wird. Daher kann von beiden Summanden der Funktion (unabhängig von dem anderen Summanden) die Fouriertransformierte bestimmt werden und anschließend können die beiden Fouriertransformierten addiert werden. Für den Summanden \(e^{-\|\pi t\|} \): Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(at)\) ist durch \(\frac{1}{\|a\|}F(\frac{\omega}{a})\) gegeben. Daher ist die Fouriertransformierte von \(e^{-\|\pi t\|} \) (mit \(a=\pi\)) durch \(\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}\) gegeben. Für den Summanden \(e^{-\|t+\pi\|}\): Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(t-a)\) ist durch \(e^{-ja\omega}F(\omega)\) gegeben. Daher ist die Fouriertransformierte von \(e^{-\|\pi t\|} \) (mit \(a=-\pi\)) durch \(e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}\) gegeben. Gesamtlsösung: Diese erhält man durch addieren der beiden bereits berechneten Fouriertransformierten: \(\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}+e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}\)

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte\(F= \mathcal{F}(f)\) der folgenden Funktion \(f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}\). Hinweis: \(\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}\) Nr. 3956
	\( \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}\)
	\( \frac{1}{4} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|} \cdot e^{-2i \omega}\)
	\( \frac{1}{4} \cdot e^{-2i \omega}\)
	\( \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|}\)
Lösungsweg \(f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}\) \(\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}\) \(\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|}\) Streckung: c=2 \(\frac{1}{1+(2(t-2))^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}\) Verschiebung im Zeitbereich: a=2 Streckung: \(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\) Linearität: \(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\) Verschiebung im Zeitbereich: \(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\) Verschiebung im Frequenzbereich: \(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

4 erreichbare Punkte

Die Fouriertransformierte \(F=\mathcal{F}(f)\) einer Funktion \(f\) sei bekannt. Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von \(f''(t)+3f'(t)-5f(t)\). Nr. 5012
	\(\Big(-\omega^2+j\omega-1\Big)F(\omega)\)
	\((3j-6)F(\omega)\)
	\((-3) \cdot F(\omega)\)
	\(\Big(-\omega^2+3j\omega-5\Big)F(\omega)\)
	\(\Big(-5\omega^2+3j\omega-1\Big)F(\omega)\)
Lösungsweg Die Fouriertransformation ist linear, es gilt also \(\mathcal{F}\Big(f''(t)+3f'(t)-5f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)+3\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)-5\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)\). Für \(f''(t)\): Zweimaliges anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: \(\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)(\omega)=j^2\omega^2 F(\omega)=-\omega^2 F(\omega)\). Für \(f'(t)\): Anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: \(\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)(\omega)=j\omega F(\omega)\). Für \(f(t)\): Laut Angabe gilt \(\mathcal{F}\Big(f(t)\Big)(\omega)=F(\omega)\). Daher gesamt: \(\mathcal{F}\Big(f''(t)+3f'(t)-5f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)+3\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)-5\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)=-\omega^2 F(\omega)+3j\omega F(\omega)-5F(\omega)\) und herausheben von \(F(\omega)\) liefert \(\Big(-\omega^2+3j\omega-5\Big)F(\omega)\)

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	\( \frac{1}{4} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|} \cdot e^{-2i \omega}\)
	\( \frac{1}{4} \cdot e^{-2i \omega}\)
	\( \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|}\)
Lösungsweg \(f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}\) \(\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}\) \(\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|}\) Streckung: c=2 \(\frac{1}{1+(2(t-2))^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}\) Verschiebung im Zeitbereich: a=2 Streckung: \(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\) Linearität: \(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\) Verschiebung im Zeitbereich: \(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\) Verschiebung im Frequenzbereich: \(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

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