\(\sin x\) lässt sich auch durch

 \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) darstellen.

Für \(\sin(5)\) gilt daher:

\(5-\frac{5^3}{3!}+\frac{5^5}{5!}-\frac{5^7}{7!}+...\)

\(=5-\frac{125}{6}+\frac{3125}{120}-\frac{78125}{5040}+...\)

Potenzreihe:

\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\)

Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen:

\(r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\|\)

Für die vorliegende Reihe folgt daraus:

\(a_n = \frac{1}{4^k}\)

\(r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\|= \left\| \frac {\frac {1}{4^k}} {\frac{1}{4^{k+1}}} \right\|= \left\| \frac {4^{k+1}}{4^k} \right\|= \left\| 4^{k+1-k} \right\|= \)

\(=\lim\limits_{n \to \infty} (4)=4\)

Taylorpolynom n-ten Grades:

\(T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\)

Daraus folgt mit n=3 und a=0

\(T_{0,3}(x)=f{(0)}+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''{(0)}\frac{(x-0)^2}{2!}+f'''{(0)}\frac{(x-0)^3}{3!}= 1+\frac{1}{2}\cdot x+(-\frac{1}{4})\cdot \frac{x^2}{2}+\frac{3}{8}\cdot \frac{x^3}{6}= \)
 

\(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}\)

\(f{(0)}= \sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1 \\f'{(0)}=\frac{1}{2}\cdot (1+x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \\f''{(0)}=-\frac{1}{4}\cdot (1+x)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4} \)

\(\\f'''_{(0)}=\frac{3}{8}\cdot (1+x)^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8}\)

\(e^x\) lässt sich auch durch

 \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n\)darstellen

Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor:

 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n\) bzw. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n\)

Diese Vorschrift erfüllt:

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0,5x^n\)

Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor:

 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n\) bzw. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n\)

Diese Vorschrift erfüllt:

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2x^n}{12} \)

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3x^n\)

\(\ln (x+1)\) lässt sich auch durch

 \(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...\) oder \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} \) darstellen.

\(e^x\) lässt sich auch durch

 \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n\)darstellen

für \(e^7\) ergibt sich daher:

\(\frac{7^0}{0!}+\frac{7^1}{1!}+\frac{7^2}{2!}+\frac{7^3}{3!}+\frac{7^4}{4!}+...\)

\(=1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{6}+\frac{2401}{24}+...\)