\(0,\overline {5} \) kann als geometrische Reihe dargestellt werden:

\(0,5\cdot (\frac{1}{10})^0+0,5\cdot (\frac{1}{10})^1+0,5\cdot (\frac{1}{10})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,5\cdot(\frac{1}{10})^k\)

einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen:

wenn 0<q<1, dann 

\(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,5}{1-\frac{1}{10}} = \frac{0,5}{\frac{9}{10}}= \frac{5}{9}\)
  

Eine geometrische Reihe liegt in folgender Form vor:

 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\)

Diese Vorschrift erfüllen:

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{22^k}{41}\)

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}8^k\)

Summenformel für die arithmetische Reihe benützen:

\(s_n=\frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})\)

n berechnen:

\(n= \frac{a_{n}-a_{1}}{d}+1= \frac{105-5}{5}+1=21\)

in Formel einsetzen:

\(\frac{21}{2}\cdot(5+105)=1155\)

\(s_{5}= a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} = 1+3+6+10+15+ = 35\)

\(0,\overline {37} \) kann als geometrische Reihe dargestellt werden:

\(0,37\cdot (\frac{1}{100})^0+0,37\cdot (\frac{1}{100})^1+0,37\cdot (\frac{1}{100})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,37\cdot(\frac{1}{100})^k\)

einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen:

wenn 0<q<1, dann 

\(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,37}{1-\frac{1}{100}} = \frac{0,37}{\frac{99}{100}}= \frac{37}{99}\)  

\(s_{3}= a_{1}+a_{2}+a_{3} = -3+(-1)+1 = -3\)

Die Summenformel für geometrische Reihen benutzen:

\(S=a \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

einsetzen:

\(\frac{2}{3} \cdot \frac{1-3^{5+1}}{1-3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{-728}{-2}= 242,\overline{6}\)

Eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a\cdot q^k\) verhält sich konvergent für \(|q|<1\) und divergent für \(|q|>1\).

Für die vorliegende Reihe gilt:

\(q=4\)

\(4>1\), daraus folgt die Reihe ist divergent.