\(\lim\limits_{n \to \infty}(n^2-n)=n^2(1-\frac{1}{n})=\infty (1-0)= \infty \)

Die Folge hat keinen Grenzwert, daraus folgt sie ist divergent.

Bei der arithmetischen Folge ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer ident:

\(d = a_{n+1} - a_{n} \\2,5-5=-2,5 \) 

aus dieser Differenz können die nachfolgenden Glieder ableitet werden:

\(a_{n+1}= a_{n}+d \\2,5 - 2,5 = 0 \\0-2,5 =-2,5 \\-2,5-2,5 = -5\)

Überprüfung ob streng monton fallendes Wachstumsverhalten vorliegt:

\(a_{n}>a_{n+1}\)

daraus folgt:

\(\frac{2n+1}{n^2}>\frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2}\)

\frac{2n+1}{n^2}>\frac{2n+3}{n^2+2n+1} \\[10in] (2n+1)(n^2+2n+1)>n^2(2n+3) \\[10in] 2n^3+5n^2+4n+1>2n^3+3n^2 \\[10in] 2n^2+4n+1>0

\(2n^2+4n+1>0\) wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt diese Folge ist streng monoton fallend 

\(\lim\limits_{n \to \infty}(n^2)=\infty \)

Die Folge hat keinen Grenzwert, daraus folgt sie ist divergent.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{3}{n^2}-4)=0-4= -4 \)

Die Folge hat ihren Grenzwert bei -4 - sie konvergiert gegen -4, daraus folgt sie ist konvergent.

\(2<4<8<16< 32\)

Die Folgeglieder der Folge steigen stets -> daraus folgt streng monoton  steigend Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}>a_{n}\)

Überprüfung ob streng monton fallendes Wachstumsverhalten vorliegt:

\(a_{n}>a_{n+1}\)

daraus folgt:

\(\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}\)

n+1>n \\[10in] 1>0

1>0 wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt diese Folge ist streng monoton fallend 

Zuerst muss die Differenz(d) ermittelt werden:

\(d=\frac{a_{7}-a_{4}}{3}=\frac{24,5-20}{3}=1,5\)

für arithmetische Folgen gilt:

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\)

daraus folgt:

a_{1}=a_{n}-(n-1)\cdot d \\[10in] a_{1}=a_{4}-(4-1)\cdot 1,5=15,5