\(y'(x)=xe^{6x}+4y(x)\)

Ansatz

\(y'_h= 4y \Rightarrow y_h=ce^{4x}\)

c mit c(x) ersetzen

\(y(x)=e^{4x}\cdot c(x)\)

\(y'(x)=4e^{4x}\cdot c(x)+e^{4x}\cdot c'(x)\)

y(x) und y'(x) in \(y'(x)=xe^{6x}+4y(x)\) einsetzen:

\(c'(x)e^{4x}+c(x)4e^{4x}=xe^{6x}+4c(x)e^{4x}\)

\(c'(x)=xe^{2x}\)

Integrieren:

\(c(x)=\frac{e^{2x}(2x-1)}{4}+c_2\)

c(x) in \(y(x)=e^{4x}\cdot c(x)\) einsetzen:

\(y(x)=e^{4x}\(\frac{e^{2x}(2x-1)}{4}+c2\)\)

\( \frac{dx}{dt}= 2(4-x) \\ \int \frac{1}{4-x} \ \mathrm{d}x = \int 2 \ \mathrm{d}t \\ -\ln{|x-4|}=2t+C \\ x-4=e^{-(2t+C)} \\ x=e^{-(2t+C)} +4 \) 

\( \frac{dx}{dt}= \frac xt \\ \frac 1x \ \mathrm{d}x = \frac 1t \ \mathrm{d}t \\ \int \frac 1x \ \mathrm{d}x = \int \frac 1t \ \mathrm{d}t \\ \ln{x} +c_1 = \ln{t}+c_2 \\ x=t \cdot e^c\)

\(\frac{1}{x} \ \mathrm{d}x =2 \ \mathrm{d}t\)
Integrieren
\(\int \frac 1 x \ \mathrm{d}x = \int 2 \ \mathrm{d}t \\ ln (x)+c_1 = 2t +c_2 \)
Nach x auflösen

\(x= e^{2t+c}\)

\(x'(t)=t^3+2x(t)t\)

Ansatz

\(x_h'(t)=2x_h(t)t \Rightarrow x_h(t)=e^{t^2}c\) 

c durch c(t) ersetzen:

\(x(t)={e^t}^2\cdot c(t) \)

\(x'(t)=2t{e^t}^2\cdot c(t)+{e^t}^2\cdot c'(t)\)

Einsetzen in \(x'(t)=t^3+2x(t)t\):

\(c'(t)e^{t^2}+c(t)2te^{t^2}=t^3+2te^{t^2}c(t)\)

\(c'(t)=\frac{t^3}{e^{t^2}} \)

Integrieren:

\(c(t)=-\frac{t^2+1}{2e^{t^2}}+c_2\)

Einsetzung in \(x(t)={e^t}^2\cdot c(t) \):

\(x(t)=e^{t^2}\(\frac{-(t^2+1)}{2e^{t^2}}+c\)=ce^{t^2}-\frac{t^2+1}{2}\)

\(\frac{dx}{dt}=x(t)+t^2\)

Ansatz

\(x_h'(t)=x_h(t) \Rightarrow x_h(t)=ce^t\)

c durch c(t) ersetzen

\(x(t)=c(t)e^t \Rightarrow x'(t)=c'(t)e^t+c(t)e^t\)

in ursprüngliche Gleichung einsetzen

\(c'(t)e^t+c(t)e^t=c(t)e^t+t^2 \\ c'(t)=\frac{t^2}{e^t} \)

integrieren

\(c(t)=c_2-e^{-t}(t^2+2t+2) \)

c(t) in \(x(t)=c(t)e^t \)  einsetzen 

\(x(t)=e^t(c_2-e^{-t}(t^2+2t+2))\)