Exponentialansatz

Charakteristische Polynom

\(4\lambda^2-1=0\)  für

\(\lambda=\pm \frac12\)

\(y_1=e^{x/2}c_1\) \(y_2=e^{-x/2}c_2\) 

Auch Linearkombinationen sind Lösungen

\(e^{\lambda x} (\lambda^2+\lambda -6)=0\\ \lambda^2+\lambda -6=0\\ \lambda_{1,2}= \{-3,2\}\)

\(y''(x)+y'(x)-2y(x)=0\)

Exponentialansatz

Charakteristisches Polynom

\(\lambda^2+\lambda-2=0\)

Erfüllt für \(\lambda=1\) und \(\lambda=-2\)

\(y_1(x)=e^{x}c_1\)

\(y_2(x)=e^{-2x}c_2\)

Auch Linearkombinatinen der beiden sind Lösungen

Machen wir den Ansatz:

\(y(x) = A e^{\lambda x}\)

Einsetzen liefert das charakteristische Polynom:

\(\lambda^2 - 5 \lambda + 6 = 0\)

Verwendung der kleinen Lösungsformel:

\(\lambda_{1,2} = \frac{5}{2} + \sqrt{\frac{25 - 24}{4}} = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}\)

Es gibt also zwei fundamentale Lösungen:

\(y_1(x) = e^{2 x}\)

\(y_2(x) = e^{3x}\)

Diese spannen den gesamten Lösungsraum auf, entsprechend dem Superpositionsprinzip für Differentialgleichungen:

\(y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{3x}\)

Wir verwenden den Exponentialansatz \(e^{\lambda x}\) und erhalten folgendes Charakteristisches Polynom.

\(\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1=0\)

Durch Betrachten der symetrischen Struktur der Gleichung sieht man, dass diese eine Variante der Binomischen Formel.

\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) mit \(a = \lambda\) und \(b = 1\)

Man erhält folglich

\((\lambda+1)^3=0\)

und somit die dreifache Nullstelle

\(\lambda_{1,2,3} = -1\)

Um dieses dreifache Auftreten in der Lösung zu berücksichtigen müssen neben \(y_1 = c_1e^{-x}\) auch \(y_2 = c_2xe^{-x}\) und \(y_3 = c_3x^2e^{-x}\) die Gleichung erfüllen und die Gesamtlösung ist

\(y(x) = y_1(x)+y_2(x)+y_3(x) = c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+c_3x^2e^{-x}\)

Zuerst lösen der Gleichung mittels des Exponentialansatzes \(y(x) = e^{\lambda x}\).

\(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}(e^{\lambda x}) + 3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^{\lambda x})+4e^{\lambda x} = 0\)

Damit erhalten wir mittels Koeffizientenvergleich folgendes charakteristisches Polynom:

\(\lambda^2 + 3 \lambda + 4 = 0\)

Die Nullstellen des Polynoms liegen bei:

\(\lambda_1 = - \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2} \)

\(\lambda_2 = - \frac{3}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2}\)

Somit haben wir zwei Lösungen für die Gleichungen, jede Linearkombination der beiden ist ebenfalls eine Lösung.

\(y_1(x) = e^{ (- \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2})x}\)

\(y_2(x) = e^{ (- \frac{3}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2})x}\)

Charakteristisches Polynom

\(2\lambda^2+\lambda-1=0\)

\(\lambda=1/2, \qquad \lambda=-1\)

\(y(t)=e^{t/2}c_1+e^{-t}c_2\)

Exponentialansatz

Charakteristisches Polynom
\(\lambda^2-2\lambda=0\)

für \(\lambda=2\)