\(d f = \frac{ \partial f}{\partial r} dr + \frac{ \partial f}{\partial \varphi} d\varphi = \)\(\frac{ \partial (\frac{1}{r} \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} )}{\partial r} dr + \frac{ \partial ( \frac{1}{r} \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi})}{\partial \varphi} d\varphi = \)

\(= -\frac{1}{r^2}\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} \; dr + \frac{1}{r} \cdot \frac{(-\sin \varphi -2\cos \varphi ) }{2 \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}} d\varphi =\)

\(= -\frac{1}{r^2}\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} \; dr - \frac{\sin \varphi +2\cos \varphi }{2r \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}} d\varphi \)

\(\frac{ \partial f}{ \partial x} = \ln y \cdot \cos x +4ye^{-x}\)

\(\frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{1}{y} \sin x -4e^{-x}\)

\(f(x,y,z) = x^3y +2z\cos x -y^2 \ln x\)

\(\frac{ \partial f}{\partial x} = 3x^2y -2z \sin x -y^2\frac{1}{x} \)

\(\frac{ \partial f}{\partial y} = x^3 -2y \ln x \\ \frac{ \partial f}{\partial z} = 2\cos x \)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 6xy - y e^{3z} \\ f_y = 3x^2 + 4z^3 - x e^{3z} \\ f_z = 12yz^2 - 3xye^{3z} + 4z^3\)

\(f_{xx}=6y \\ f_{yy} = 0 \\ f_{zz} = 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \\ f_{xy}=f_{yx} = 6x -e^{3z} \\ f_{xz}=f_{zx} = -3ye^{3z} \\ f_{yz}=f_{zy} = 12z^2 -3xe^{3z} \\ \)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 6x -e^{3z} & -3ye^{3z}\\ 6x -e^{3z} & 0 & 12z^2 -3xe^{3z} \\ -3ye^{3z} & 12z^2 -3xe^{3z} & 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \end{pmatrix}\)

Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\).

In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\).

Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\).

Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch:

\(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \)

Für \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) ist die Matrixform:

\(J = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}\)

Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt:

\(J = \begin{pmatrix} - \frac{2}{x^3} & 0 \\ y & x - 4e^{4y} \end{pmatrix}\)

Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\).

In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\).

Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\).

Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch:

\(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \)

Für \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) ist die Matrixform:

Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt:

\(J = \begin{pmatrix} 6x & 1 & 0 \\ yz^2 & xz^2 & 2xyz \end{pmatrix}\)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 4x^3y + 5y^3e^{5x} \\ f_y = x^4 - 10y^4 + 3y^2 e^{5x}\)

\(f_{xx}= 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} \\ f_{xy}=f_{yx} = 4x^3 + 15y^2 e^{5x}\\ f_{yy} = -40 y^3 + 6y e^{5x}\)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} & 4x^3 + 15y^2 e^{5x} \\ 4x^3 + 15y^2 e^{5x} & -40 y^3 + 6y e^{5x} \end{pmatrix}\)

\(f(x,y)=\frac{\sqrt{e^x+y}}{3}\)

\(\frac{\part f}{\part x}= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(e^x+y)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^x= \frac{e^x}{6\sqrt{e^x+y}}\)

\(\frac{\part f}{\part y}=\frac13 \cdot \frac12 (e^x+y)^{-\frac12} \cdot 1 =\frac{1}{6\sqrt{e^x+y}}\)