Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Kurvendiskussion.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Eine Polynomfunktion dritten Grades hat im Punkt P (-3/4) eine waagrechte Tangente, bei x=-2 einen Wendepunkt und die Nullstelle N (-1/0). Wie lautet die Funktionsgleichung? Nr. 1583
	\(f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\)
	\(f(x)=-x^{3}-6x^{2}-9x-4\)
	\(f(x)=5x^{3}+7x^{2}-2\)
	\(f(x)=x^{3}+10x+11\)
	Es gibt keine Polynomfunktion dritten Grades, die all diese Eigenschaften erfüllt.
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ \vspace{5}\\ f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ \vspace{5}\\ f''(x)=6a_{3}x+2a_{2} \end{eqnarray}\) Die Angabe legt vier Gleichungen fest: \(\begin{eqnarray} f(-3)=4 \Rightarrow -27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=4\\ f'(-3)=0 \Rightarrow 27a_{3}-6a_{2}+a_{1}=0\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f''(-2)=0 \Rightarrow -12a_{3}+2a_{2}=0\\ f(-1)=0 \Rightarrow -a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0}=0\\ \end{eqnarray}\) Die Lösung des Gleichungssystems liefert: \(\begin{eqnarray} a_{0}=4\\ a_{1}=9\\ a_{2}=6\\ a_{3}=1 \end{eqnarray}\) Ergebnis: \(f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\)

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) Nr. 2072
	\(T(-3/-6,75)\)
	\(T(-1/3)\)
	\(H(-3/6,75)\)
	\(H(-1/3)\)
Lösungsweg \(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) \(P_{4}'(x)=-x^{3}-3x^{2}\) \(P''_{4}(x)=-3x^{2}-6x\) \(P_{4}'(x)=0\) \(-x^{3}-3x^{2}=0\) \(-x^{2}\cdot(x+3)=0\) \(x_{1}^{(2)}=0\) \(P_{4}(x_{1})=0\) \(P_{4}''(x_{1})=0\) \(x_{2}=-3\) \(P_{4}(x_{2})=6,75\) \(P_{4}''(x_{2})=-9<0\) \(\to\qquad H(-3/6,75)\)

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2\) Nr. 2084
	\(W(3/3)\)
	\(W(4/2)\)
	\(W(2/4)\)
	\(W(2/2)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2\) \(f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x\) \(f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\) \(f''(x)=0\) \(-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0\) \(\frac{3}{4}x=\frac{3}{2}\) \(x=2\) \(f(2)=4\) \(\to \qquad W(2/4)\)

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\) Nr. 2080
	\(H(1/1) \) \(T(-1,81/-7,00)\) \(T(-1,39/3,31)\)
	\(H(3/2)\) \(T(-3,31/7,00)\) \(T(1,81/1,39)\)
	\(H(4/4)\) \(T(-7,00/3,31)\) \(T(-1,39/-1,81)\)
	\(H(0/0)\) \(T(3,31/-7,00)\) \(T(-1,81/-1,39)\)
Lösungsweg \(f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\) \(f'(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x\) \(f''(x)=x^{2}-x-2\) \(f'''(x)=2x-1\) \(f'(x)=0\) \(\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x=0\) \(x\cdot (\frac{1}{3}\cdot x^{2}-\frac{1}{2}\cdot x-2)=0\) \(1.\) \(x_{1}=0\) \(f(0)=0\) \(f''(0)=-2 \qquad \to \qquad <\qquad 0 \qquad \to H(0/0)\) \(2.\) \(\frac{1}{3}\cdot x^{2}-\frac{1}{2}\cdot x-2=0\) große Lösungsformel: \(x_{2}=\frac{3+\sqrt{105}}{4}=3,31 \qquad \to \qquad f(3,31)=-7,00\) \(x_{3}=\frac{3-\sqrt{105}}{4}=-1,81 \qquad \to \qquad f(-1,81)=-1,39\) \(f''(3,31)=5,66 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(3,31/-7,00)\) \(f''(-1,81)=3,09 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(-1,81/-1,39)\)

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Wendepunkte der folgenden Funktion: \(f:\, x \to \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}\) Nr. 1545
	\(W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-2/-2)\)
	\(W_{1}(0/2);\qquad W_{2}(2/-2)\)
	\(W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-2/0)\)
	\(W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-4/0)\)
	\(W(-3/-\frac{27}{8})\)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}\\ \vspace{10}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\\ \vspace{10}\\ f''(x)=\frac{3}{2}x^{2}+3x\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f''(x)=0\\ \frac{3}{2}x^{2}+3x=0 \qquad \Rightarrow \qquad 3x\cdot(\frac{x}{2}+1)=0 \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} x_{1}=0 \qquad \Rightarrow \qquad f(x_{1})=0\\ \vspace{5}\\ \frac{x}{2}+1=0\qquad \Rightarrow\qquad x_{2}=-2\qquad \Rightarrow\qquad f(x_{2})=-2 \end{eqnarray}\) \(W_{1}(0/0); \qquad W_{2}(-2/-2)\)

5 erreichbare Punkte

Der Graph der Funktion \(x \qquad \to \qquad P_{4}(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) besitzt im Ursprung einen Sattelpunkt. Im Punkt \(P(-1/\frac{3}{4})\) hat die Steigung der Tangente den Wert -2. Berechnen Sie den vollständigen Funktionsterm! Nr. 2071
	\(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\)
	\(P_{4}(x)=\frac{1}{4}x^{4}+x^{3}\)
	\(P_{4}(x)=-\frac{1}{2}x^{4}-2x^{3}+x\)
	\(P_{4}(x)=4x^{4}-3x^{3}-2x^{2}-x\)
Lösungsweg Es müssen fünf Gleichungen für die folgenden Unbekannten gefunden werden: \(a_{0},\qquad a_{1},\qquad a_{2},\qquad a_{3},\qquad a_{4}\) Zuerst: \(P_{4}(x)=a_{4}\cdot x^{4}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x+a_{0}\) \(P_{4}'(x)=4a_{4}\cdot x^{3}+3a_{3}\cdot x^{2}+2a_{2}\cdot x+a_{1}\) \(P_{4}''(x)=12a_{4}\cdot x^{2}+6a_{3}\cdot x+2a_{2}\) Nun werden die Informationen aus der Angabe ausgewertet: \(P_{4}(0)=0\qquad \to \qquad a_{0}=0 \) \(P_{4}'(0)=0\qquad \to \qquad a_{1}=0\) \(P_{4}''(0)=0\qquad \to \qquad a_{2}=0\) \(P_{4}(-1)=\frac{3}{4}\qquad \to \qquad a_{4}-a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0}=\frac{3}{4}\) \(P_{4}'(-1)=-2\qquad \to \qquad -4a_{4}+3a_{3}-2a_{2}+a_{1}=-2\) Dieses 5x5 Gleichungssystem reduziert sich sofort auf ein 2x2 Gleichungssystem: \(a_{4}-a_{3}=\frac{3}{4}\) \(-4a_{4}+3a_{3}=-2\) \(\rule[-2]{150}{1}\) \(4a_{4}-4a_{3}=3\) \(-4a_{4}+3a_{3}=-2\) \(\rule[-2]{150}{1}\) \(a_{3}=-1\) \(a_{4}=-\frac{1}{4}\) Ergebnis: \(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\)

4 erreichbare Punkte

Der Graph der Funktion \(f:\qquad x\to \qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}\) besitzt den Extremwert \(E(-3/\frac{27}{4})\). Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2099
	\(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\)
	\(f(x)=-\frac{1}{6}x^{4}-3x^{3}\)
	\(f(x)=-\frac{2}{7}x^{4}+x^{3}\)
	\(f(x)=\frac{1}{4}x^{4}+x^{3}\)
Lösungsweg \(f(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}\) \(f'(x)=4a_{4}x^{3}+3a_{3}x^{2}\) \(f''(x)=12a_{4}x^{2}+6a_{3}x\) \(I: \qquad f(-3)=\frac{27}{4}\) \(II: \qquad f'(-3)=0\) \(I: \qquad 81a_{4}-27a_{3}=\frac{27}{4}\) \(II: \qquad -108a_{4}+27a_{3}=0\) \(I+II:\) \(-27a_{4}=\frac{27}{4}\) \(a_{4}=-\frac{1}{4}\) \(a_{4}\qquad in \qquad II:\) \(-108\cdot(-\frac{1}{4})+27a_{3}=0\) \(27+27a_{3}=0\) \(a_{3}=-1\) \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\)

4 erreichbare Punkte

Die Funktion \(f:\qquad x\to a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}\) besitzt den Extremwert \(E(4/4)\). Berechnen Sie \(a_{2} \) und \(a_{3}\). Nr. 2074
	\(f(x)= -\frac{3}{4}x^{3}+\frac{1}{8}x^{2}\)
	\(f(x)=-x^{3}+4x^{2}\)
	\(f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\)
	\(f(x)= 10x^{3}-6x^{2}\)
Lösungsweg \(f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}\) \(f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x\) \(f(4)=4 \to\qquad 64a_{3}+16a_{2}=4\) \(f'(4)=0 \to\qquad 48a_{3}+8a_{2}=0\) \(\rule[-10]{150}{1}\) \(64a_{3}+16a_{2}=4\qquad /:\qquad4\) \(48a_{3}+8a_{2}=0 \qquad /:\qquad 8\) \(\rule[-10]{150}{1}\) \(16a_{3}+4a_{2}=1\) \(6a_{3}+a_{2}=0\) \(\rule[-10]{150}{1}\) \(a_{2}=-6a_{3}\) \(16a_{3}+4\cdot(-6a_{3})=1\) \(16a_{3}-24a_{3}=1\) \(a_{3}=-\frac{1}{8}\) \(a_{2}=\frac{3}{4}\) \(\to f(x)= -\frac{1}{8}\cdot x^{3}+\frac{3}{4}\cdot x^{2}\)

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