Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 3 Fragen zu Distributionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Berechnen Sie die Fouriertransformation der Distribution \(x^n \; \text{ mit } \; n \in \mathbb{R}.\) Nr. 4240
	\(\mathcal{F} (x^n) [\gamma] = \sqrt{2\pi i} \; \delta( \gamma^{(n)})\)
	\(\mathcal{F} (x^n) [\gamma] = \sqrt{2\pi} \; \delta^{(n-1)}( \gamma)\)
	\(\mathcal{F} (x^n) [\gamma] = -i^n \sqrt{2\pi} \; \delta^{(n)}( \gamma)\)
	\(\mathcal{F} (x^n) [\gamma] = -i^n \sqrt{2\pi} \; \delta( n \cdot \gamma^{(n-1)})\)
Lösungsweg \(\gamma\) ist wieder eine Testfunktion und es gilt wiederum: \(\mathcal{F} (x^n) [\gamma] = x^n \cdot \mathcal{F} (\gamma) = \bigint_{-\infty}^{\infty} x^n \mathcal{F} (\gamma) dx \) Nun benötigt man wieder folgende allgemeine Formel: \(i^mx^m \mathcal{F}(\gamma) = \mathcal{F}(\gamma^{(m)}) \; \text{ wobei } \; \gamma^{(m)} = \frac{d^m \gamma}{dx^m}\) Somit folgt für den obigen Integranden: \(x^n \mathcal{F}(\gamma) = \frac{1}{i^n} \mathcal{F}(\gamma^{(n)})\), also : \(\mathcal{F} (x^n) [\gamma] = \bigint_{-\infty}^{\infty} x^n \mathcal{F} (\gamma) dx = \\ = \bigint_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{i^n} \mathcal{F}(\gamma^{(n)}) dx = \) \(= \frac{1}{i^n} \bigint_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(\gamma^{(n)}) dx = \frac{1}{i^n} \bigint_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(1) \gamma^{(n)}(x) dx \) Nun kann folgendes verwendet werden: \( \bigint_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(1) \gamma^{(n)}(x) dx = \sqrt{2\pi} \; \delta( \gamma^{(n)})\) Es folgt also: \(\mathcal{F} (x^n) [\gamma] = \frac{1}{i^n} \sqrt{2\pi} \; \delta( \gamma^{(n)})= -i^n \sqrt{2\pi}\; \delta( \gamma^{(n)}) = -i^n \sqrt{2\pi} \; \delta^{(n)}( \gamma)\)

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Ableitung der Heavyside-Funktion im distributionellen Sinne: \(\Theta ^\prime =?\) Nr. 4237
	\(\Theta ^\prime = \delta\)
	\(\Theta ^\prime = 1\)
	\(\Theta ^\prime = \infty\)
	\(\Theta ^\prime = - \Theta\)
Lösungsweg Im folgenden bezeichnet \(\gamma\) eine Testfunktion (aus dem Raum der temperierten Distributionen S'.) \(\Theta ^\prime(\gamma)= -\Theta (\gamma ^\prime) = - \bigint_{-\infty}^{\infty} \Theta(x) \gamma ^\prime(x) dx \) Die Heavysidefunktion ist 0 für alle x<0, daher folgt: \(= - \bigint_{0}^{\infty} \gamma ^\prime(x) dx = \\ = - \gamma (x) \; \mid_0^{\infty} = - \gamma (\infty) + \gamma (0) = \gamma (0) = \delta(\gamma) \) Daraus folgt also: \(\Theta ^\prime = \delta\)

4 erreichbare Punkte

Finden Sie im distributionellen Sinne einen Ausdruck für die Ableitung von \(g(x)=\|x\|\) : \(g^\prime (x) =?\) Nr. 4238
	\(=\bigint_{-\infty}^{\infty} g^\prime (x) \cdot \gamma (x) dx \; \text{ wobei } \; g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {x>0} \\ {k,} & {x=0} \\ {-1} & {x<0} \end{array}\right. \)
	\(=\bigint_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \gamma (x) dx \)
	\(=\bigint_{-\infty}^{\infty} \gamma^\prime (x) dx \; \)
	\(=\bigint_{-\infty}^{\infty} g^\prime (x) \cdot \gamma (x) dx \; \text{ wobei } \; g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll} {x } & {x >0} \\ {-x } & {x \leq0} \end{array}\right. \)
Lösungsweg Im folgenden bezeichnet \(\gamma\) eine Testfunktion (aus dem Raum der temperierten Distributionen S'.) \(g ^\prime(\gamma)= -g (\gamma ^\prime) = - \bigint_{-\infty}^{\infty} g(x) \gamma ^\prime(x) dx = - \bigint_{-\infty}^{\infty} \mid x \mid \gamma ^\prime(x) dx = \) \( = - \bigint_{-\infty}^{0}(- x) \gamma ^\prime(x) dx - \bigint_{0}^{\infty} x \gamma ^\prime(x) dx = \\ \) \(=\bigint_{-\infty}^{0} x \gamma ^\prime(x) dx - \bigint_{0}^{\infty} x \gamma ^\prime(x) dx = \) \(=\bigint_{-\infty}^{0} (-1) \cdot \gamma (x) dx - \bigint_{0}^{\infty} 1 \cdot \gamma (x) dx \) Das kann nun folgendermaßen zusammengesetzt werden: \(=\bigint_{-\infty}^{\infty} g^\prime (x) \cdot \gamma (x) dx \; \text{ wobei } \; g^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {x>0} \\ {k,} & {x=0} \\ {-1} & {x<0} \end{array}\right. \) \(\text{ und } k \in \mathbb{R}\).

4 erreichbare Punkte

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