\(2^n=2^4=16\)

Das heißt man kann Zahlen zwischen 0 und 15 darstellen.

\(2^n=2^8=256\)

Das heißt man kann Zahlen zwischen 0 und 255 darstellen.

Zuerst die einzelnen Stellen schrittweise umwandeln:

\(A47\)

\(7 \cdot 16^0 = 7 \\ 4 \cdot 16^1 = 64 \\ A \cdot 16^2 = 2560\)

dann addieren:

7+64+2560=2631

Für das Hexadezimalsystem gilt:

A = 10

B = 11

C = 12

D = 13

E = 14

F = 15

\(2^n=2^{10}=1024\)

Das heißt man kann Zahlen zwischen 0 und 1023 darstellen.

Wir schreiben die Potenz 99 in Binärdarstellung: \(99 = 64 + 32 + 2 + 1 = 2^6 + 2^5 + 2^1 + 2^0\)
Somit ist \(6^{99} = 6^{(2^6)} \cdot 6^{(2^5)} \cdot 6^{(2^1)} \cdot 6^{(2^0)} \;mod\; 100\).
Wir berechnen nun die einzelnen Faktoren modulo 100:

\(\begin{tabular}{r|rrrrrrr} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2^i & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64\\ 6^{(2^i)} & 6 & 36 & -4 & 16 & 56 & 36 & -4\\ \end{tabular}\)

Somit ist \(6^{99} = 6 \cdot 36 \cdot 36 \cdot (-4) = 6 \cdot (-4) \cdot (-4) = 96 \;mod\; 100\).

Zuerst die einzelnen Stellen schrittweise umwandeln:

\(2F\)

\(F \cdot 16^0 = 15 \\ 2 \cdot 16^1 = 32 \)

dann addieren:

15+32=47

Für das Hexadezimalsystem gilt:

A = 10

B = 11

C = 12

D = 13

E = 14

F = 15

Zuerst die Stellen einzeln umwandeln:

\(A16\)

\(A = 1010 \\ 1 = 0001 \\ 6 = 0110\)

dann zusammenfügen:

\(1010 \)   \(0001\)    \(0110\)

Für das hexadezimale System gilt:

A = 10 = 1010

B = 11 = 1011

C = 12 = 1100

D = 13 = 1101

E = 14 = 1110

F = 15 = 1111

Wir schreiben die Potenz 167 in Binärdarstellung: \(167 = 128 + 32 + 4 + 2 + 1 = 2^7 + 2^5 + 2^2 + 2^1 + 2^0\)
Somit ist \(43^{167} = 43^{(2^7)} \cdot 43^{(2^5)} \cdot 43^{(2^2)} \cdot 43^{(2^1)} \cdot 43^{(2^0)} \;mod \;113\).
Wir berechnen die einzelnen Faktoren modulo 113:

\(\begin{tabular}{r|rrrrrrrr} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline 2^i & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128\\ 43^{(2^i)} & 43 & 41 & -14 & -30 & -4 & 16 & 30 & -4\\ \end{tabular}\)

Somit ist \(43^{167} = 43 \cdot 41 \cdot (-14) \cdot 16 \cdot (-4) = 21\;mod\; 113\).