Es gibt genau dann einen Körper mit n Elementen, wenn \(n = p^k\) eine Primzahlpotenz ist. Das gilt für n = 2, n=7 und \(n=16 = 2^4\), nicht jedoch für n=22.

Auflösen der 1. Zeile nach \(x_1\) ergibt \(2x_1 = 6-x_3\) und somit \(x_1 = 3-6x_3 = 3+5x_3\) (denn 6 ist das Inverse von 2 modulo 11).
Auflösen der 2. Zeile nach \(x_2\) ergibt \(x_2 = -2x_3\).
Einsetzen der Gleichungen für \(x_1\) und \(x_2\) in die 3. Zeile ergibt \(3+5x_3 - 2x_3 + x_3 = 3+4x_3 = 4\) und somit \(x_3 = 4^{-1}\cdot 1 = 3\) (denn 3 ist das Inverse von 4 modulo 11).
Daraus folgt \(x_1 = 3+5 \cdot 3 = 7\) und \(x_2 = -2 \cdot 3 = 5\). Somit gilt: \(\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11\)

Damit \(\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}\) ein Körper mit 8 Elementen ist, muss m(x) ein über \(\mathbb{Z}_2\) irreduzibles Polynom vom Grad 3 sein. Es gibt 8 Polynome vom Grad 3 über \(\mathbb{Z}_2\), sie haben die Form \(x^3 + kx^2 +lx + m\) mit \(k,l,m \in \mathbb{Z}_2\):

\(a(x) = x^3 + x^2 + x + 1\\ b(x) = x^3 + x^2 + x\\ c(x) = x^3 + x^2 + 1\\ d(x) = x^3 + x^2\\ e(x) = x^3 + x + 1\\ f(x) = x^3 + x\\ g(x) = x^3 + 1\\ h(x) = x^3\)

Ein Polynom vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel über \(\mathbb{Z}_2\), wenn es keine Nullstellen in \(\mathbb{Z}_2\) hat. Somit scheiden die Polynome a, b, d, f, g und h aus, denn a(1) = b(0) = d(0) = f(0) = g(1) = h(0) = 0. Also sind nur c und e irreduzibel, d.h. \(\mathbb{Z}_2[x]_{x^3+x^2+1}\) und \(\mathbb{Z}_2[x]_{x^3+x+1}\) sind Körper. Sie enthalten die Polynome vom Grad 3 über \(\mathbb{Z}_2\) modulo \(x^3+x^2+1\) bzw. \(x^3+x+1\).

Aus der 3. Zeile folgt \(4x_3 = 1\) und somit \(x_3=3\) (denn 3 ist das Inverse von 4 modulo 11).
Einsetzen von \(x_3=3\) in die 1. Zeile ergibt \(x_2 + 3x_3 = x_2 + 9 = 0\) und somit \(x_2=2\).
Einsetzen von \(x_2 = 2\) in die 2. Zeile ergibt \(5x_1+ 2x_2 = 5x_1 + 4 = 9\) und somit \(x_1=1\).

Somit gilt: \(\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11\)

Das multiplikative Inverse von 2 ist 4

a(x) ist reduzibel über \(\mathbb{Z}_4\), denn a(x) = (x+1)(x+1) = (x+3)(x+3).

a(x) ist irreduzibel über \(\mathbb{Z}_3\), denn es hat wegen a(0) = a(1) = a(2) = 1 keine Nullstellen in \(\mathbb{Z}_3\) (diese beiden Aussagen sind hier sogar äquivalent). Somit ist \(\mathbb{Z}_3[x]_{x^2 + 2x + 1} = \left\{ bx + c | b, c \in \mathbb{Z}_3 \right\}\) ein Körper mit \(3^2 = 9\) Elementen.

\(\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}\) ist genau dann ein Körper mit 16 Elementen, wenn m(x) ein über \(\mathbb{Z}_2\) irreduzibles Polynom vom Grad 4 ist. Dies trifft zu auf \(m_1(x) = x^4+x+1\) und auf \(m_2(x) = x^4+x^3+1\): Beide haben keine Nullstelle in \(\mathbb{Z}_2\) und sind somit nicht in Polynome vom Grad 1 bzw. 3 zerlegbar. Nun müssen wir noch die Zerlegbarkeit in (irreduzible) Polynome vom Grad 2 mittels Polynomdivision überprüfen:
\((x^4+x+1):(x^2+x+1) = x^2 + x\); Rest 1
\((x^4+x^3+1):(x^2+x+1) = x^2+1\); Rest x

\(m_1(x)\) und \(m_2(x)\) lassen sich also auch nicht in Polynome vom Grad 2 zerlegen und sind damit beide irreduzibel. \(\mathbb{Z}_2[x]_{m_1(x)}\) und \(\mathbb{Z}_2[x]_{m_2(x)}\) ist also jeweils ein Körper mit 16 Elementen.