\((\mathbb{Z}, +)\) ist eine Gruppe (neutrales Element 0, inverses Element -n für jedes \(n \in \mathbb{Z}\), Assoziativgesetz gilt). Sie ist sogar kommutativ, denn a+b = b+a für alle \(a,b \in \mathbb{Z}\). Dasselbe gilt für \((\mathbb{Q}, +)\).

\((\mathbb{Z}_m, +)\) ist ebenfalls eine kommutative Gruppe (neutrales Element 0, inverses Element a' = m-a für jedes \(a \in \mathbb{Z}_m\)).

In \((\mathbb{N}_0, +)\) gibt es zwar ein neutrales Element 0, aber keine inversen Elemente.

Nur \((\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}, \cdot)\) ist eine multiplikative Gruppe: Das neutrale Element ist 1, das inverse Element zu x=p/q ist \(x^{-1} = q/p\), und das Assoziativgesetz gilt (x.y = y.x für alle Gruppenelemente x,y). Bei den anderen Mengen scheitert es am inversen Element.

\(2^0 = 1,\; 2^1 = 2,\; 2^2 = 4,\; 2^3 = 8,\; 2^4 = 16 = 1\; mod\; 15\)

Die von 2 erzeugte multiplikative Untergruppe ist also \(\left\{ 1,2,4,8 \right\}\).

Nur die erste Aussage ist zutreffend: \((\mathbb{Z}_9,+)\) ist eine Gruppe (neutrales Element 0, Inverses 9-x für jedes x in \(\mathbb{Z}_9\), Assoziativgesetz gilt).

\((\mathbb{Z}_4, +)\) ist eine kommutative Gruppe (neutrales Element 0, inverses Element a' = 4-a für jedes a in \(\mathbb{Z}_4\), Assoziativgesetz gilt).
\((\mathbb{Z}^*_4, +)\) ist keine Gruppe, da das neutrale Element fehlt: \(0 \;\notin\; \mathbb{Z}^*_4 = \left\{ 1,3 \right\}\)
\((\mathbb{Z}_4, \cdot)\) ist keine Gruppe, da nicht jedes Element (z.B. 2) ein Inverses besitzt.
\((\mathbb{Z}^*_4, \cdot)\) ist eine kommutative Gruppe mit den Elementen \(\mathbb{Z}^*_4 = \left\{ 1,3 \right\}\): Neutrales Element 1, Inverse \(1^{-1} = 1\) und \(3^{-1} = 3\), Assoziativgesetz gilt.