\(\left. \int\limits_{0}^{5} \! x \ \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}\right|_0^5 = \frac{25}{2}-\frac{0}{2}=\frac{25}{2}\)

\(\int\limits_{-2}^{4} \! (x+2) \ \mathrm{d}x = \left. \left(\frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^4 = [8+8]-[2-4]=16+2=18\)

\(\int \limits_0^2 \! (4-2x) \, \mathrm{d}x = \left. \left(4x-2\frac{x^2}{2}\right)\right|_0^2 = [8-4]-[0]=4\)

\(\int \limits_0^1 \! x^2 \, \mathrm{d}x = \left. \frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac{1}{3}-\frac{0}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\int \limits_0^1 \! x^3 \, \mathrm{d}x = \left. \frac {x^4}{4} \right|_0^1 =\frac 1 4 - \frac 0 4 = \frac 1 4 \)

\(\int \limits_0^1 \! x^4 \, \mathrm{d}x = \left. \frac {x^5}{5} \right|_0^1 =\frac 1 5 - \frac 0 5 = \frac 1 5 \)

\(\int \limits_0^1 \! x^n \, \mathrm{d}x = \left. \frac {x^{n+1}}{n+1} \right|_0^1 =\frac 1 {n+1} - \frac 0 {n+1} = \frac 1 {n+1} \)

\(\int \limits_0^b \! x^n \, \mathrm{d}x = \left. \frac {x^{n+1}}{n+1} \right|_0^b =\frac{b^{n+1}} {n+1} - \frac 0 {n+1} = \frac {b^{n+1}} {n+1} \)

\(\left. \int \limits_0^1 \! e^x \, \mathrm{d}x = e^x \right |_0^1 = e^1-e^0=e-1\)

\(\int \limits_1^\infty \! \frac 1 {x^2} \, \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \int \limits_1^n \! \frac 1 {x^2} \, \mathrm{d}x = \)

\( \lim_{n \to \infty} \left. (-\frac {1}{x}) \right|_1^n = \lim_{n \to \infty} (\frac 1 n - (- 1))= 0+1=1\)

\(\int \limits_1^\infty \! \frac 1 {x^3} \, \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \int \limits_1^n\! \frac 1 {x^3} \, \mathrm{d}x = \)\( \left. \lim_{n \to \infty} \left(-\frac 1 {2x^2}\right) \right| _1^n = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac 1 {2n^2} - (-\frac 1 2)\right) =0+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

\(\int \limits_1^{10} \! \left. \frac 1 x \, \mathrm{d}x = \mathrm{ln}x \right |_1^{10} = \mathrm{ln}10-\mathrm{ln}1=\mathrm{ln}10 \)

\(\int \limits_1^\infty \! \frac 1 x \, \mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} \int \limits_1^b \! \frac 1 x \, \mathrm{d}x=\)

\( \lim_{b \to \infty} \ln x |_1^b = \lim_{b \to \infty} (\ln b- \ln 1)= \infty\)

\( \int \limits_0^\pi \! \sin x \ \mathrm{d}x = -\cos x |_0^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos 0)=1+1=2\)

\(\int\limits_{1}^{\ln(3)} \! \frac{1}{x} + e^x \ \mathrm{d}x =\)

\(\int\limits_{1}^{\ln(3)}\ \frac{1}{x} \mathrm{d}x + \int\limits_{1}^{\ln(3)}\ e^x \ \mathrm{d}x =\)

\([ \ln \| x \| + e^x ]^{\ln(3)}_{1} = \)

\(\ln(\ln(3)) - \ln(1) + e^{\ln(3)} - e^1 = \)

Hinweis: \(\ln(1) = 0 \ ; \ e^{\ln(3)} = 3\)

\(= \ln(\ln(3)) + 3 - e\)

Das bestimmte Integral einer ungeraden stetigen Funktion ergibt 0, wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen.

\(\sin(x)\) ist eine ungerade stetige Funktion.

alternativ, rechnerische Lösung:

\( \int \limits_{-\pi}^\pi \! \sin x \ \mathrm{d}x = -\cos x |_{-\pi}^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos (-\pi))=1-1=0\)

Das bestimmte Integral einer ungeraden stetigen Funktion ergibt 0, wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen.

\(x^3\) ist eine ungerade stetige Funktion.

rechnerische Lösung:

\(\int \limits_{-1}^1 \! x^3 \ \mathrm{d}x = [\frac{x^4}4]_{-1}^1 \ =\frac14 - \frac14 = 0\)

Das bestimmte Integral einer ungeraden stetigen Funktion ergibt 0, wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen.

\(x\) ist eine ungerade stetige Funktion.

rechnerische Lösung:

\(\int \limits_{-1}^1 \! x \ \mathrm{d}x = [\frac{x^2}2]_{-1}^1 \ =\frac12 - \frac12 = 0\)

\( \int \limits_{-\pi}^\pi \! \cos x \ \mathrm{d}x = \sin x |_{-\pi}^\pi = (\sin \pi)-(\sin (-\pi))=0-0=0\)

\( \int \limits_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\! \cos x \ \mathrm{d}x = \sin x |_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} = (\sin (\frac{\pi}2))-(\sin (-\frac{\pi}2))=1+1=2\)

Das bestimmte Integral einer ungeraden stetigen Funktion ergibt 0, wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen.

\(\sin(nx)\) ist eine ungerade stetige Funktion.

rechnerische Lösung:

\( \int \limits_{-\pi}^\pi \! \sin (nx) \ \mathrm{d}x = -\frac1n\cos x |_{-\pi}^\pi = (-\frac1n \cos \pi)-(-\frac1n \cos (-\pi))=1-1=0\)