Fragenliste von Produktregel

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=(1-2x)\cdot(3-x+2x^2)\) Nr. 1936
	\(y'=-12x^2+8x-7\)
	\(y'=6x^2+8x-7\)
	\(y'=-12x^2+4x-14\)
	\(y'=12x^2+4x-7\)
	\(y'=-6x^2+8x-14\)
Lösungsweg \(y=(1-2x)\cdot(3-x+2x^2)\) setze \(h(x)= 1-2x\) und \(g(x)= 3-x+2x^2\) \(h'(x)= -2 \\ g'(x)=4x-1\) \(y'=h'(x)g(x)+h(x)g'(x)= -2 (3-x+2x^2)+(1-2x)(4x-1)=-12x^2+8x-7\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=(3+2x)\cdot(2-x+x^2+3x^3)\) Nr. 1937
	\(y'=6x^3+11x^2+x+1\)
	\(y'=24x^3+12x^2+6x+1\)
	\(y'=24x^3+33x^2+2x\)
	\(y'=24x^3+33x^2+2x+1\)
	\(y'=6x^3+12x^2+2x\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=(3-2x)\cdot(3+x)\cdot(4-\frac{x}{2})\) Nr. 1938
	\(y'=x^2-\frac{13}{2}x+36\)
	\(y'=3x^2-13x-\frac{36}{2}\)
	\(y'=3x^2-13x-33\)
	\(y'=x^2-\frac{13}{2}x-\frac{33}{2}\)
	\(y'=3x^2-13x-\frac{33}{2}\)
Lösungsweg \(y=(3-2x)\cdot(3+x)\cdot(4-\frac{x}{2})\) setze \(h(x)= (3-2x)(3+x)=9-3x-x^2 ,\\ g(x)= 4-\frac x2\) \(h'(x)=-3-4x \\ g'(x)=-\frac 12\) \(y'= h'(x)g(x) + h(x)g'(x) = (-3-4x)(4-\frac x2) + (9-3x-2x^2)(-\frac 12)= 3x^2-13x-\frac {33}{2}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=(1+x)\cdot(3-2x)^2\) Nr. 1939
	\(y'=4x^2-8x-9\)
	\(y'=12x^2-16x-3\)
	\(y'=4x^2-8x-3\)
	\(y'=12x^2-8x-3\)
	\(y'=12x^2+16x+9\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=3x\sin x\) Nr. 1940
	\(y'=3(\sin x+\cos x)\)
	\(y'=9(\sin x+\cos x)\)
	\(y'=3(x\sin x+ \cos x)\)
	\(y'=3(\sin x+x \cos x)\)
	\(y'=9(x\sin x+\cos x)\)
Lösungsweg \(y=3x\sin x\) setze \(h(x)= 3x , \ g(x)= \sin x\) \(h'(x)=3\\ g'(x)= \cos x\) \(y'(x)= h'(x)g(x)+h(x)g'(x)= 3 \sin x + 3x \cos x = 3 (\sin x + x \cos x)\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=4x\cos x\) Nr. 1941
	\(y'=2(\cos x-\sin x)\)
	\(y'=4(\cos x-x\sin x)\)
	\(y'=4(x\cos x+x\sin x)\)
	\(y'=2(\cos x+\sin x)\)
	\(y'=4(x\cos x-\sin x)\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=(1-2x+x^2)\cdot\cos x\) Nr. 1942
	\(y'=-\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)\)
	\(y'=(x-1)\cdot\left(\sin x-2\cos x\right)\)
	\(y'=(x^2-1)\sin x-2\cos x\)
	\(y'=-x\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)\)
	\(y'=-(x-1)\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)\)
Lösungsweg \(y=(1-2x+x^2)\cdot\cos x\) setze \(f(x)= 1-2x+x^2 \) und \(g(x)= \cos x\) \(f'(x)= 0-2+2x\), \(g'(x)=- \sin x\) \(y'= (2x-2) \cos x + (1-2x+x^2) (-\sin x)= 2x \cos x - 2\cos x -\sin x +2x \sin x -x^2 \sin x = -(x-1)\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=(x^2-6x-3)\cdot\sin x\) Nr. 1943
	\(y'=(x^2-6x-3)\cos x+(2x-6)\sin x\)
	\(y'=(6x-3)\sin x+(2x-6)\cos x\)
	\(y'=(x^2-3)\cos x+(2x-6)\sin x\)
	\(y'=(x^2-6x-3)\sin x+(2x-6)\cos x\)
	\(y'=(2x-6)\cos x+(6x^2-3)\sin x\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=2x\cdot\sin x\cdot\cos x\) Hinweis: Verwende zum Vereinfachen trigonometrische Formeln! Nr. 1944
	\(y'=\sin (2x)+\cos (2x)\)
	\(y'=2x\sin x+x\cos x\)
	\(y'=\sin (2x)+2x\cos (2x)\)
	\(y'=\sin x-2x\cos x\)
	\(y'=\sin x+2x\cos x\)
Lösungsweg \(y=2x\cdot\sin x\cdot\cos x\) setze \(f(x)= 2x , \ g(x)= \sin x , \ h(x) = \cos x\) \(f'(x)=2, \ g'(x)= \cos x , \ h'(x)= - \sin x\) \(y'= (2 \sin x + 2x \cos x ) \cos x + 2x \sin x (- \sin x)= 2 \sin x \cos x + 2x (\cos^2 x -\sin ^2 x)\) Umformen: \(2 \sin x \cos x = \sin (2x)\) , \(\cos^2 x - \sin ^2 x = \cos (2x)\) \(y'= \sin(2x) + 2x \cos (2x)\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=x^2\cdot\sin x\cdot\cos x\) Hinweis: Verwende zum Vereinfachen trigonometrische Formeln! Nr. 1945
	\(y'=x\sin(2x)+x^2\cos(2x)\)
	\(y'=x\sin x-x\cos x\)
	\(y'=x(\sin(2x)+\cos(2x))\)
	\(y'=x\sin^2 x-x\cos^2 x\)
	\(y'=x^2\sin x+x\cos x\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=3\cdot\sin x\cdot\sin x\) Nr. 1946
	\(y'=6\cdot\sin( 2x)\cdot\cos (2x)\)
	\(y'=6\cdot\sin x\cdot\cos x\)
	\(y'=3\cdot\sin^2 x\)
	\(y'=3\cdot\sin (2x)\cdot\cos(2 x)\)
	\(y'=3\cdot\cos x\cdot\sin x\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Produktregel. \(y=4\cdot\cos x\cdot\cos x\) Nr. 1947
	\(y'=4\cdot\sin x \cdot\cos x\)
	\(y'=-2\cdot\cos x \cdot\sin x\)
	\(y'=-8\cdot\sin x \cdot\cos x\)
	\(y'=4\cdot\sin x \cdot\cos^2 x\)
	\(y'=8\cdot\sin^2 x\)

Drücken Sie y explizit aus und bilden Sie danach die Ableitung \(y'(x) \) \(xy - x + 2y = - 3\) Nr. 2887
	\(y'(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{3-x}{(x+2)^2}\)
	\(y'(x) = \frac{5}{(x+2)^2}\)
	\(y'(x) = \frac{1}{(x+2)^2}\)
	\(y'(x) = \frac{2x-1}{(x+2)^2}\)
Lösungsweg \(xy - x + 2y = - 3 \\ y = \frac{-3+x}{x+2} \\ y = (-3+x) \cdot \frac{1}{x+2}\) \(y'(x) = 1 \cdot \frac{1}{x+2} + (-3+x) \cdot (-1) \cdot \frac{1}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{3-x}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{x+2+3-x}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{5}{(x+2)^2} \)

Bilden Sie die erste Ableitung \(y(x) = \frac{-3+x}{5x+2}\) Nr. 2888
	\(y'(x) = \frac{17}{(5x+2)^2}\)
	\(y'(x) = \frac{5+4x}{(5x+2)^2}\)
	\(y'(x) = \frac{10x-1}{(5x+2)^2}\)
Lösungsweg \(y(x) = \frac{-3+x}{5x+2} \\ y(x) = (-3+x) \cdot \frac{1}{5x+2} \\ y'(x) = 1 \cdot \frac{1}{5x+2} + (-3+x) \cdot (-1) \cdot \frac{1}{(5x+2)^2} \cdot 5 \\\) \( y'(x) = \frac{1}{5x+2} + \frac{(3-x)\cdot 5}{(5x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{5x + 2 + 15 - 5x}{(5x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{17}{(5x+2)^2} \)

Bilden Sie die erste Ableitung \(y(x) = x \cdot e^x\) Nr. 2889
	\(y'(x) = e^x ( 1+x) \)
	\(y'(x) = e^x \)
	\(y'(x) = 1+e^x\)
Lösungsweg \(y(x) = x\cdot e^x \\ y'(x) = e^x + x e^x \\ y'(x) = e^x ( 1+x) \)

Bilden Sie die erste Ableitung: \(y(x) = x^2 \cdot e^x\) Nr. 2890
	\(y'(x) = 2x + e^x\)
	\(y'(x) = e^x (2x + x^2) \)
	\(y'(x) = 2x e^x\)
Lösungsweg \(y(x) = x^2 + e^x \\ y'(x) = 2x e^x + e^x x^2\) \(y'(x) = e^x (2x + x^2) \)

Bilden Sie die erste Ableitung \(y(x) = \frac{e^x}{x}\) Nr. 2891
	\(y'(x) = -\frac{1}{x^2} e^x\)
	\(y'(x) = e^x \frac{x-1}{x^2}\)
	\(y'(x) = \ln(x) \cdot e^x\)
Lösungsweg \(y(x) = \frac{e^x}{x} \\ y(x) = e^x \cdot x^{-1} \\ y'(x) = e^x x^{-1} +e^x \cdot (-1) \cdot x^{-2} \\ \) \( y'(x) = e^x ( x^{-1} - x^{-2}) \\ y'(x) = e^x ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) \\ y'(x) = e^x \frac{x-1}{x^2}\)

Bilden Sie die erste Ableitung: \(y(x) = \frac{x^2}{e^x} \) Nr. 2892
	\(y'(x) = \frac{2x-x^2}{e^x}\)
	\(y'(x) = \frac{2x}{e^x}\)
	\(y'(x) = \frac{2x}{e^{2x}}\)
	\(y'(x) = \frac{2x-x^2}{e^{2x}}\)
Lösungsweg \(y(x) = \frac{x^2}{e^x} \\ y(x) = x^2 \cdot e^{-x} \\ y'(x) = 2x \cdot e^{-x} - x^2 \cdot e^{-x} \) \(y'(x) =\frac{ 2x -x^2}{e^x}\)

Bilden Sie die erste Ableitung: \(y(x) = x \ln(x)\) Nr. 2893
	\(y'(x) = \ln(x) + 1\)
	\(y'(x) = \frac{1}{x}\)
	\(y'(x) = 1\)
	\(y'(x) = \ln(x) + \frac{1}{x}\)
Lösungsweg \(y(x) = x \ln(x) \\ y'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} \\ y'(x) = \ln(x) + 1\)

Bilden Sie die erste Ableitung: \(y(x) = \frac{\ln(x) }{x}\) Nr. 2894
	\(y'(x) = \frac{1-\ln(x)}{x^2}\)
	\(y'(x) = \frac{1}{x^2}\)
	\(y'(x) = \frac{1+ \ln(x)}{x^2}\)
Lösungsweg \(y(x) = \frac{\ln(x) }{x} = \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) \cdot x^{-1} \\\) \(y'(x) = \frac{1}{x} \cdot x^{-1} + \ln(x) \cdot (-1) \cdot x^{-2} \\ y'(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - \ln(x) \cdot \frac{1}{x^2} \\ y'(x) = \frac{1-\ln(x) }{x^2} \)

Bestimmen Sie die erste Ableitung: \(f(x) = 4 \cdot \frac1{x^{\frac23}} + x \) Nr. 2936
	\( f(x)' = -\frac83 \cdot \frac1{\sqrt[3]{x^5} }+ 1\)
	\( f(x)' = - \frac83 \cdot \frac1{\sqrt[3]{x^5} }\)
	\( f(x)' = \frac83 \cdot \frac1{\sqrt[5]{x^3} }+ 1\)
	\( f(x)' = \frac83 \cdot \sqrt[3]{x} }+ 1\)
Lösungsweg \(f(x) = 4 \cdot \frac1{x^{\frac23}} + x = f(x) = 4 \cdot x^{-\frac23} + x \) \( f(x)' = -4 \frac23 \cdot x^{-\frac53} + 1= f(x)' = - \frac83 \cdot \frac1{x^{\frac53}} + 1= f(x)' = -\frac83 \cdot \frac1{\sqrt[3]{x^5} }+ 1\)

Bestimmen Sie die erste Ableitung: \(y(x) = e^x \cdot \sin(x)\) Nr. 2937
	\(y'(x) = e^x \cdot( \sin(x) + \cos(x) ) \)
	\(y'(x) = e^x \cdot \cos(x) \)
	\(y'(x) = e^x \cdot( \sin(x) - \cos(x) ) \)

Bestimmen Sie die erste Ableitung:

\(y(x) = e^x \cdot \sin(x)\)

Nr. 2937

\(y'(x) = e^x \cdot( \sin(x) + \cos(x) ) \)

\(y'(x) = e^x \cdot \cos(x) \)

\(y'(x) = e^x \cdot( \sin(x) - \cos(x) ) \)

Bestimmen Sie die erste Ableitung: \(y(x) = e^x \cdot x^2\) Nr. 2938
	\(y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x) \)
	\(y'(x) = e^x \cdot 2x\)
	\(y'(x) = e^{x-1} \cdot (x^2 + 2x) \)

Bestimmen Sie die erste Ableitung:

\(y(x) = e^x \cdot x^2\)

Nr. 2938

\(y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x) \)

\(y'(x) = e^x \cdot 2x\)

\(y'(x) = e^{x-1} \cdot (x^2 + 2x) \)

Bestimmen Sie die zweite Ableitung von : \(y(x) = x^2 e^x\) Nr. 2939
	\(y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 4x + 2 ) \)
	\(y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 2x + 2 ) \)
	\(y''(x) = e^x \cdot 2\)
Lösungsweg \(y(x) = e^x x^2\) \(y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)\) \(y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 4x + 2 ) \)

Bestimmen Sie die erste Ableitung von \(y(x) = \frac1{3x^6}\) Nr. 2940
	\(y'(x) = - \frac2{x^7}\)
	\(y'(x) = \frac2{x^7}\)
	\(y'(x) = - \frac2{x^5}\)
Lösungsweg \(y(x) = \frac1{3x^6} = \frac13 x^{-6}\) \(y'(x) = \frac13 \cdot (-6) \cdot x^{-7} = - \frac2{x^7}\)

Bestimmen Sie die erste Ableitung mithilfe der Produktregel: \(y(x) = (\sin(x))^2\) Nr. 2941
	\(y'(x) = 2 \sin(x)\)
	\(y'(x) = \sin(x) \cos(x)\)
	\(y'(x) = 2 \sin(x) \cos(x)\)
Lösungsweg \(y(x) = (\sin(x))^2 = \sin(x) \cdot \sin(x)\) \(y'(x) = \sin(x) \cos(x) + \sin(x) \cos(x) = 2 \sin(x) \cos(x)\)

Bestimmen Sie die erste Ableitung mithilfe der Produktregel: \(y(x) = (\cos(x))^2\) Nr. 2942
	\(y'(x) = - 2 \sin(x)\cos(x)\)
	\(y'(x) = 2 \sin(x)\cos(x)\)
	\(y'(x) = 2 \sin(x)\)
Lösungsweg \(y(x) = (\cos(x))^2 = \cos(x) \cos(x)\) \(y'(x) = - \sin(x) \cos(x) - \sin(x) \cos(x) = - 2\sin(x) \cos(x)\)

Bestimmen Sie die erste Ableitung von \(f(x) = \frac{e^x}{x^2}\) Nr. 2943
	\(f'(x) = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x^3})\)
	\(f'(x) = -e^x \frac2{x^3}\)
	\(f'(x) = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x})\)
Lösungsweg \(f(x) = \frac{e^x}{x^2} = e^x \cdot x^{-2}\) \(f'(x) = e^x x^{-2} - 2 e^x x^{-3} = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x^3})\)

Bestimmen Sie die erste Ableitung: \(y(x) = x \cdot \ln(x) \) Nr. 2944
	\(y'(x) = \ln(x) + 1\)
	\(y'(x) = \ln(x) \)
	\(y'(x) = \ln(x) + x^2\)
Lösungsweg \(y(x) = x \cdot \ln(x) \) \(y'(x) = \ln(x) + x \frac1x = \ln(x) + 1\)

Bestimmen Sie die zweite Ableitung: \(y(x) = x \cdot \ln(x) \) Nr. 2945
	\(y''(x) = \frac1x\)
	\(y''(x) = 0\)
	\(y''(x) = 1\)
Lösungsweg \(y(x) = x \cdot \ln(x) \) \(y'(x) = \ln(x) + x \frac1x = \ln(x) + 1\) \(y''(x) = \frac1x\)

Bestimmen Sie mithilfe der Produktregel die erste Ableitung: \(y(x) = (\sin(x) ) ^2 + (\cos(x))^2\) Nr. 2946
	\(y'(x) = 0\)
	\(y'(x) = 2\sin(x) + 2\cos(x)\)
	\(y'(x) = 4\sin(x) \cos(x)\)
Lösungsweg \(y(x) = (\sin(x) ) ^2 + (\cos(x))^2 = \sin(x) \sin(x) + \cos(x) \cos(x) \) \(y'(x) = \sin(x) \cos(x) + \sin(x) \cos(x) - \sin(x) \cos(x) - \sin(x) \cos(x) = 0\)

Bestimmen Sie die erste Ableitung: \(y(x) = \sin(x) \cos(x) \) Nr. 2947
	\(y'(x) = (\cos(x))^2 - (\sin(x))^2\)
	\(y'(x) = (\cos(x))^2+(\sin(x))^2\)
	\(y'(x) =(\sin(x))^2- (\cos(x))^2 \)

Bestimmen Sie die erste Ableitung:

\(y(x) = \sin(x) \cos(x) \)

Nr. 2947

\(y'(x) = (\cos(x))^2 - (\sin(x))^2\)

\(y'(x) = (\cos(x))^2+(\sin(x))^2\)

\(y'(x) =(\sin(x))^2- (\cos(x))^2 \)

Bestimmen Sie die erste Ableitung mit Hilfe der Produktregel und Kettenregel: \(y(x) = \tan(x) \) Nr. 2987
	\( \frac{1 }{(\cos(x))^2} \)
	\( \frac{1 }{(\sin(x))^2} \)
	\(\frac1{(\tan(x))^2}\)
Lösungsweg \(y(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-1}\) \(y'(x) = \cos(x) \cdot (\cos(x))^{-1} + \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-2} \sin(x) = 1 + (\sin(x))^2 \cdot (\cos(x))^{-2} = \) \(= \frac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 }{(\cos(x))^2} = \frac{1 }{(\cos(x))^2} \)

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