Fragenliste von Logarithmusfunktionen

Welche Werte sind Nullstellen der Funktion $/$ f(x)=log_{10}(x)$ ? Nr. 454
	$/$ x=0$
	$x=\sqrt{10}$
	$/$ x=1$
	$/$ x=\frac 1 {10}$

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $/$ log_4(x)$ ? Nr. 455
	nach oben beschränkt
	nach unten unbeschränkt
	symmetrisch zur y-Achse
	streng monoton steigend
Lösungsweg Beschränktheit $\lim_{x \to \infty} log_4(x) = \infty$ nach oben unbeschränkt $\lim_{x \to 0} log_4(x) = -\infty$ nach unten unbeschränkt Symmetrie x < 0 nicht im Definitionsbereich, also keine Symmetrie Monotonie $x_1< x_2 \Rightarrow log_4(x_1) < log_4(x_2)$

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $/$ f(x)= log_{\frac 1 4}(x)$ ? Nr. 456
	Nullstelle bei x=1
	nach unten beschränkt
	streng monoton steigend
	punktsymmetrisch zum Ursprung

Auf der Oberfläche eines Bergsees wurde eine Lichtintensität von 84 000Lux und in einer Tiefe von 81cm von 11 790 Lux gemessen. Wie groß ist die Lichtintensität in 5m Tiefe? Nr. 1445
	0,457 Lux
	1,982 Lux
	23,4 Lux
	42 Lux
	198,1 Lux
Lösungsweg $l(x)= 84000 \cdot (\frac{84000}{11790})^{\frac{x}{81cm}}Lux $ $l(-5)= 84000 \cdot (\frac{84000}{11790})^{\frac{-500}{81}}\approx 0,4574$

Die Spannung beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand wird durch die Formel $u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ beschrieben. Für die Zeitkonstante gilt $\tau= R\cdot C$ . Auf wie viel Prozent der Maximalspannung $U_0$ hat sich der Kondensator zum Zeitpunkt $t_2=5\tau$ entladen? Nr. 1447
	$u(5\tau)=0,25 \cdot U_0$
	$u(5\tau)=0,025 \cdot U_0$
	$u(5\tau)=0,017 \cdot U_0$
	$u(5\tau)=0,0125 \cdot U_0$
	$ u(5\tau)=0,007 \cdot U_0$
Lösungsweg $u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $u(t_2) = U_0 \cdot e^{-\frac{5\tau}{\tau}}= U_0 \cdot e^{-5}$ $e^{-5}\approx 0,00674$

Die Spannung beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand wird durch die Formel $u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ beschrieben. Für die Zeitkonstante gilt $\tau= R\cdot C$ . Wie groß ist C, wenn$ R =10k \Omega$ beträgt und die Spannung u(t) nach 100 ms auf 5% des Maximalwerts abgefallen ist? Nr. 1448
	$C=1,87\mu F$
	$C=3,34\mu F $
	$C=5,21\mu F$
	$C=7,12\mu F$
	$C=8,5\mu F$
Lösungsweg $u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $u(0,1) = U_0 \cdot e^{-\frac{0,1}{\tau}}= U_0 \cdot 0,05$ $-\frac{0,1}{\tau}=\ln0,05$ $\tau=-\frac{0,1}{\ln0,05}\approx -0,033$ $C=\frac{\tau}{R}\approx -3,338\cdot 10^{-6}$

Die Spannung u_C(t) beim Aufladen eines Kondensators von 0V auf U₀ wird durch die Formel $u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ beschrieben. Für die Zeitkonstante $\tau$ gilt $\tau=R \cdot C$ . Auf wie viel Prozent der Maximalspannung $U_0$ ist der Kondensator zum Zeitpunkt $t=\tau $aufgeladen? Nr. 1449
	auf 35,67% der Maximalspannung
	auf 37% der Maximalspannung
	auf 56% der Maximalspannung
	auf 63% der Maximalspannung
	auf 73% der Maximalspannung
Lösungsweg $u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ $u_C (\tau)= U_0 \cdot ( 1-e^{-\frac{\tau}{\tau}})=U_0 \cdot (1-e^{-1})$ $(1-e^{-1})\approx 0,6321$

Die Spannung u_C(t) beim Aufladen eines Kondensators von 0V auf U₀ wird durch die Formel $u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ beschrieben. Für die Zeitkonstante $\tau$ gilt$ \tau=R \cdot C$ . Zu welchem Zeitpunkt hat sich der Kondensator auf 99% der Maximalspannung aufgeladen, wenn$ R =1k\Omega$ und $C=1\mu F$ beträgt? Nr. 1450
	t= 4,61 ms
	t= 46,1 ms
	t=4,61 s
	t=46,1 s
	t=461 s
Lösungsweg $u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ $0,99U_0= U_0 \cdot ( 1-e^{-\frac{t}{\tau}})$ $0,01=e^{-\frac{t}{\tau}}$ $\ln0,01=-\frac{t}{\tau}$ $t=-\ln0,01\cdot\tau=-\ln0,01\cdot R\cdot C=-\ln0,01\cdot 10^3\cdot 10^{-6}\approx 0,004605$

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Leiten Sie die Formel für u(t) her. Nr. 1451
	$u(t) = 120- 150 \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}$
	$u(t) = 120- 150 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}$
	$u(t) = 150- 150 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}$
	$u(t) = 150- 120 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}$
	$ u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. $ u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Wie groß ist die Zeitkonstante $\tau$? Nr. 1452
	$\tau=\frac{0,005}{ln4}$
	$\tau=\frac{5}{ln4}$
	$\tau=\frac{ln0,005}{t}$
	$\tau=-\frac{ln5}{t}$
	$\tau=-\frac{0,005}{ln4}$
Lösungsweg $ u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}$ $\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}$ $\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607$

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. $ u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ Wie groß ist die Spannung nach drei Zeitkonstanten $\tau$? Nr. 1453
	120V
	123V
	134V
	144V
	150V
Lösungsweg $ u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $ u(3\tau) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{3\tau}{\tau}}=150- 120 \cdot e^{-3}\approx 144,0256$

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. $ u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Ab wann beträgt die Abweichung vom theoretischen Endwert weniger als 1%? Nr. 1454
	ab $t_1=15,5ms$
	ab $t_1=15,8ms $
	ab $t_1=18,5ms$
	ab $t_1=18,8ms$
	ab $t_1=21,3ms$
Lösungsweg $ u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}$ $\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}$ $\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607$ $ 150\cdot 0,99= 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $ 150\cdot 0,01= 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $ 150\cdot 0,01/120=e^{-\frac{t}{\tau}}$ $\ln( 150\cdot 0,01/120)=-\frac{t}{\tau}$ $t=-{\tau}\cdot {\ln( 0,05/4)}={\tau}\cdot {\ln(400/5)}={\tau}\cdot {\ln(80)} \approx 0,0158048$

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ Wie groß ist ein Guthaben nach 6 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 25 000Euro mit 4% verzinst wird? Nr. 1455
	27 325 Euro
	27 833 Euro
	28 173 Euro
	31 633 Euro
	32 325 Euro
Lösungsweg $G(6) = 25000 \cdot \left(1+ \frac{4}{100}\right)^6\approx 31632,975$

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ Nach wie vielen Jahren hat sich ein Anfangskapital K bei einem Zinsfuß von p% verdoppelt? Nr. 1456
	$n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{p%}{100})} $
	$n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{100})} $
	$n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}$
	$n=\frac{p%}{ln(1+\frac{ln2}{100})}$
	$n=\frac{100}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}$
Lösungsweg $2K = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ $2=\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ $\frac{\ln2}{\ln\left(1+ \frac{p}{100}\right)}=n$

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ Wie groß ist ein Guthaben nach 5 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 50 000€ mit 3,5% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer 3000€ abgehoben werden? Insgesamt erfolgen 5 Behebungen. Nr. 1457
	$\approx 38.800 Euro$
	$\approx 42.302 Euro$
	$\approx 43,297 Euro $
	$\approx 50 .312 Euro$
	$ \approx 52. 423 Euro$
Lösungsweg Durch einige Überlegungen kommt man auf folgende Formel für das Gesamtkapital bei jährlich gleichbleibenden Abhebungen: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-x\cdot \frac{\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-1}{\left(1+ \frac{p}{100}\right)-1}$ $G(5) = 50000 \cdot \left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-3000\cdot \frac{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-1}{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)-1}\approx 43296.9177$

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: $ G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ Wie groß ist das Guthaben nach n Jahren, wenn ein Anfangskapital K mit p% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer A abgehoben werden? Ingesamt erfolgen n Behebungen. Nr. 1458
	$G(n)= K \cdot P^n$
	$G(n)= K \cdot P^n-A$
	$G(n)= K \cdot P^n-A \cdot (P^{n-1}+P -1)$
	$ G(n)= K \cdot P^n-A \cdot ((P{n-1}-1) \cdot (P -1))$
	$G(n)= K\cdot P^n - A \cdot \frac{p^{n-1}-1}{P-1}$

Ein Patient nimmt um 9⁰⁰ eine Tablette von 1,5g und um 15⁰⁰ eine weitere Tablette eines bestimmten Medikaments ein. Dieses Medikament besitzt eine biologische Halbwertszeit von 6 Stunden. Wie viel Gramm wirksamer Substanz befinden sich um 12⁰⁰ im Körper des Patienten? Nr. 1459
	1,016g
	1,061g
	1,069g
	1,096g
	1,196g
Lösungsweg $N(t)=N_0\cdot 0,5^{t/6}$ $N(3)=1,5\cdot 0,5^{3/6}\approx 1.06066$

Ein Patient nimmt um 9⁰⁰ eine Tablette von 1,5g und um 15⁰⁰ eine weitere Tablette eines bestimmten Medikaments ein. Dieses Medikament besitzt eine biologische Halbwertszeit von 6 Stunden. Wie viel Gramm wirksamer Substanz befinden sich um 18⁰⁰ im Körper des Patienten? Nr. 1460
	$1,096g$
	$1,196g$
	$1,32g$
	$1,421g$
	$1,59g$
Lösungsweg $N(t)=N_0\cdot 0,5^{t/6}$ $N(6)=1,5\cdot 0,5^{6/6}=0,75$...vor der Einnahme der zweitenTablette $N(9)=(0,75+1,5)\cdot 0,5^{3/6}\approx 1,59099$

Ein Patient nimmt eine Tablette von 1,5g und um 15⁰⁰ eine weitere Tablette eines bestimmten Medikaments ein. Dieses Medikament besitzt eine biologische Halbwertszeit von 6 Stunden. Nach wie vielen Stunden t befinden sich nurmehr 0,5 Gramm wirksame Substanz im Körper des Patienten? Nr. 1461
	$t=6,5h $
	$t=8,7h$
	$t=12,34h$
	$t= 19,02h$
	$t=21,3h$
Lösungsweg $N(t)=N_0\cdot 0,5^{t/6}$ Um 15 Uhr hat der Patient noch 0,75g der ersten Tablette (N(6) berechnen), damit hat er nach der Einnahme der zweiten 2,25g im Körper. $0,5=2,25\cdot 0,5^{t/6}$ $0,5/2,25=0,5^{t/6}$ $\frac{\ln(0,5/2,25)}{\ln0,5}=t/6$ $t\approx 13,0196$ $6+13,0196\approx 19$

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 9°° eine Dosis von 10mg des Medikaments , um 13°° 4mg und um 18°° 8mg zu sich. Bedenkt man, dass die Formel $n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$ die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt - wann im Zeitabschnitt zwischen 13°° und 18°° beträgt die wirksame Substanz 9mg? Nr. 1465
	Um 14:28 Uhr
	Um 15:23 Uhr
	Um 16:01 Uhr
	Um 16:34 Uhr
	Um 17:21 Uhr
Lösungsweg $n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$ $9= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot 1 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot 1+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)$ $9/ (10 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}})= 2^{-\frac{t}{8}}$ $\frac{\ln(9/ (10 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}}))}{\ln2}= -\frac{t}{8}$ $t\approx 6,3904\hat{=}15.23$

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 6°° eine Dosis von 40mg des Medikaments, um 11°° 30mg und um 15°° 50mg zu sich. Geben Sie eine Formel an, die die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt. Nr. 1466
	$n(t)= 2^{\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$
	$n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$
	$n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (30 \cdot \sigma (t) +40 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$
	$n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (30 \cdot \sigma (t) +40 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{-\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$
	$n(t)= 2^{\frac{t}{8}} \cdot (30 \cdot \sigma (t) +40 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{-\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich $1 mV \leq u \leq 700mV$soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Wo liegt u₁ = 580 mV genau? Nr. 1477
	$ u_1= 7,98cm$
	$u_1= 7,82cm$
	$u_1= 9,87cm$
	$u_1= 11,7cm $
	$u_1= 11,8cm$

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich $1mv \leq u \leq 700mV$ soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Welcher Spannungswert u₃ liegt 3,7 cm rechts von u_A = 1mV? Nr. 1479
	$u_3=5,82mV$
	$u_3=7,53mV$
	$u_3= 9,93mV$
	$u_3=23,21mV $
	$u_3= 52,23mV$

Eine logarithmisch geteilte Stromskala für den Bereich $0,05mA \leq i \leq 80mA$ soll auf einer Länge von L = 14cm dargestellt werden. Wo liegt i₀ = 1 mA genau? Nr. 1480
	1mA liegt +5,685 cm rechts von der unteren Intervallgrenze i_A
	1mA liegt -5,685 cm links von der oberen Intervallgrenze i_A
	1mA liegt +6,85 cm rechts von der unteren Intervallgrenze i_A
	1mA liegt -6,85 cm links von der oberen Intervallgrenze i_A
	Keine der Antworten ist korrekt

Eine logarithmisch geteilte Stromskala für den Bereich $0,05mA \leq u \leq 80mA$ soll auf einer Länge von L = 14cm dargestellt werden. Wo liegt i₁ = 12 mA genau? Nr. 1481
	$i_1=10,4cm$ rechts von der unteren Intervallgrenze i_A
	$i_1=5,685cm$ recht von der unteren Intervallgrenze i_A
	$i_1=10,4cm$ rechts von der Marke i=1mA
	$i_1=4,715cm$ rechts von der Marke i=1mA
	$i_1=5,685cm$ rechts von der Marke i=1mA

Eine logarithmisch geteilte Stromskala für den Bereich $0,05mA \leq u \leq 80mA$ soll auf einer Länge von L = 14cm dargestellt werden. Welcher Stromwert i₂ liegt 12cm rechts von i_A=0,05mA? Nr. 1482
	$i_2=25,79mA$
	$i_2=25,97mA$
	$i_2=27,95mA$
	$i_2= 29,57mA$
	$ i_2= 29,75mA$

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich $90mv \leq u \leq 830mV$ soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Wo liegt u₁=500 mV genau? Nr. 1483
	$u_1= 3,42cm$ rechts von der unteren Intervallgrenze
	$u_1=7,32cm$ links von der oberen Intervallgrenze
	$u_1=9,26cm$ rechts von der unteren Intervallgrenze
	$u_1=2,74cm$ links von der oberen Intervallgrenze
	$u_1=7,32cm$ rechts von der unteren Intervallgrenze

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich $90mv \leq u \leq 830 mV$ soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Welcher Spannungswert u₃ liegt 5cm rechts von u_A=90 mV? Nr. 1484
	$u_3=98mV$
	$u_3=108mV$
	$u_3=118mV$
	$u_3=189mV$
	$u_3= 227mV$

Messwerte sollen auf einer logarithmischen Skala (dekadischer Logarithmus) eingetragen werden. Welchem x auf der logarithmischen Skala entspricht ein Wert von 100? Nr. 3592
	$1\cdot 10^{100}$
	4,6
	2

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Welche Werte sind Nullstellen der Funktion \(/$ f(x)=log_{10}(x)\) ? Nr. 454
	\(/$ x=0\)
	\(x=\sqrt{10}\)
	\(/$ x=1\)
	\(/$ x=\frac 1 {10}\)

Die Spannung beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand wird durch die Formel \(u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) beschrieben. Für die Zeitkonstante gilt \(\tau= R\cdot C\) . Auf wie viel Prozent der Maximalspannung \(U_0\) hat sich der Kondensator zum Zeitpunkt \(t_2=5\tau\) entladen? Nr. 1447
	\(u(5\tau)=0,25 \cdot U_0\)
	\(u(5\tau)=0,025 \cdot U_0\)
	\(u(5\tau)=0,017 \cdot U_0\)
	\(u(5\tau)=0,0125 \cdot U_0\)
	\( u(5\tau)=0,007 \cdot U_0\)
Lösungsweg \(u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(u(t_2) = U_0 \cdot e^{-\frac{5\tau}{\tau}}= U_0 \cdot e^{-5}\) \(e^{-5}\approx 0,00674\)

Die Spannung beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand wird durch die Formel \(u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) beschrieben. Für die Zeitkonstante gilt \(\tau= R\cdot C\) . Wie groß ist C, wenn\( R =10k \Omega\) beträgt und die Spannung u(t) nach 100 ms auf 5% des Maximalwerts abgefallen ist? Nr. 1448
	\(C=1,87\mu F\)
	\(C=3,34\mu F \)
	\(C=5,21\mu F\)
	\(C=7,12\mu F\)
	\(C=8,5\mu F\)
Lösungsweg \(u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(u(0,1) = U_0 \cdot e^{-\frac{0,1}{\tau}}= U_0 \cdot 0,05\) \(-\frac{0,1}{\tau}=\ln0,05\) \(\tau=-\frac{0,1}{\ln0,05}\approx -0,033\) \(C=\frac{\tau}{R}\approx -3,338\cdot 10^{-6}\)

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Leiten Sie die Formel für u(t) her. Nr. 1451
	\(u(t) = 120- 150 \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}\)
	\(u(t) = 120- 150 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}\)
	\(u(t) = 150- 150 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}\)
	\(u(t) = 150- 120 \cdot e^{\frac{t}{\tau}}\)
	\( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\)

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Wie groß ist die Zeitkonstante \(\tau\)? Nr. 1452
	\(\tau=\frac{0,005}{ln4}\)
	\(\tau=\frac{5}{ln4}\)
	\(\tau=\frac{ln0,005}{t}\)
	\(\tau=-\frac{ln5}{t}\)
	\(\tau=-\frac{0,005}{ln4}\)
Lösungsweg \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}\) \(\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}\) \(\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607\)

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Ab wann beträgt die Abweichung vom theoretischen Endwert weniger als 1%? Nr. 1454
	ab \(t_1=15,5ms\)
	ab \(t_1=15,8ms \)
	ab \(t_1=18,5ms\)
	ab \(t_1=18,8ms\)
	ab \(t_1=21,3ms\)
Lösungsweg \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}\) \(\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}\) \(\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607\) \( 150\cdot 0,99= 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \( 150\cdot 0,01= 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \( 150\cdot 0,01/120=e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(\ln( 150\cdot 0,01/120)=-\frac{t}{\tau}\) \(t=-{\tau}\cdot {\ln( 0,05/4)}={\tau}\cdot {\ln(400/5)}={\tau}\cdot {\ln(80)} \approx 0,0158048\)

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Nach wie vielen Jahren hat sich ein Anfangskapital K bei einem Zinsfuß von p% verdoppelt? Nr. 1456
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{p%}{100})} \)
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{100})} \)
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}\)
	\(n=\frac{p%}{ln(1+\frac{ln2}{100})}\)
	\(n=\frac{100}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}\)
Lösungsweg \(2K = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) \(2=\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) \(\frac{\ln2}{\ln\left(1+ \frac{p}{100}\right)}=n\)

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Wie groß ist ein Guthaben nach 5 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 50 000€ mit 3,5% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer 3000€ abgehoben werden? Insgesamt erfolgen 5 Behebungen. Nr. 1457
	\(\approx 38.800 Euro\)
	\(\approx 42.302 Euro\)
	\(\approx 43,297 Euro \)
	\(\approx 50 .312 Euro\)
	\( \approx 52. 423 Euro\)
Lösungsweg Durch einige Überlegungen kommt man auf folgende Formel für das Gesamtkapital bei jährlich gleichbleibenden Abhebungen: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-x\cdot \frac{\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-1}{\left(1+ \frac{p}{100}\right)-1}\) \(G(5) = 50000 \cdot \left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-3000\cdot \frac{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-1}{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)-1}\approx 43296.9177\)

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \( G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Wie groß ist das Guthaben nach n Jahren, wenn ein Anfangskapital K mit p% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer A abgehoben werden? Ingesamt erfolgen n Behebungen. Nr. 1458
	\(G(n)= K \cdot P^n\)
	\(G(n)= K \cdot P^n-A\)
	\(G(n)= K \cdot P^n-A \cdot (P^{n-1}+P -1)\)
	\( G(n)= K \cdot P^n-A \cdot ((P{n-1}-1) \cdot (P -1))\)
	\(G(n)= K\cdot P^n - A \cdot \frac{p^{n-1}-1}{P-1}\)

Ein Patient nimmt um 9⁰⁰ eine Tablette von 1,5g und um 15⁰⁰ eine weitere Tablette eines bestimmten Medikaments ein. Dieses Medikament besitzt eine biologische Halbwertszeit von 6 Stunden. Wie viel Gramm wirksamer Substanz befinden sich um 18⁰⁰ im Körper des Patienten? Nr. 1460
	\(1,096g\)
	\(1,196g\)
	\(1,32g\)
	\(1,421g\)
	\(1,59g\)
Lösungsweg \(N(t)=N_0\cdot 0,5^{t/6}\) \(N(6)=1,5\cdot 0,5^{6/6}=0,75\)...vor der Einnahme der zweitenTablette \(N(9)=(0,75+1,5)\cdot 0,5^{3/6}\approx 1,59099\)

Ein Patient nimmt eine Tablette von 1,5g und um 15⁰⁰ eine weitere Tablette eines bestimmten Medikaments ein. Dieses Medikament besitzt eine biologische Halbwertszeit von 6 Stunden. Nach wie vielen Stunden t befinden sich nurmehr 0,5 Gramm wirksame Substanz im Körper des Patienten? Nr. 1461
	\(t=6,5h \)
	\(t=8,7h\)
	\(t=12,34h\)
	\(t= 19,02h\)
	\(t=21,3h\)
Lösungsweg \(N(t)=N_0\cdot 0,5^{t/6}\) Um 15 Uhr hat der Patient noch 0,75g der ersten Tablette (N(6) berechnen), damit hat er nach der Einnahme der zweiten 2,25g im Körper. \(0,5=2,25\cdot 0,5^{t/6}\) \(0,5/2,25=0,5^{t/6}\) \(\frac{\ln(0,5/2,25)}{\ln0,5}=t/6\) \(t\approx 13,0196\) \(6+13,0196\approx 19\)

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 6°° eine Dosis von 40mg des Medikaments, um 11°° 30mg und um 15°° 50mg zu sich. Geben Sie eine Formel an, die die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt. Nr. 1466
	\(n(t)= 2^{\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\)
	\(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\)
	\(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (30 \cdot \sigma (t) +40 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\)
	\(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (30 \cdot \sigma (t) +40 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{-\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\)
	\(n(t)= 2^{\frac{t}{8}} \cdot (30 \cdot \sigma (t) +40 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{-\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\)

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich \(1 mV \leq u \leq 700mV\)soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Wo liegt u₁ = 580 mV genau? Nr. 1477
	\( u_1= 7,98cm\)
	\(u_1= 7,82cm\)
	\(u_1= 9,87cm\)
	\(u_1= 11,7cm \)
	\(u_1= 11,8cm\)

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich \(1mv \leq u \leq 700mV\) soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Welcher Spannungswert u₃ liegt 3,7 cm rechts von u_A = 1mV? Nr. 1479
	\(u_3=5,82mV\)
	\(u_3=7,53mV\)
	\(u_3= 9,93mV\)
	\(u_3=23,21mV \)
	\(u_3= 52,23mV\)

Eine logarithmisch geteilte Stromskala für den Bereich \(0,05mA \leq u \leq 80mA\) soll auf einer Länge von L = 14cm dargestellt werden. Wo liegt i₁ = 12 mA genau? Nr. 1481
	\(i_1=10,4cm\) rechts von der unteren Intervallgrenze i_A
	\(i_1=5,685cm\) recht von der unteren Intervallgrenze i_A
	\(i_1=10,4cm\) rechts von der Marke i=1mA
	\(i_1=4,715cm\) rechts von der Marke i=1mA
	\(i_1=5,685cm\) rechts von der Marke i=1mA

Eine logarithmisch geteilte Stromskala für den Bereich \(0,05mA \leq u \leq 80mA\) soll auf einer Länge von L = 14cm dargestellt werden. Welcher Stromwert i₂ liegt 12cm rechts von i_A=0,05mA? Nr. 1482
	\(i_2=25,79mA\)
	\(i_2=25,97mA\)
	\(i_2=27,95mA\)
	\(i_2= 29,57mA\)
	\( i_2= 29,75mA\)

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich \(90mv \leq u \leq 830mV\) soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Wo liegt u₁=500 mV genau? Nr. 1483
	\(u_1= 3,42cm\) rechts von der unteren Intervallgrenze
	\(u_1=7,32cm\) links von der oberen Intervallgrenze
	\(u_1=9,26cm\) rechts von der unteren Intervallgrenze
	\(u_1=2,74cm\) links von der oberen Intervallgrenze
	\(u_1=7,32cm\) rechts von der unteren Intervallgrenze

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich \(90mv \leq u \leq 830 mV\) soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Welcher Spannungswert u₃ liegt 5cm rechts von u_A=90 mV? Nr. 1484
	\(u_3=98mV\)
	\(u_3=108mV\)
	\(u_3=118mV\)
	\(u_3=189mV\)
	\(u_3= 227mV\)

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