Fragenliste von Potenzfunktionen

Welche Werte sind Fixwerte der Funktion $/$ f(x)=x^2$? Nr. 381
	x=-1
	x=1
	x=0
	x=10
Lösungsweg $x=x^2 \text{ wenn}\\ x=1 \text{ oder } x=0$

Welche Werte sind Nullstellen der Funktion $/$ f(x)=x^6$ ? Nr. 418
	x=1
	x=-1
	x=0
Lösungsweg $x^6=0 \\ x=0$

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $/$ f(x)=x^4, X=\mathbb R$? Nr. 419
	Nach oben beschränkt.
	Streng monoton steigend.
	Nach unten beschränkt.
Lösungsweg Beschränkung: $\lim_{x\to\infty} x^4= \infty$ => nach oben unbeschränkt $x^4>0 \forall x\neq0$ => nach unten durch 0 beschränkt Monotonie Für $x_1 gilt \({x_1}^4<{x_2}^4 \forall x_1, x_2>0$ , streng monoton steigend aber ${x_1}^4>{x_2}^4 \forall x_1, x_2<0$, streng monoton fallend

Welche Werte sind Nullstellen der Funktion $/$ f(x)= x^5$? Nr. 420
	$/$ x=0$
	$/$ x=1$
	$/$ x=\frac 1 5$
Lösungsweg $x^5=0\\ x=0$

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $/$ f(x)=x^3, X=\mathbb R$ ? Nr. 421
	Nach unten beschränkt.
	Streng monoton steigend.
	Nach oben beschränkt.
Lösungsweg Beschränktheit $\lim_{x\to\infty} x^3 =\infty$ $\lim_{x\to-\infty} x^3 =- \infty$ =>unbeschränkt Monotonie für $x_1 < x_2$ gilt ${x_1}^3<{x_2}^3$ , also streng monoton steigend

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $f(x)=-2x^2$ ? Nr. 2254
	stetig
	monoton steigend
	Minimum bei x=0
	Maximum bei x=0

Welche Eigenschaften hat die Funktion $f(x)=-2x^3$ ? Nr. 2255
	stetig
	monoton fallend
	Minimum bei x=0
	Nullstelle bei x=-2

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils $f: \ D \to \mathbb{R}$, wobei $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$. Nr. 5198
	$f(x) = x^4$
	$f(x) = 6 x^{\frac{2}{5}}$
	$f(x) = \sqrt{x}$
	$f(x) = 3^x$
	$f(x) = 5x$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: $r=0$: Konstante Funktion $r = 1$: Identität $f(x) = x$ $r \in \mathbb{N}$: Monom $r = \frac{1}{q}$ mit $ q \in \mathbb{N}$: Wurzelfunktionen $r < 0$: Spezialfall von rationalen Funktionen

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils $f: \ D \to \mathbb{R}$, wobei $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$. Nr. 5199
	$f(x) = 5x^2$
	$f(x) = \sqrt[3]{x}$
	$f(x) = 5^{2x}$
	$f(x) = \frac{1}{x^6}$
	$f(x) = \sin(4x)$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: $r=0$: Konstante Funktion $r = 1$: Identität $f(x) = x$ $r \in \mathbb{N}$: Monom $r = \frac{1}{q}$ mit $ q \in \mathbb{N}$: Wurzelfunktionen $r < 0$: Spezialfall von rationalen Funktionen

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils $f: \ D \to \mathbb{R}$, wobei $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$. Nr. 5200
	$f(x) = \frac{3x+5}{4x^2-2x+5}$
	$f(x) = 7$
	$f(x) = \frac{3}{x^5}$
	$f(x) = 0.2x^3$
	$f(x) = \sqrt{3x^5 +4x -7}$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: $r=0$: Konstante Funktion $r = 1$: Identität $f(x) = x$ $r \in \mathbb{N}$: Monom $r = \frac{1}{q}$ mit $ q \in \mathbb{N}$: Wurzelfunktionen $r < 0$: Spezialfall von rationalen Funktionen

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils $f: \ D \to \mathbb{R}$, wobei $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$. Nr. 5201
	$f(x) = \cos (x)$
	$f(x) = \frac{3}{x^5}$
	$f(x) = \sqrt[5]{x^3}$
	$f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x - 5}$
	$f(x) = \ln (x)$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: $r=0$: Konstante Funktion $r = 1$: Identität $f(x) = x$ $r \in \mathbb{N}$: Monom $r = \frac{1}{q}$ mit $ q \in \mathbb{N}$: Wurzelfunktionen $r < 0$: Spezialfall von rationalen Funktionen

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils $f: \ D \to \mathbb{R}$, wobei $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$. Nr. 5202
	$f(x) = 5$
	$f(x) = e^x$
	$f(x) = 3x^5$
	$f(x) = 4x^2 + 5x -6$
	$f(x) = \frac{3x^2 + 4x -5}{4x -7}$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: $r=0$: Konstante Funktion $r = 1$: Identität $f(x) = x$ $r \in \mathbb{N}$: Monom $r = \frac{1}{q}$ mit $ q \in \mathbb{N}$: Wurzelfunktionen $r < 0$: Spezialfall von rationalen Funktionen

Was ist der größtmögliche Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der Potenzfunktion $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^{\frac{p}{q}}$ mit $ p, \ q \in \mathbb{N^*}$ ? Nr. 5203
	$D = \mathbb{R}$
	$D = \mathbb{R}^+$
	$D = \mathbb{R}^+_0$
	$D = \mathbb{R}^*$
	$D = \mathbb{N}$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Größtmöglicher Definitionsbereich $D$ für einige Spezialfälle: $r \in \mathbb{N}$: $D = \mathbb{R}$ $ r \in \mathbb{Q}^+$ (Wurzelfunktionen): $D = \mathbb{R}^+_0$ $r \in \mathbb{Z}^-$ (rationale Funktionen): $D = \mathbb{R} \backslash \{0 \}= \mathbb{R}^*$ Hier: $f(x) = x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}$, Für Wurzelfunktionen ist der größtmögliche Definitionsbereich $D = \mathbb{R}^+_0$.

Was ist der größtmögliche Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der Potenzfunktion $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^{r}$ mit $r \in \mathbb{Z}^-$ ? Nr. 5204
	$D = \mathbb{R}$
	$D = \mathbb{R}^+$
	$D = \mathbb{R}^+_0$
	$D = \mathbb{R}^*$
	$D = \mathbb{Z}$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Größtmöglicher Definitionsbereich $D$ für einige Spezialfälle: $r \in \mathbb{N}$: $D = \mathbb{R}$ $ r \in \mathbb{Q}^+$ (Wurzelfunktionen): $D = \mathbb{R}^+_0$ $r \in \mathbb{Z}^-$ (rationale Funktionen): $D = \mathbb{R} \backslash \{0 \}= \mathbb{R}^*$ Hier $r \in \mathbb{Z}^-$: $f(x) = x^r = x^{-\|r\|} = \frac{1}{x^{\|r\|}}$. Es handelt sich also um eine rationale Funktion. $x=0$ muss aus dem Definitionsbereich ausgenommen werden, da sonst durch 0 dividiert würde.

Was ist der größtmögliche Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der Potenzfunktion $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^{r}$ mit $r \in \mathbb{Z}$ ? Nr. 5205
	$D = \mathbb{R}$
	$D = \mathbb{R}^+$
	$D = \mathbb{R}^+_0$
	$D = \mathbb{R}^*$
	$D = \mathbb{Z}$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Größtmöglicher Definitionsbereich $D$ für einige Spezialfälle: $r \in \mathbb{N}$: $D = \mathbb{R}$ $ r \in \mathbb{Q}^+$ (Wurzelfunktionen): $D = \mathbb{R}^+_0$ $r \in \mathbb{Z}^-$ (rationale Funktionen): $D = \mathbb{R} \backslash \{0 \}= \mathbb{R}^*$ Hier ist auch $r \in \mathbb{Z}^-$ eingeschlossen: $f(x) = x^r = x^{-\|r\|} = \frac{1}{x^{\|r\|}}$. Es handelt sich also um eine rationale Funktion. $x=0$ muss aus dem Definitionsbereich ausgenommen werden, da sonst durch 0 dividiert würde.

Was ist der größtmögliche Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der Potenzfunktion $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^{r}$ mit $r \in \mathbb{N}$ ? Nr. 5206
	$D = \mathbb{R}$
	$D = \mathbb{R}^+$
	$D = \mathbb{R}^+_0$
	$D = \mathbb{R}^*$
	$D = \mathbb{Z}$
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = a x^r$, wobei $a, \ r \in \mathbb{R}$ und $D$ die größtmögliche Teilmenge von $\mathbb{R}$, sodass der Term wohldefiniert ist. Größtmöglicher Definitionsbereich $D$ für einige Spezialfälle: $r \in \mathbb{N}$: $D = \mathbb{R}$ $ r \in \mathbb{Q}^+$ (Wurzelfunktionen): $D = \mathbb{R}^+_0$ $r \in \mathbb{Z}^-$ (rationale Funktionen): $D = \mathbb{R} \backslash \{0 \}= \mathbb{R}^*$

Welche der unten aufgeführten Potenzfunktionen $f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ist hier dargestellt? Nr. 5212
	$f(x) = x^2$
	$f(x) = x^3$
	$f(x) =\frac{1}{ x^2}$
	$f(x) =\frac{1}{ x^3}$
	$f(x) =\sqrt[4]{ x}$
Lösungsweg Typen von Potenzfunktion $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^r$ mit $r \in \mathbb{R}$: a) gerade Hochzahl $( r \in \mathbb{N}_g )$: Funktion ist symmetrisch um y-Achse (in blau) b) ungerade Hochzahl $( r \in \mathbb{N}_u )$: Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (in rot) c) Rationale Funktionen mit gerader Hochzahl $( r \in \mathbb{Z}^-_g )$ (in blau) d) Rationale Funktionen mit ungerader Hochzahl $( r \in \mathbb{Z}^-_u )$ (in rot) e) Wurzelfunktion $( r \in \mathbb{Q}^+ \backslash \mathbb{Z})$

Welche der unten aufgeführten Potenzfunktionen $f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ist hier dargestellt? Nr. 5213
	$f(x) = x^4$
	$f(x) = x^3$
	$f(x) =\frac{1}{ x^2}$
	$f(x) =\frac{1}{ x^7}$
	$f(x) =\sqrt[3]{ x}$
Lösungsweg Typen von Potenzfunktion $f: \ D \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^r$ mit $r \in \mathbb{R}$: a) gerade Hochzahl $( r \in \mathbb{N}_g )$: Funktion ist symmetrisch um y-Achse (in blau) b) ungerade Hochzahl $( r \in \mathbb{N}_u )$: Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (in rot) c) Rationale Funktionen mit gerader Hochzahl $( r \in \mathbb{Z}^-_g )$ (in blau) d) Rationale Funktionen mit ungerader Hochzahl $( r \in \mathbb{Z}^-_u )$ (in rot) e) Wurzelfunktion $( r \in \mathbb{Q}^+ \backslash \mathbb{Z})$

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Welche Werte sind Nullstellen der Funktion \(/$ f(x)= x^5\)? Nr. 420
	\(/$ x=0\)
	\(/$ x=1\)
	\(/$ x=\frac 1 5\)
Lösungsweg \(x^5=0\\ x=0\)

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils \(f: \ D \to \mathbb{R}\), wobei \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\). Nr. 5198
	\(f(x) = x^4\)
	\(f(x) = 6 x^{\frac{2}{5}}\)
	\(f(x) = \sqrt{x}\)
	\(f(x) = 3^x\)
	\(f(x) = 5x\)
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form \(f: \ D \to \mathbb{R}\), \(f(x) = a x^r\), wobei \(a, \ r \in \mathbb{R}\) und \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\), sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: \(r=0\): Konstante Funktion \(r = 1\): Identität \(f(x) = x\) \(r \in \mathbb{N}\): Monom \(r = \frac{1}{q}\) mit \( q \in \mathbb{N}\): Wurzelfunktionen \(r < 0\): Spezialfall von rationalen Funktionen

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils \(f: \ D \to \mathbb{R}\), wobei \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\). Nr. 5199
	\(f(x) = 5x^2\)
	\(f(x) = \sqrt[3]{x}\)
	\(f(x) = 5^{2x}\)
	\(f(x) = \frac{1}{x^6}\)
	\(f(x) = \sin(4x)\)
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form \(f: \ D \to \mathbb{R}\), \(f(x) = a x^r\), wobei \(a, \ r \in \mathbb{R}\) und \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\), sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: \(r=0\): Konstante Funktion \(r = 1\): Identität \(f(x) = x\) \(r \in \mathbb{N}\): Monom \(r = \frac{1}{q}\) mit \( q \in \mathbb{N}\): Wurzelfunktionen \(r < 0\): Spezialfall von rationalen Funktionen

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils \(f: \ D \to \mathbb{R}\), wobei \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\). Nr. 5200
	\(f(x) = \frac{3x+5}{4x^2-2x+5}\)
	\(f(x) = 7\)
	\(f(x) = \frac{3}{x^5}\)
	\(f(x) = 0.2x^3\)
	\(f(x) = \sqrt{3x^5 +4x -7}\)
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form \(f: \ D \to \mathbb{R}\), \(f(x) = a x^r\), wobei \(a, \ r \in \mathbb{R}\) und \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\), sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: \(r=0\): Konstante Funktion \(r = 1\): Identität \(f(x) = x\) \(r \in \mathbb{N}\): Monom \(r = \frac{1}{q}\) mit \( q \in \mathbb{N}\): Wurzelfunktionen \(r < 0\): Spezialfall von rationalen Funktionen

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils \(f: \ D \to \mathbb{R}\), wobei \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\). Nr. 5201
	\(f(x) = \cos (x)\)
	\(f(x) = \frac{3}{x^5}\)
	\(f(x) = \sqrt[5]{x^3}\)
	\(f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x - 5}\)
	\(f(x) = \ln (x)\)
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form \(f: \ D \to \mathbb{R}\), \(f(x) = a x^r\), wobei \(a, \ r \in \mathbb{R}\) und \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\), sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: \(r=0\): Konstante Funktion \(r = 1\): Identität \(f(x) = x\) \(r \in \mathbb{N}\): Monom \(r = \frac{1}{q}\) mit \( q \in \mathbb{N}\): Wurzelfunktionen \(r < 0\): Spezialfall von rationalen Funktionen

Welche Werte sind Fixwerte der Funktion \(/$ f(x)=x^2\)? Nr. 381
	x=-1
	x=1
	x=0
	x=10
Lösungsweg \(x=x^2 \text{ wenn}\\ x=1 \text{ oder } x=0\)

Welche der folgenden Funktionen sind Potenzfunktionen? Es gelte jeweils \(f: \ D \to \mathbb{R}\), wobei \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\). Nr. 5202
	\(f(x) = 5\)
	\(f(x) = e^x\)
	\(f(x) = 3x^5\)
	\(f(x) = 4x^2 + 5x -6\)
	\(f(x) = \frac{3x^2 + 4x -5}{4x -7}\)
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form \(f: \ D \to \mathbb{R}\), \(f(x) = a x^r\), wobei \(a, \ r \in \mathbb{R}\) und \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\), sodass der Term wohldefiniert ist. Spezialfälle: \(r=0\): Konstante Funktion \(r = 1\): Identität \(f(x) = x\) \(r \in \mathbb{N}\): Monom \(r = \frac{1}{q}\) mit \( q \in \mathbb{N}\): Wurzelfunktionen \(r < 0\): Spezialfall von rationalen Funktionen

Was ist der größtmögliche Definitionsbereich \(D \subset \mathbb{R}\) der Potenzfunktion \(f: \ D \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^{\frac{p}{q}}\) mit \( p, \ q \in \mathbb{N^*}\) ? Nr. 5203
	\(D = \mathbb{R}\)
	\(D = \mathbb{R}^+\)
	\(D = \mathbb{R}^+_0\)
	\(D = \mathbb{R}^*\)
	\(D = \mathbb{N}\)
Lösungsweg Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form \(f: \ D \to \mathbb{R}\), \(f(x) = a x^r\), wobei \(a, \ r \in \mathbb{R}\) und \(D\) die größtmögliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\), sodass der Term wohldefiniert ist. Größtmöglicher Definitionsbereich \(D\) für einige Spezialfälle: \(r \in \mathbb{N}\): \(D = \mathbb{R}\) \( r \in \mathbb{Q}^+\) (Wurzelfunktionen): \(D = \mathbb{R}^+_0\) \(r \in \mathbb{Z}^-\) (rationale Funktionen): \(D = \mathbb{R} \backslash \{0 \}= \mathbb{R}^*\) Hier: \(f(x) = x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}\), Für Wurzelfunktionen ist der größtmögliche Definitionsbereich \(D = \mathbb{R}^+_0\).

Welche der unten aufgeführten Potenzfunktionen \(f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) ist hier dargestellt? Nr. 5212
	\(f(x) = x^2\)
	\(f(x) = x^3\)
	\(f(x) =\frac{1}{ x^2}\)
	\(f(x) =\frac{1}{ x^3}\)
	\(f(x) =\sqrt[4]{ x}\)
Lösungsweg Typen von Potenzfunktion \(f: \ D \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^r\) mit \(r \in \mathbb{R}\): a) gerade Hochzahl \(( r \in \mathbb{N}_g )\): Funktion ist symmetrisch um y-Achse (in blau) b) ungerade Hochzahl \(( r \in \mathbb{N}_u )\): Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (in rot) c) Rationale Funktionen mit gerader Hochzahl \(( r \in \mathbb{Z}^-_g )\) (in blau) d) Rationale Funktionen mit ungerader Hochzahl \(( r \in \mathbb{Z}^-_u )\) (in rot) e) Wurzelfunktion \(( r \in \mathbb{Q}^+ \backslash \mathbb{Z})\)

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