Fragenliste von Exponentialgleichungen

Die Gleichung \[ 3^x=7 \] ist erfüllt, falls: Nr. 113
	\(x=\log_3 7\)
	\(x=\log_7 3\)
	\(x=\frac{\ln 7}{\ln 3}\)

Die Gleichung \[ 4^{x+2}=9 \] ist erfüllt, falls: Nr. 114
	\(x=\log_4 9-2\)
	\(x=\log_9 4-2\)
	\(x=\frac{\log 9-2}{\log 4}\)

Die Gleichung \[ 4^x=8^{x+4} \] ist erfüllt, falls: Nr. 115
	\(x=-12\)
	\(x=-4-\frac{4}{\log_4 2}\)
	\(x=-4\ln 2-\frac{4\ln 4}{\ln 2}\)

Die Gleichung \[ 2y=2^x \] ist erfüllt, falls: Nr. 116
	\(x=\log _2(2y)\)
	\(x=\log_2 y\)
	\(x=1+\log_2 y\)

Die Gleichung \[ 2^{x-1}=5^{2x+1} \] ist erfüllt, falls: Nr. 117
	\(x=\frac{\ln 2+\ln 5}{\ln 2-2\ln 5}\)
	\(x=\frac{1+\log_2 5}{1-2\log_2 5}\)
	\(x=1-\frac{\ln 5}{2\ln 5}\)

Lösen Sie die Gleichung nach \(\tau\) auf! \(u_{c}(t)=U_{0}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}\) Nr. 1370
	\(\tau=ln\left (1-\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )\)
	\(\tau= \frac{t}{ln\left (\frac{U_{0}}{u_{c}(t)}\right ) \)
	\(\tau=\frac{t}{ln\left (\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )\)
	\(\tau=\frac{t}{ln\left (1+\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )\)
	\(\tau= 1-\frac{u_{c}(t)}{U_{o}\)
Lösungsweg \(u_{c}(t)=U_{0}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}\) \(\ln u_{c}=\ln(U_{0}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}})\) \(\ln u_{c}=\ln(U_{0})+\ln( e^{-\frac{t}{\tau}})\) \(\ln u_{c}-\ln(U_{0})=-\frac{t}{\tau}\) \(\frac{t}{-\ln u_{c}+\ln U_{0}}=\tau\) \(\frac{t}{\ln \frac{U_0}{u_{c}(t)}}=\tau\)

Lösen Sie die Gleichung \(u(t)=U_0 (1-e^{-\frac{t}{\tau}})\) nach \(\tau \) auf! Nr. 1371
	\(\tau=ln\left (1-\frac{u_{c}(t)}{U_{o}}\right )\)
	\(\tau= 1-\frac{u_{c}(t)}{U_{o}}\)
	\(\tau=\frac{t}{ln\left (\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )\)
	\(\tau= -\frac{t}{ln\left (1-\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )\)
	\(\tau=\frac{t}{ln\left (\frac{U_{0}(t)}{u_{c}}\right )\)
Lösungsweg \(u(t)=U (1-e^{-\frac{t}{\tau}})\) \(1-\frac{u(t)}{U}=e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(\ln (1-\frac{u(t)}{U})=\ln(e^{-\frac{t}{\tau}})\) \(\ln (1-\frac{u(t)}{U})=-\frac{t}{\tau}\) \(-\frac{t}{\ln (1-\frac{u(t)}{U})}=\tau\)

Berechnen Sie \(L_{T}\)! \(10^{\frac{L_{T}-L}{10}}=\frac{A}{10}\) Nr. 1372
	\(L_{T}=10\left (lgA-1\right)+L \)
	\(L_{T}=10L\left (lgA+1\right)\)
	\(L_{T}=lg\frac{AL}{10}\)
	\(L_{T}=ln\frac{AL}{10}\)
	\(L_{T}=\frac{lgA-1}{10 L}\)
Lösungsweg \(10^{\frac{L_{T}-L}{10}}=\frac{A}{10}\) \(\frac{L_{T}-L}{10}=\lg\frac{A}{10}\) \(L_{T}-L=10\cdot (\lg A- \lg 10)\) \(L_{T}=10\cdot (\lg A -1) +L\)

Berechnen Sie k! \(T\cdot V^{k-1}=C\) Nr. 1373
	\(k= \frac{ln\frac{C}{T}}{lnV}\)
	\(k= \frac{lg\frac{C}{T}}{lgV}\)
	\(k= \frac{lg\frac{C}{T}}{lgV}-1\)
	\(k= \frac{lg\frac{C}{T}}{lgV}+1\)
	\(k= \frac{ln\frac{C}{T}}{lnV}+1 \)
Lösungsweg \(T\cdot V^{k-1}=C\) \(V^{k-1}=\frac{C}{T}\) \(\log_V V^{k-1}= \log_V \frac{C}{T}\) \(k-1= \frac{\ln \frac{C}{T}}{\ln V}\) \(k= \frac{\ln \frac{C}{T}}{\ln V}+1\)

Berechnen Sie t! \(R=e^{-(\frac{t}{T})^b}\) Nr. 1375
	\(R=e{-(\frac{t}{T})^b}\)
	\(t=\left [ln(\frac{1}{R})\right]^{\frac{1}{b}\)
	\(t= T\cdot\left [ln(\frac{1}{R})\right]^{\frac{1}{b}\)
	\(t=\left [ln(\frac{1}{R})\right]^{\frac{1}{b}-T\)
	\(t=R\cdot\left [ln(\frac{1}{T})\right]^{\frac{1}{b}\)
Lösungsweg \(R=e^{-(\frac{t}{T})^b}\) \(\ln R=\ln (e^{-(\frac{t}{T})^b})\) \(\ln R=-\frac{t^b}{T^b}\) \(\sqrt[b]{-\ln R\cdot T^b}=t\) \(\sqrt[b]{\ln \frac{1}{R}}\cdot T}=t\)

Lösen Sie für s! \(v^2=\frac{m\cdot g}{k} \cdot \left(1-e^{-\frac{2k}{m} \cdot s} \right)\) Nr. 1376
	\(s=\frac{2k}{m} \cdot ln \left(1-\frac{v^2\cdot k}{ m \cdot g} \right)\)
	\(s=\frac{m}{2k} \cdot ln\left(1-\frac{v^2 \cdot k}{m \cdot g} \right)\)
	\(s=-\frac{2k}{m} \cdot ln\left(1-\frac{v^2 \cdot k}{m \cdot g} \right)\)
	\(s=-\frac{m}{2k} \cdot ln\left(1-\frac{v^2 \cdot k}{m \cdot g} \right)\)
	\(s= \frac{ln \cdot2k}{m}\left(1-\frac{v^2 \cdot k}{m \cdot g} \right)\)
Lösungsweg \(v^2=\frac{m\cdot g}{k} \cdot \left(1-e^{-\frac{2k}{m} \cdot s} \right)\) \(1-\frac{v^2 \cdot k}{m\cdot g}=e^{-\frac{2k}{m} \cdot s} \) \(\ln(1-\frac{v^2 \cdot k}{m\cdot g})=\ln(e^{-\frac{2k}{m} \cdot s} )\) \(\ln(1-\frac{v^2 \cdot k}{m\cdot g})=-\frac{2k}{m} \cdot s\) \(-\frac{m}{2k} \cdot\ln(1-\frac{v^2 \cdot k}{m\cdot g})= s\)

Lösen Sie für k! \(\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{k-1}\) Nr. 1377
	\(k=\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)+1\)
	\(k=\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)}+1 \)
	\(k=1+\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) \)
	\(k=1-\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)\)
	\(k=ln\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)\)
Lösungsweg \(\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{k-1}\) \(\log_{\frac{V_2}{V_1}}\frac{T_{1}}{T_{2}}=\log_{\frac{V_2}{V_1}}\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{k-1}\) \(\frac{\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}}{\ln\frac{V_2}{V_1}}}=k-1\) \(\frac{\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}}{\ln\frac{V_2}{V_1}}}+1=k\)

Lösen Sie nach k auf! \(\frac{p_{2}}{p_{1}}=\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{\frac{k}{k-1}}\) Nr. 1378
	\(k= \frac{ln \left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)}\)
	\(k=\frac{k}{k-1}\cdot\frac{ln \left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\lef(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)\)
	\(k= \frac{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\left(\frac{p_{2}\cdot T_{1}}{p_{1}\cdot T_{2}}\right) \)
	\(k=\frac{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)-ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)}\)
	\(k=\frac{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)\cdot ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)} \)
Lösungsweg \(\frac{p_{2}}{p_{1}}=\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{\frac{k}{k-1}}\) \(\log_{\frac{T_{2}}{T_{1}}}\frac{p_{2}}{p_{1}}=\log_{\frac{T_{2}}{T_{1}}}\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{\frac{k}{k-1}}\) \(\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}=\frac{k}{k-1}\) \(\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}\cdot (k-1)=k\) \(\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}\cdot k - \frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}-k=0\) \(k\cdot \left( \frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}} - 1 \right) =\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}\) \(k=\frac{\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}{\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}} - 1 }\) \(k=\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}\cdot \frac{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}-\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}\) \(k=\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}-\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}\) \(k=\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln(\frac{p_{2}}{p_{1}}\cdot \frac{T_{1}}{T_{2}})}\)

Lösen Sie die Gleichung für \(E_{F}\) \(f=\frac{A}{e^{\frac{E_{0}-E_{F}}{kT}}-1\) Nr. 1379
	\(E_{F}=ln\left(\frac{A}{f}+1\right)\)
	\(E_{F}=k\cdot T \cdot ln \left(\frac{A}{f}+1\right)\)
	\(E_{F}=E_{0}-k\cdot T\cdot ln\left(\frac{A}{f}+1\right)\)
	\(E_{F}= k- E_{0} \cdot T\cdot ln\left(\frac{A}{f}+1\right)\)
	\(E_{F}= E_{0}-k\cdot T\cdot ln\left(\frac{A}{f}-1\right)\)
Lösungsweg \(f=\frac{A}{e^{\frac{E_{0}-E_{F}}{kT}}-1\) \(e^{\frac{E_{0}-E_{F}}{kT}}=\frac{A}{f}+1\) \(\ln e^{\frac{E_{0}-E_{F}}{kT}}=\ln\frac{A}{f}+1\) \(-E_{F}=\ln(\frac{A}{f}+1)\cdot kT-E_0\) \(E_{F}=E_0-\ln(\frac{A}{f}+1)\cdot kT\)

Lösen Sie die Gleichung \(e\cdot x^x=e^{2x+1} \) nach x auf. Nr. 1380
	\(x=\ln 2\)
	\(x=\ln (e+1)\)
	\(x=\ln (e^2)\)
	\(x=e^{\ln 2}\)
	\(x=e ^2\)
Lösungsweg \(e\cdot x^x=e^{2x+1} \) \(\ln (e\cdot x^x)=\ln e^{2x+1} \) \(1+\ln x^x=2x+1\) \(1+x\ln x=2x+1\) \(\ln x=2\) \(e^{\ln x}=e^2\) \(x=e^2\)

Berechnen Sie x für: \(x^{lnx}=e\) Nr. 1382
	\(x= e \)
	\(x=e^2\)
	\(x= \sqrt{e}\)
	\(x=\frac{1}{e} \)
	\(x= ln\cdot e^2\)
Lösungsweg \(x^{\ln x}=e\) \(\ln (x^{\ln x})=\ln e\) \(\ln x \cdot \ln x=1\) \(\ln x=\pm 1\) \(x_1=e, x_2=\frac{1}{e}\)

Berechnen Sie x für: \(e^4\cdot x^{lnx}=x^4\) Nr. 1384
	\(x=2\)
	\(x=e ^2\)
	\(x=\frac{1}{2}\)
	\(x=\frac{e}{2}\)
	\(x=\sqrt{4}\)
Lösungsweg \(e^4\cdot x^{\ln x}=x^4\) \(\ln (e^4\cdot x^{\ln x})=\ln x^4\) \(\ln e^4+\ln x^{\ln x}=\ln x^4\) \(4+\ln x\cdot \ln x}=4\ln x\) \(\ln x\cdot \ln x-4\ln x+4=0\) \(u^2-4u+4=0,\ln x=u\) \(u_{1,2}=2\pm \sqrt{4-4}=2\) \(\ln x=2\) \(x=e^2\)

Es gilt \(5^{x-1}=7\). Berechnen Sie x. Nr. 1385
	\(x=\frac{\ln5}{\ln7}-1 \)
	\(x=\frac{\ln7}{\ln5}+1 \)
	\(x=\frac{1}{\ln5}\cdot \ln35\)
	\(x=\ln35-1\)
	\(x=\log35-1\)
Lösungsweg \(5^{x-1}=7\) \(\ln 5^{x-1}=\ln 7\) \((x-1) \ln 5=\ln 7\) \(x=\frac{\ln 7}{\ln 5}+1\)

Berechnen Sie x für: \(x^{lgx}=10\) Nr. 1386
	\(x=10 \)
	\(x= lg10\)
	\(x=\frac{1}{10}\)
	\(x=\frac{1}{lg10}\)
	\(x=\frac{10}{lg1}\)
Lösungsweg \(x^{\lg x}=10\) \(\lg x^{\lg x}=\lg 10\) \(\lg x \cdot \lg x=1\) \(\lg x=\pm 1\) \(x_1=10,x_2=\frac{1}{10}\)

Berechnen Sie x: \( x^{lgx}=\frac{x^3}{100}\) Nr. 1388
	\(x=2\)
	\(x=3\)
	\(x=10\)
	\(x=100\)
	\(x=\frac{3}{2}\)
Lösungsweg \( x^{\lg x}=\frac{x^3}{100}\) \( 100\cdot x^{\lg x}=x^3\) \(\lg( 100\cdot x^{\lg x})=\lg x^3\) \(\lg 100+ \lg x^{\lg x}=3\lg x\) \(2+ \lg x\cdot \lg x-3\lg x=0\) \(u^2-3u+2=0,\lg x=u\) \(u_{1,2}=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}=\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\) \(\lg x_{1,2}=\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\) \(x_1=10^2,x_2=10^1\)

Berechnen Sie x: \(\left(x^{lgx}\right)=\frac{x^3}{100}\) Nr. 1389
	\(x=0\)
	\(x=\sqrt{100}\)
	\(x=\sqrt[3]{100}\)
	\(x= 10\)
	\(x=100\)
Lösungsweg \(x^{\lg x}=\frac{x^3}{100}\) \(100\cdot x^{\lg x}=x^3\) \(\lg(100\cdot x^{\lg x})=\lg x^3\) \(\lg100 + \lg x^{\lg x}=3\lg x\) \(2 + \lg x\cdot \lg x-3\lg x=0\) \(u^2-3u+2=0,\lg x=u\) \(u_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}\) \(\lg x_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}\) \(x_1=100,x_2=10\)

Berechnen Sie x: \(2^{3x+2}+4\cdot 5^{2x-1}=3\cdot 8^{x+1}\) Nr. 1392
	\(x=\frac{ln 25}{ln \frac{25}{8}}\)
	\(x=31ln2-2ln5\)
	\(x=\frac{1}{2ln5}\)
	\(x=2,825 \)
	\(x=8539,252\)
Lösungsweg \(2^{3x+2}+4\cdot 5^{2x-1}=3\cdot 8^{x+1}\) \(8^x\cdot 2^2+\frac{4}{5}\cdot 25^x=3\cdot 8^x\cdot 8\) \(\frac{4}{5}\cdot 25^x=8^x\cdot(24-4)\) \(\ln\frac{4}{5}\cdot 25^x=\ln20\cdot 8^x\) \(\ln\frac{4}{5}+\ln 25^x=\ln20+\ln 8^x\) \(\ln\frac{4}{5}+x\ln 25=\ln20+x\ln 8\) \(x(\ln 25-\ln 8)=\ln20-\ln\frac{4}{5}\) \(x=\frac{\ln20\cdot \frac{5}{4}}{\ln \frac{25}{8}}\) \(x=\frac{\ln 25}{\ln \frac{25}{8}}\)

Lösen Sie die Gleichung \(13^{3x+2}-12^{2x+1}=13^{3x-2}-12^{2x-1} \) nach x auf. Nr. 1393
	\(x=0,924\)
	\(x=0,973\)
	\(x=-0,310\)
	\(x=-3,14\)
	\(x=-0,973\)
Lösungsweg \(13^{3x+2}-12^{2x+1}=13^{3x-2}-12^{2x-1} \) \(13^{3x}\cdot 13^2-13^{3x}\cdot 13^{-2}=12^{2x}\cdot 12-12^{2x}\cdot 12^{-1}\) \(13^{3x}\cdot (13^2-13^{-2})=12^{2x}\cdot (12-12^{-1})\) \(\ln(13^{3x}\cdot (13^2-13^{-2}))=\ln(12^{2x}\cdot (12-12^{-1}))\) \(\ln13^{3x}+\ln(13^2-13^{-2})=\ln12^{2x}+\ln(12-12^{-1})\) \(3x\ln13-2x\ln12=\ln(12-12^{-1})-\ln(13^2-13^{-2})\) \(x=\frac{\ln(12-12^{-1})-\ln(13^2-13^{-2})}{3\ln13-2\ln12}\approx -0,973\)

Berechnen Sie x: \(6^{x+3}-5\cdot 6^{x+1}=4\cdot 9^{2x+5}\) Nr. 1394
	\(x=-2,746\)
	\(x=-2,764\)
	\(x=-2,475\)
	\(x=-2,674\)
	\(x=2,764\)
Lösungsweg \(6^{x+3}-5\cdot 6^{x+1}=4\cdot 9^{2x+5}\) \(6^x\cdot 6^3-5\cdot 6\cdot 6^x=4\cdot 81^x\cdot 9^5\) \(6^x\cdot (6^3-5\cdot 6)=81^x\cdot 9^5\cdot 4\) \(\ln(6^x\cdot (6^3-5\cdot 6)=\ln(81^x\cdot 9^5\cdot 4)\) \(\ln6^x+\ln(6^3-5\cdot 6)=\ln81^x+\ln( 9^5\cdot 4)\) \(x\ln6-x\ln81=\ln( 9^5\cdot 4)-\ln(6^3-5\cdot 6)\) \(x=\frac{\ln( 9^5\cdot 4)-\ln(6^3-5\cdot 6)}{\ln6-\ln81}\approx -2,746\)

Lösen Sie die Gleichung \(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) nach x auf. Nr. 1395
	\(x=ln\left(y+\sqrt{1} \right)\)
	\(x=ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\)
	\(x=ln\left(y+\sqrt{y^2+ln1}\ \right)\)
	\(x=ln\left(y-\sqrt{y^2+ln1}\\right)\)
	\(x=ln\left(y-\sqrt{y^2+1}\\right)\)
Lösungsweg \(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) \(2y=e^x-e^{-x}\) \(2ye^x=e^{2x}-1\) \((e^x)^2-2ye^x-1=0\) \(e^x_{1,2}=y\pm\sqrt{y^2+1}\) \(x_{1,2}=\ln(y\pm\sqrt{y^2+1})\)

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