Fragenliste von Absolutbetrag

Die Gleichung \[ \\| 3x-5\\| +2x=10 \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 81
	\(L=\{-5,3\}\)
	\(L=[5,3]\)
	\(L=\{-5\}\)
	\(L=\lbrace 3 \rbrace\)
Lösungsweg \(\|3x-5\|=10-2x\) 1. Fall \(3x-5 \geq 0\), dh. \(x \geq \frac{5}{3}\) \(3x-5=10-2x \\ 5x=15 \\ x=3\) 2.Fall \(3x-5<0\), dh. \(x < \frac{5}{3}\) \(3x-5=-10+2x \\ x=-5\) \(\mathbb{L}=\{-5,3\}\)

Die Gleichung \[ 2x-\\| 3-x\\| =18 \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 82
	\(L=\{7,15\}\)
	\(L=\{7\}\)
	\(L=\{15\}\)
Lösungsweg \(\|3-x\|=2x-18\) 1.Fall 3-x>0 \(3-x=2x-18\\ 3x=21 \\ x=7 \) aber Bedingung x< 3 nicht erfüllt 2.Fall 3-x<0 \(3-x=-2x+18\\ x=15\) \(\mathbb{L}=\{15\}\)

Die Gleichung \[ 2x+\\| 2x+4\\| =-4 \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 83
	\(L=\{-2\}\)
	\(L=\{-4,-2\}\)
	\(L=(-\infty,-2]\)
	\(L = \mathbb{R}\)
Lösungsweg \(\|2x+4\|=-4-2x\) \(\text{1. Fall } 2x+4 \geq 0 \), dh. \(x \geq -2\) \(2x+4=-4-2x \\ 4x= -8 \\ x= -2\) \(\text{2. Fall } 2x+4 < 0 \), dh. \(x < -2\) \(2x+4=4+2x \\ x= \mathbb{R} \) \(2x+4<0 \Rightarrow x<-2\) \(\mathbb{L}=(-\infty,-2]\)

Die Gleichung \[ 5\\| x-3\\| +3x=-1 \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 84
	\(L=\{\frac{7}{4},8\}\)
	\(L=\mathbb{R}\)
	\(L=\emptyset\)
Lösungsweg \(\|x-3\|=\frac{-1-3x}{5}\) \(\text{1. Fall } x-3\geq0\), dh. \(x \geq 3\) \(x-3=\frac{-1-3x}{5}\\ 5x-15=-1-3x\\ 8x=14\\ x=\frac 74\) \(\text{aber Widerspruch zur Annahme } \frac 74-3<0\) \(\text{2. Fall } x-3<0\) \(x-3= \frac {1+3}5\\ 5x-15=1+3x\\ 2x=16\\ x=8 \) \(\text{ Aber Widerspruch zur Annahme } 8-3>0\) \(\mathbb{L}=\empty\)

Die Gleichung \[ \frac{8x+12}{\\| 2x+10\\|}=2 \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 85
	\(L=\{-\frac{8}{3},2\}\)
	\(L=\{2\}\)
	\(L=\{-\frac{8}{3}\}\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \[ \frac{8x+12}{\\| 2x+10\\|}=2 \] Fall 1: \(2x + 10 \geq 0\), dh. \(x \geq -5\) Zugehörige Gleichung: \( \frac{8x+12}{ 2x+10}=2 \ \Leftrightarrow \ 8x + 12 = 4x + 20 \ \Leftrightarrow \ 4x = 8 \ \Leftrightarrow \ x = 2\) Fall 2: \(2x + 10 < 0\) , dh. \(x < -5\) Zugehörige Gleichung: \( \frac{8x+12}{- 2x-10}=2 \ \Leftrightarrow \ 8x + 12 = -4x - 20 \ \Leftrightarrow \ 12x = -32 \ \Leftrightarrow \ x = - \frac{8}{3}\), aber Voraussetzung nicht erfüllt. Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L=\lbrace 2 \rbrace\)

Die Gleichung \[ \frac{x-1}{x-4}=\frac{\\| x-5\\|}{x-8} \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 86
	\(L=\emptyset\)
	\(L=\{2,7\}\)
	\(L=\{2\}\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \[ \frac{x-1}{x-4}=\frac{\\| x-5\\|}{x-8} \] Fall 1: \(x-5 \geq 0\), (dh. \(x \geq 5\)) Zugehörige Gleichung: \[ \frac{x-1}{x-4}=\frac{x-5}{x-8} \ \Leftrightarrow \ (x-1)(x-8)=(x-5)(x-4) \] \( \Leftrightarrow \ x^2 -9x + 8=x^2-9x + 20 \ \Leftrightarrow \ 8 = 20, \ f. A.\) Fall 2: \(x-5 < 0\), (dh. \(x < 5\)) Zugehörige Gleichung: \[ \frac{x-1}{x-4}=\frac{-(x-5)}{x-8} \ \Leftrightarrow \ (x-1)(x-8)=-(x-5)(x-4) \] \( \Leftrightarrow \ x^2 -9x + 8=-x^2 +9 x - 20 \ \Leftrightarrow \ 2x^2 - 18x +28 = 0, \ \Leftrightarrow \ x^2 - 9x + 14 = 0\) Lösung mit kleiner Lösungsformel für quadratische Gleichungen: \(x = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - 14} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81 - 56}{4}} = \frac{9 \pm 5}{2} \) \(x_1 = 2, \ x_ 2 = 7\), allerdings erfüllt nur \(x_1 = 2\) die Bedingung \(x < 5\). Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L= \{ 2 \}\)

Die Gleichung \[ \\| 2x+8\\| +6=\\| 2x-6\\| \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 87
	\(L=\emptyset\)
	\(L=\mathbb{R}\)
	\(L=\{-2\}\)
	\(L=\{1\}\)
	\(L=\{-2, \ 1\}\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \[ \\| 2x+8\\| +6=\\| 2x-6\\| \] Fall 1: \(2x +8 \geq 0\), (dh. \(x \geq -4\)) und \(2x -6 \geq 0\) (dh. \(x \geq 3\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x \geq 3\). Zugehörige Gleichung: \(2x+8 +6= 2x-6 \Leftrightarrow \ 14 = -6 \ f. A.\) Fall 2: \(2x +8 < 0\), (dh. \(x < -4\)) und \(2x -6 < 0\) (dh. \(x < 3\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x < -4\). Zugehörige Gleichung: \(-2x-8 +6= -2x+6 \Leftrightarrow \ -8= 0, \ f. A.\) Fall 3: \(2x +8 \geq 0\), (dh. \(x \geq -4\)) und \(2x -6 < 0\) (dh. \(x < 3\)) Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn \(-4 \leq x < 3\). Zugehörige Gleichung: \(2x+8 +6= -2x+6 \Leftrightarrow \ 4x = -8 \ \Leftrightarrow \ x = - 2\) Fall 4: \(2x +8 < 0\), (dh. \(x < -4\)) und \(2x -6 \geq 0\) (dh. \(x \geq 3\)) Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt, daher muss die zugehörige Gleichung nicht betrachtet werden. Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L=\{-2\}\)

Die Gleichung \[ \\| x-3\\| -\\| x-5\\| =2 \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 88
	\(L=[5,\infty)\)
	\(L=\mathbb{R}\)
	\(L=\{5\}\)
	\(L=(5,\infty)\)
	\(L=\{3, \ 5\}\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \[ \\| x-3\\| -\\| x-5\\| =2 \] Fall 1: \(x-3 \geq 0\), (dh. \(x \geq 3\)) und \(x-5 \geq 0\) (dh. \(x \geq 5\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x \geq 5\). Zugehörige Gleichung: \(x-3 -( x-5) =2 \Leftrightarrow \ 2= 2 \ w. A.\) Dh. \(x \geq 5\) löst die Betragsungleichung. Fall 2: \(x-3 < 0\), (dh. \(x < 3\)) und \(x-5 < 0\) (dh. \(x < 5\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x < 3\). Zugehörige Gleichung: \(-x +3 + x-5 =2 \Leftrightarrow \ -2= 2, \ f. A.\) Fall 3: \(x-3 \geq 0\), (dh. \(x \geq 3\)) und \(x-5 \leq 0\) (dh. \(x \leq 5\)) Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn \(3 \leq x < 5\). Zugehörige Gleichung: \(x -3 + x-5 =2 \Leftrightarrow \ 2x= 10 \ \Leftrightarrow \ x = 5\) Fall 4: \(x-3 < 0\), (dh. \(x < 3\)) und \(x-5 \geq 0\) (dh. \(x \geq 5\)) Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt, daher muss die zugehörige Gleichung nicht betrachtet werden. Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L= [5, \infty )\)

Die Gleichung \[ \\| x-1\\| +\\| x+5\\| =6 \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 89
	\(L=[-5,1]\)
	\(L=[-5,1)\)
	\(L=\{-5,1\}\)
	\(L=(-5,1]\)
	\(L=\{-5\}\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \[ \\| x-1\\| +\\| x+5\\| =6 \] Fall 1: \(x-1 \geq 0\), (dh. \(x \geq 1\)) und \(x+5 \geq 0\) (dh. \(x \geq -5\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x \geq 1\). Zugehörige Gleichung: \( x-1 + x+5 =6 \ \Leftrightarrow \ 2x= 2 \ \Leftrightarrow x = 1\) Fall 2: \(x-1 \leq 0\), (dh. \(x \leq 1\)) und \(x+5 \leq 0\) (dh. \(x \leq -5\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x \leq -5\). Zugehörige Gleichung: \(-x+1- x-5 =6 \ \Leftrightarrow \ -2x = 10 \ \Leftrightarrow \ x = - 5\) Fall 3: \(x-1 \geq 0\), (dh. \(x \geq 1\)) und \(x+5 \leq 0\) (dh. \(x \leq -5\)) Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt, daher muss die zugehörige Gleichung nicht betrachtet werden. Fall 4: \(x-1 \leq 0\), (dh. \(x \leq 1\)) und \(x+5 \geq 0\) (dh. \(x \geq -5\)) Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn \(-5 \leq x \leq 1\). Zugehörige Gleichung: \(- x+1 + x+5 =6 \Leftrightarrow \ 6= 6, \ w. A.\) Daher lösen alle \(x\) mit \(-5 \leq x \leq 1\) die Betragsungleichung. Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L= [-5, \ 1]\)

Die Gleichung \[ \left\|\\| 2x-8\\| -3x\\| =4 \] besitzt die Lösungsmenge: Nr. 90
	\(L=\{-12,-4,\frac{4}{5},\frac{12}{5}\}\)
	\(L=\{\frac{4}{5},\frac{12}{5}\}\)
	\(L=\{-12,-4\}\)
	\(L=\emptyset\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \[ \left\|\\| 2x-8\\| -3x\\| =4 \] Fall 1: \(2x - 8 \geq 0\), (dh. \(x \geq 4\)) \[ \| 2x -8 -3x \| =4 \\ \|-x - 8 \|= 4 \\ \| x + 8\| = 4 \] Fall 1a: zusätzlich \(x+8 \geq 0\) (dh. \(x \geq -8\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x \geq 4\). Zugehörige Gleichung: \(x + 8= 4, \ \Leftrightarrow x = - 4\), im Widerspruch zur Voraussetzung. Fall 1b: zusätzlich \(x+8 < 0\) (dh. \(x < -8\)) Nie gleichzeitig erfüllt mit \(x \geq 4\). Fall 2: \(2x - 8 < 0\), (dh. \(x < 4\)) \[ \| -2x +8 -3x \| =4 \\ \|-5x + 8 \|= 4 \] Fall 2a: zusätzlich \(-5x+8 \geq 0\) (dh. \(x \leq \frac{8}{5}\)) Die stärkere Bedingung ist \(x \leq \frac{8}{5}\). Zugehörige Gleichung: \( -5x +8 =4 \ \Leftrightarrow \ - 5x = -4 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{4}{5} \) Fall 2b: zusätzlich \(-5x+8 < 0\) (dh. \(x > \frac{8}{5}\)) Diese beiden Bedingungen sind erfüllt für \(\frac{8}{5} < x < 4\). Zugehörige Gleichung \( 5x -8 =4 \ \Leftrightarrow \ 5x = 12 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{12}{5} \) Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L= \{ \frac{4}{5} , \ \frac{12}{5} \}\)

Welche der Aussagen ist nicht richtig? Nr. 241
	\({\ \|3\ \| } = 3\)
	\({\ \|4\ \|} = -4\)
	\({\ \|-5\ \| }= 5\)
	\({\ \|0\ \| }= 0\)

Wenn \({\ \| x\ \|} = 4\), dann ist x gleich: Nr. 242
	4 oder -4
	4 oder 0
	-4 oder 0
	2 oder 0

Für jede Zahl a ist richtig: Nr. 246
	\({\ \| a\ \|} > 0\)
	\({\ \| a\ \|}< 0\)
	\({\ \| a\ \|} \geq 0\)
	\({\ \| a\ \|} \leq 0\)

Wenn x eine Zahl ist, bei der gilt \((12 -{\ \|}-3{\ \|}\cdot{\ \|}-(-1){\ \|}) : x = 3 \) und \(y=2\), dann ist der Wert der Gleichung \(3\cdot{\ \|}2\cdot x+y{\ \|} - 4\cdot{\ \|}3\cdot y - 2x{\ \|}\) gleich: Nr. 251
	0
	2
	24
	6

Wie viele Lösungen hat die Ungleichung \(\| 3x \| \leq 0\) ? Nr. 266
	keine
	eine
	zwei
	unendlich viele

Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(\|3x+1\|=3\) ? Nr. 267
	keine
	eine
	zwei
	unendlich viele

Wie viele Lösungen hat die Ungleichung \(\|2x+1\| > 0\) ? Nr. 268
	keine
	eine
	zwei
	unendlich viele

Wie viele Lösungen hat die Ungleichung \(\|3x+2\|< 0\) ? Nr. 269
	keine
	eine
	zwei
	unendlich viele

Wie lautet die Lösungsmenge der Ungleichung \(\|x+1\|\geq 1\) ? Nr. 270
	\(\mathbb{R}\)
	\([-2,0 ]\)
	\(\mathbb{R}\setminus(-2,0)\)
	\((-\infty,-2]\, \cup\, [0, \infty)\)

Wie lautet die Lösungsmenge der Ungleichung \(\|2x+1\|>3\) ? Nr. 271
	\([-2,1]\)
	\(\mathbb{R}\setminus(-2,1)\)
	\(\mathbb{R}\setminus[-2,1]\)
	\((-\infty,-2)\, \cup \, (1, \infty)\)
	\((-\infty,-2]\, \cup \, [1, \infty)\)

Wenn \(\|x-1\|=7\) gilt, welche Werte kann x annehmen? Nr. 329
	8;6
	-8;6
	8;-6
	-8;-6

Welche Werte kann x in der Gleichung \(\|2x+3\|=4\) annehmen? Nr. 330
	\(\frac{1}{2};\frac{7}{2}\)
	\(\frac{1}{2};-\frac{7}{2}\)
	\(-\frac{1}{2};\frac{7}{2}\)
	\(-\frac{1}{2};-\frac{7}{2}\)

Welche Werte kann x in der Gleichung \(\|\frac{4x-1}{3}-x\|=6\) annehmen? Nr. 331
	-19; 17
	-19; -17
	19; -17
	19; 17

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. \(\mid 5x-9\mid=4\) Nr. 1093
	\(1 ; \frac{13}{5}\)
	\(1;-\frac{13}{5}\)
	\(-1;\frac{13}{5}\)
	\(-1;-\frac{13}{5}\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. \(11-\mid 3x+2\mid =0\) Nr. 1094
	\(\frac{13}{3}; 3\)
	\(-\frac{13}{3}; 3\)
	\(\frac{13}{3}; -3\)
	\(-\frac{13}{3}; -3\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: \(\mid 4x+8\mid =0\) Nr. 1095
	\(0\)
	\(1\)
	\(-1\)
	\(2\)
	\(-2\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Betragsgleichung: \(\mid 2x-6\mid = \mid 4-5x\mid\) Nr. 1096
	\(L=\{\frac{2}{2}, \frac{10}{7}}\}\)
	\(L=\{-\frac{2}{3}, \frac{10}{7}}\}\)
	\(L=\{\frac{2}{2}, -\frac{10}{7}\}\)
	\(L=\{-\frac{2}{2}, -\frac{10}{7}\}\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \(\mid 2x-6\mid = \mid 4-5x\mid\) Fall 1: \(2x - 6 > 0\), (dh. \(x> 3\)) und \(4 -5x > 0\) (dh. \(x < \frac{4}{5}\)) Diese beiden Bedingungen können gleichzeitig nie erfüllt sein, daher muss die zugehörige Gleichung (\(2x -6 = 4 -5x \ \Leftrightarrow \ 7x = 10 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{10}{7}\)) nicht betrachtet werden. (Für diesen Lösungsfall gibt es keine Lösung der Betragsungleichung). Fall 2: \(2x - 6 < 0\), (dh. \(x< 3\)) und \(4 -5x < 0\) (dh. \(x > \frac{4}{5}\)) Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn \(\frac{4}{5} < x < 3\). Zugehörige Gleichung (gleich wie in Fall 1)\(-(2x -6) = -(4 -5x) \ \Leftrightarrow \ 7x = 10 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{10}{7}\) Nun erfüllt \(x = \frac{10}{7}\) auch die Bedingung bzgl. der Beträge, daher ist es eine Lösung der Betragsungleichung. Fall 3: \(2x - 6 < 0\), (dh. \(x< 3\)) und \(4 -5x > 0\) (dh. \(x < \frac{4}{5}\)). Hier ist \(x < \frac{4}{5}\) die stärke Bedingung. \(-(2x -6) = 4 -5x \ \Leftrightarrow \ 3x = -2 \ \Leftrightarrow \ x = -\frac{2}{3}\) ist eine Lösung der Betragsungleichung, da auch die Voraussetzung erfüllt ist. Fall 4: \(2x - 6 > 0\), (dh. \(x> 3\)) und \(4 -5x <0\) (dh. \(x > \frac{4}{5}\)). Hier ist \(x> 3\) die stärke Bedingung. Führt auf dieselbe Gleichung wie in Fall 3, hier ist aber die Voraussetzung \(x> 3\) nicht mehr erfüllt. Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L=\{-\frac{2}{3}, \frac{10}{7}}\}\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. \(\mid 3x+7\mid =2\cdot \mid x-6\mid \) Nr. 1097
	\(L=\{19, \ 1 \}\)
	\(L=\{19, \ -1 \}\)
	\(L=\{-19, \ 1 \}\)
	\(L=\{-19, \ -1 \}\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \(\mid 3x+7\mid =2\cdot \mid x-6\mid \) Fall 1: \(3x +7 \geq 0\), (dh. \(x \geq -\frac{7}{3}\)) und \(x-6 \geq 0\) (dh. \(x \geq 6\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x \geq 6\). Zugehörige Gleichung: \( 3x+7 =2x-12 \ \Leftrightarrow \ x = -19 \), aber Voraussetzung nicht erfüllt. Fall 2: \(3x +7 < 0\), (dh. \(x < -\frac{7}{3}\)) und \(x-6 < 0\) (dh. \(x < 6\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x < -\frac{7}{3}\). Zugehörige Gleichung, wie oben: \( 3x+7 =2x-12 \ \Leftrightarrow \ x = -19 \), jetzt Voraussetzung erfüllt. Fall 3: \(3x +7 < 0\), (dh. \(x < -\frac{7}{3}\)) und \(x-6 \geq 0\) (dh. \(x \geq 6\)) Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt. Fall 4:\(3x +7 \geq 0\), (dh. \(x \geq -\frac{7}{3}\)) und \(x-6 < 0\) (dh. \(x < 6\)) Diese beiden Bedingungen sind genau für \(-\frac{7}{3} \leq x < 6\) gleichzeitig erfüllt. Zugehörige Gleichung: \( 3x+7 =-2x+12 \ \Leftrightarrow \ 5x = 5 \Leftrightarrow x = 1\) Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L=\{-19, \ 1 \}\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. \(\frac{\mid x+2\mid }{\mid x+5\mid } =3\) Nr. 1098
	\(L = \{ \frac{17}{4}, \frac{13}{2} \}\)
	\(L = \{ \frac{17}{4}, -\frac{13}{2} \}\)
	\(L = \{ -\frac{17}{4}, \frac{13}{2} \}\)
	\(L = \{ -\frac{17}{4}, -\frac{13}{2} \}\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \(\frac{\mid x+2\mid }{\mid x+5\mid } =3\) Fall 1: \(x +2 \geq 0\), (dh. \(x \geq -2\)) und \(x+5 \geq 0\) (dh. \(x \geq -5\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x \geq -2\). Zugehörige Gleichung: \(\frac{ x+2 }{ x+5 } =3 \ \Leftrightarrow \ x + 2 = 3x + 15 \ \Leftrightarrow \ x = -\frac{13}{2}\), aber Voraussetzung nicht erfüllt. Fall 2: \(x +2 < 0\), (dh. \(x< -2\)) und \(x+5 < 0\) (dh. \(x <-5\)) Die stärkere Bedingung ist also \(x <-5\). Zugehörige Gleichung, wie oben: \(\frac{ x+2 }{ x+5 } =3 \ \Leftrightarrow \ x + 2 = 3x + 15 \ \Leftrightarrow \ x = -\frac{13}{2}\) Fall 3: \(x +2 < 0\), (dh. \(x< -2\)) und \(x+5 \geq 0\) (dh. \(x \geq -5\)) Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn \(-5 \leq x < -2\). Zugehörige Gleichung: \(\frac{ -(x+2) }{ x+5 } =3 \ \Leftrightarrow \ -x - 2 = 3x + 15 \ \Leftrightarrow \ x = -\frac{17}{4}\) Fall 4: \(x + 2 \geq 0\), (dh. \(x \geq -2\)) und \(x +5 <0\) (dh. \(x < -5\)). Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt. Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L=\{-\frac{17}{4}, -\frac{13}{2}}\}\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \(\mid x-3 \mid =7\) Nr. 1791
	\(L=\lbrace -4,10 \rbrace\)
	\(x=10\)
	\(L=\lbrace -10,10 \rbrace\)
	\(L=\lbrace \rbrace\)
	\(L=\lbrace -4 \rbrace\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \(\mid x-3 \mid =7\) Fall 1: \(x- 3 \geq 0\), dh. \(x \geq 3\) Zugehörige Gleichung: \( x-3 =7 \ \Leftrightarrow \ x = 10\) Fall 2: \(x-3 < 0\) , dh. \(x < 3\) Zugehörige Gleichung: \(- x+3 =7 \ \Leftrightarrow x = -4\) Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L=\lbrace -4, \ 10 \rbrace\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \(x-\mid 5+2x \mid =14\) ! Nr. 1808
	\(L=\lbrace -19,3 \rbrace\)
	\(L=\lbrace \rbrace\)
	\(L=\lbrace -19 \rbrace\)
	\(L=\lbrace 3 \rbrace\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) Fall 1: \(5 + 2x \geq 0\), dh. \(x \geq -\frac{5}{2}\) Zugehörige Gleichung: \(x- 5 -2x =14 \ \Leftrightarrow \ x = - 19\), aber Voraussetzung \(x \geq -\frac{5}{2}\) nicht erfüllt. Daher gibt es für diesen Fall keine Lösung. Fall 2: \(5 + 2x < 0\) , dh. \(x < -\frac{5}{2}\) Zugehörige Gleichung: \(x +5+2x =14 \ \Leftrightarrow \ x = 3\), aber dafür Voraussetzung nicht erfüllt. Gesamt hat die Betragsgleichung also die leere Lösungsmenge: \(L=\lbrace \rbrace\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \(\mid x+4 \mid =2x+1\) Nr. 1809
	\(L= \left \lbrace -\frac{5}{3},3 \right \rbrace\)
	\(L=\lbrace 3 \rbrace\)
	\(L=\left \lbrace -\frac{5}{3} \right \rbrace\)
	\(L=\lbrace 0 \rbrace\)
	\(L=\lbrace \rbrace\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \(\mid x+4 \mid =2x+1\) Fall 1: \(x + 4 \geq 0\), dh. \(x \geq -4\) Zugehörige Gleichung: \( x+4 =2x+1 \ \Leftrightarrow \ 3 =x\) Fall 2: \(x+4 < 0\) , dh. \(x < -4\) Zugehörige Gleichung: \( -x-4 =2x+1 \ \Leftrightarrow \ -5 =3x \ \Leftrightarrow \ x = - \frac{5}{3}\), aber dafür Voraussetzung \(x < -4\)nicht erfüllt. Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L=\lbrace 3 \rbrace\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \(- \mid 2+5x \mid =-3\) ! Nr. 1810
	\(L= \left \lbrace \frac{1}{5} \right \rbrace\)
	\(L= \left \lbrace -\frac{1}{5} \right \rbrace\)
	\(L= \left \lbrace -1, \frac{1}{5} \right \rbrace\)
	\(L= \left \lbrace -1, -\frac{1}{5} \right \rbrace\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \(- \mid 2+5x \mid =-3\) Fall 1: \(2 + 5x \geq 0\), dh. \(x \geq -\frac{2}{5}\) Zugehörige Gleichung: \(- 2-5x =-3 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{1}{5}\) Fall 2: \(2 + 5x < 0\) , dh. \(x < -\frac{2}{5}\) Zugehörige Gleichung: \(2+5x =-3 \ \Leftrightarrow \ x = -1\) Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: \(L=\lbrace -1, \ \frac{1}{5} \rbrace\)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \(\mid 5+2x \mid = -3+x\) Nr. 1811
	\(L= \left \lbrace -\frac{2}{3} \right \rbrace\)
	\(L= \left \lbrace -8, -\frac{2}{3} \right \rbrace\)
	\(L= \lbrace -8 \rbrace\)
	\(L= \lbrace \rbrace\)
Lösungsweg Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!): \(\|y\| = y\), für \(y \geq 0\) \(\|y\| = -y\), für \(y < 0\) \(\mid 5+2x \mid = -3+x\) Fall 1: \(5 + 2x \geq 0\), dh. \(x \geq -\frac{5}{2}\) Zugehörige Gleichung: \( 5+2x = -3+x \ \Leftrightarrow \ x = -8\), aber Voraussetzung nicht erfüllt. Fall 2: \(5 + 2x < 0\) , dh. \(x < -\frac{5}{2}\) Zugehörige Gleichung: \(- 5 -2x = -3+x \ \Leftrightarrow \ -2 = 3x \ \Leftrightarrow \ x = -\frac{2}{3}\), aber dafür Voraussetzung nicht erfüllt. Gesamt hat die Betragsgleichung also die leere Lösungsmenge: \(L=\lbrace \rbrace\)

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