$$|3x-5|=10-2x$$

1. Fall $$3x-5\ge 0$$, dh. $$x\ge \frac{5}{3}$$

$$\begin{gathered} 3x-5=10-2x \\ 5x=15 \\ x=3 \end{gathered}$$

2.Fall $$3x-5<0$$, dh. $$x<\frac{5}{3}$$

$$\begin{gathered} 3x-5=-10+2x \\ x=-5 \end{gathered}$$

$$\mathbb{L}=\{-5,3\}$$

$$|3-x|=2x-18$$

1.Fall 3-x>0

$$\begin{gathered} 3-x=2x-18 \\ 3x=21 \\ x=7 \end{gathered}$$

aber  Bedingung x< 3 nicht erfüllt

2.Fall 3-x<0

$$\begin{gathered} 3-x=-2x+18 \\ x=15 \end{gathered}$$

$$\mathbb{L}=\{15\}$$

$$|2x+4|=-4-2x$$

$$\text{1. Fall }2x+4\ge 0$$, dh. $$x\ge -2$$

$$\begin{gathered} 2x+4=-4-2x \\ 4x=-8 \\ x=-2 \end{gathered}$$

$$\text{2. Fall }2x+4<0$$, dh. $$x<-2$$

$$\begin{gathered} 2x+4=4+2x \\ x=\mathbb{R} \end{gathered}$$

$$2x+4<0\Rightarrow x<-2$$

$$\mathbb{L}=(-\mathrm{\infty },-2]$$

$$|x-3|=\frac{-1-3x}{5}$$

$$\text{1. Fall }x-3\ge 0$$, dh. $$x\ge 3$$

$$\begin{gathered} x-3=\frac{-1-3x}{5} \\ 5x-15=-1-3x \\ 8x=14 \\ x=\frac{7}{4} \end{gathered}$$

$$\text{aber Widerspruch zur Annahme }\frac{7}{4}-3<0$$

$$\text{2. Fall }x-3<0$$

$$\begin{gathered} x-3=\frac{1+3}{5} \\ 5x-15=1+3x \\ 2x=16 \\ x=8 \end{gathered}$$

$$\text{ Aber Widerspruch zur Annahme }8-3>0$$

$$\mathbb{L}=\text{empty}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

\[ \frac{8x+12}{\| 2x+10\|}=2 \]

Fall 1: $$2x+10\ge 0$$, dh. $$x\ge -5$$
        Zugehörige Gleichung:

        $$\frac{8x+12}{2x+10}=2\iff 8x+12=4x+20\iff 4x=8\iff x=2$$

Fall 2: $$2x+10<0$$ , dh. $$x<-5$$
        Zugehörige Gleichung:
        $$\frac{8x+12}{-2x-10}=2\iff 8x+12=-4x-20\iff 12x=-32\iff x=-\frac{8}{3}$$,
       aber Voraussetzung nicht erfüllt.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=\{2\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

\[ \frac{x-1}{x-4}=\frac{\| x-5\|}{x-8} \]

Fall 1: $$x-5\ge 0$$, (dh. $$x\ge 5$$)

        Zugehörige Gleichung:      

        \[ \frac{x-1}{x-4}=\frac{x-5}{x-8} \ \Leftrightarrow \ (x-1)(x-8)=(x-5)(x-4) \]

       $$\iff x^2-9x+8=x^2-9x+20\iff 8=20,f.A.$$

Fall 2: $$x-5<0$$, (dh. $$x<5$$)

        Zugehörige Gleichung:

        \[ \frac{x-1}{x-4}=\frac{-(x-5)}{x-8} \ \Leftrightarrow \ (x-1)(x-8)=-(x-5)(x-4) \]

       $$\iff x^2-9x+8=-x^2+9x-20\iff 2x^2-18x+28=0,\iff x^2-9x+14=0$$

      Lösung mit kleiner Lösungsformel für quadratische Gleichungen:

      $$x=\frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{81}{4}-14}=\frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{81-56}{4}}=\frac{9\pm 5}{2}$$

     $$x_1=2,x_2=7$$, allerdings erfüllt nur $$x_1=2$$ die Bedingung $$x<5$$.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=\{2\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

\[ \| 2x+8\| +6=\| 2x-6\| \]

Fall 1: $$2x+8\ge 0$$, (dh. $$x\ge -4$$)  und $$2x-6\ge 0$$ (dh. $$x\ge 3$$)

        Die stärkere Bedingung ist also $$x\ge 3$$. Zugehörige Gleichung:

        $$2x+8+6=2x-6\iff 14=-6f.A.$$

Fall 2: $$2x+8<0$$, (dh. $$x<-4$$)  und $$2x-6<0$$ (dh. $$x<3$$)

        Die stärkere Bedingung ist also $$x<-4$$. Zugehörige Gleichung:

        $$-2x-8+6=-2x+6\iff -8=0,f.A.$$

Fall 3: $$2x+8\ge 0$$, (dh. $$x\ge -4$$)  und $$2x-6<0$$ (dh. $$x<3$$)

          Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn $$-4\le x<3$$. Zugehörige Gleichung:

          $$2x+8+6=-2x+6\iff 4x=-8\iff x=-2$$

Fall 4: $$2x+8<0$$, (dh. $$x<-4$$)  und $$2x-6\ge 0$$ (dh. $$x\ge 3$$)

        Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt, daher muss die zugehörige Gleichung nicht betrachtet werden.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=\{-2\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

\[ \| x-3\| -\| x-5\| =2 \]

Fall 1: $$x-3\ge 0$$, (dh. $$x\ge 3$$)  und $$x-5\ge 0$$ (dh. $$x\ge 5$$)

        Die stärkere Bedingung ist also $$x\ge 5$$. Zugehörige Gleichung:

        $$x-3-(x-5)=2\iff 2=2w.A.$$
        Dh. $$x\ge 5$$ löst die Betragsungleichung.

Fall 2: $$x-3<0$$, (dh. $$x<3$$)  und $$x-5<0$$ (dh. $$x<5$$)

        Die stärkere Bedingung ist also $$x<3$$. Zugehörige Gleichung:

        $$-x+3+x-5=2\iff -2=2,f.A.$$

Fall 3: $$x-3\ge 0$$, (dh. $$x\ge 3$$)  und $$x-5\le 0$$ (dh. $$x\le 5$$)

          Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn $$3\le x<5$$. Zugehörige Gleichung:

          $$x-3+x-5=2\iff 2x=10\iff x=5$$

Fall 4:  $$x-3<0$$, (dh. $$x<3$$)  und $$x-5\ge 0$$ (dh. $$x\ge 5$$)

        Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt, daher muss die zugehörige Gleichung nicht betrachtet werden.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=[5,\mathrm{\infty })$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

\[ \| x-1\| +\| x+5\| =6 \]

Fall 1: $$x-1\ge 0$$, (dh. $$x\ge 1$$)  und $$x+5\ge 0$$ (dh. $$x\ge -5$$)

        Die stärkere Bedingung ist also $$x\ge 1$$. Zugehörige Gleichung:

        $$x-1+x+5=6\iff 2x=2\iff x=1$$

Fall 2: $$x-1\le 0$$, (dh. $$x\le 1$$)  und $$x+5\le 0$$ (dh. $$x\le -5$$)

        Die stärkere Bedingung ist also $$x\le -5$$. Zugehörige Gleichung:

        $$-x+1-x-5=6\iff -2x=10\iff x=-5$$

Fall 3: $$x-1\ge 0$$, (dh. $$x\ge 1$$)  und $$x+5\le 0$$ (dh. $$x\le -5$$)

          Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt, daher muss die zugehörige Gleichung nicht betrachtet werden.

Fall 4:  $$x-1\le 0$$, (dh. $$x\le 1$$)  und $$x+5\ge 0$$ (dh. $$x\ge -5$$)

          Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn $$-5\le x\le 1$$. Zugehörige Gleichung:

          $$-x+1+x+5=6\iff 6=6,w.A.$$

         Daher lösen alle  $$x$$ mit $$-5\le x\le 1$$ die Betragsungleichung.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=[-5,1]$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

\[ \left|\| 2x-8\| -3x\| =4 \]

Fall 1: $$2x-8\ge 0$$, (dh. $$x\ge 4$$) 

         \[ | 2x -8 -3x | =4 \ |-x - 8 |= 4 \ | x + 8| = 4 \]

         Fall 1a: zusätzlich $$x+8\ge 0$$ (dh. $$x\ge -8$$)

                    Die stärkere Bedingung ist also $$x\ge 4$$. Zugehörige Gleichung:

                     $$x+8=4,\iff x=-4$$, im Widerspruch zur Voraussetzung.

       Fall 1b: zusätzlich $$x+8<0$$ (dh. $$x<-8$$)
                  Nie gleichzeitig erfüllt mit $$x\ge 4$$.

Fall 2: $$2x-8<0$$, (dh. $$x<4$$)

       \[ | -2x +8 -3x | =4 \ |-5x + 8 |= 4 \]

        Fall 2a: zusätzlich $$-5x+8\ge 0$$ (dh. $$x\le \frac{8}{5}$$)

                   Die stärkere Bedingung ist $$x\le \frac{8}{5}$$. Zugehörige Gleichung:
                   $$-5x+8=4\iff -5x=-4\iff x=\frac{4}{5}$$

        Fall 2b: zusätzlich $$-5x+8<0$$ (dh. $$x>\frac{8}{5}$$)       

                 Diese beiden Bedingungen sind erfüllt für $$\frac{8}{5}<x<4$$. Zugehörige Gleichung

                 $$5x-8=4\iff 5x=12\iff x=\frac{12}{5}$$

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=\{\frac{4}{5},\frac{12}{5}\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

$$\mid 2x-6\mid =\mid 4-5x\mid$$

Fall 1: $$2x-6>0$$, (dh. $$x>3$$)  und $$4-5x>0$$ (dh. $$x<\frac{4}{5}$$)

Diese beiden Bedingungen können gleichzeitig nie erfüllt sein, daher muss die zugehörige Gleichung ($$2x-6=4-5x\iff 7x=10\iff x=\frac{10}{7}$$) nicht betrachtet werden. (Für diesen Lösungsfall gibt es keine Lösung der Betragsungleichung).

Fall 2: $$2x-6<0$$, (dh. $$x<3$$)  und $$4-5x<0$$ (dh. $$x>\frac{4}{5}$$)

Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn $$\frac{4}{5}<x<3$$. Zugehörige Gleichung (gleich wie in Fall 1)$$-(2x-6)=-(4-5x)\iff 7x=10\iff x=\frac{10}{7}$$

Nun erfüllt $$x=\frac{10}{7}$$  auch die Bedingung bzgl. der Beträge, daher ist es eine Lösung der Betragsungleichung.

Fall 3: $$2x-6<0$$, (dh. $$x<3$$)  und $$4-5x>0$$ (dh. $$x<\frac{4}{5}$$). Hier ist $$x<\frac{4}{5}$$ die stärke Bedingung.

        $$-(2x-6)=4-5x\iff 3x=-2\iff x=-\frac{2}{3}$$ ist eine Lösung der Betragsungleichung, da auch die Voraussetzung erfüllt ist.

Fall 4: $$2x-6>0$$, (dh. $$x>3$$)  und $$4-5x<0$$ (dh. $$x>\frac{4}{5}$$). Hier ist $$x>3$$ die stärke Bedingung.
         Führt auf dieselbe Gleichung wie in Fall 3, hier ist aber die Voraussetzung $$x>3$$ nicht mehr erfüllt.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$\text{Extra close brace or missing open brace}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

$$\mid 3x+7\mid =2\cdot \mid x-6\mid$$

Fall 1: $$3x+7\ge 0$$, (dh. $$x\ge -\frac{7}{3}$$)  und $$x-6\ge 0$$ (dh. $$x\ge 6$$)

         Die stärkere Bedingung ist also $$x\ge 6$$. Zugehörige Gleichung:

         $$3x+7=2x-12\iff x=-19$$, aber Voraussetzung nicht erfüllt.

Fall 2: $$3x+7<0$$, (dh. $$x<-\frac{7}{3}$$)  und $$x-6<0$$ (dh. $$x<6$$)

          Die stärkere Bedingung ist also $$x<-\frac{7}{3}$$. Zugehörige Gleichung, wie oben:

           $$3x+7=2x-12\iff x=-19$$, jetzt Voraussetzung erfüllt.

Fall 3:  $$3x+7<0$$, (dh. $$x<-\frac{7}{3}$$)  und $$x-6\ge 0$$ (dh. $$x\ge 6$$)

          Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt.

Fall 4:$$3x+7\ge 0$$, (dh. $$x\ge -\frac{7}{3}$$)  und $$x-6<0$$ (dh. $$x<6$$)

        Diese beiden Bedingungen sind genau für $$-\frac{7}{3}\le x<6$$ gleichzeitig erfüllt. Zugehörige Gleichung:

        $$3x+7=-2x+12\iff 5x=5\iff x=1$$

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=\{-19,1\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

$$\frac{\mid x+2\mid }{\mid x+5\mid }=3$$

Fall 1: $$x+2\ge 0$$, (dh. $$x\ge -2$$)  und $$x+5\ge 0$$ (dh. $$x\ge -5$$)

         Die stärkere Bedingung ist also $$x\ge -2$$. Zugehörige Gleichung:

         $$\frac{x+2}{x+5}=3\iff x+2=3x+15\iff x=-\frac{13}{2}$$, aber Voraussetzung nicht erfüllt.

Fall 2: $$x+2<0$$, (dh. $$x<-2$$)   und $$x+5<0$$ (dh. $$x<-5$$)

          Die stärkere Bedingung ist also $$x<-5$$. Zugehörige Gleichung, wie oben:

           $$\frac{x+2}{x+5}=3\iff x+2=3x+15\iff x=-\frac{13}{2}$$

Fall 3:  $$x+2<0$$, (dh. $$x<-2$$)  und $$x+5\ge 0$$ (dh. $$x\ge -5$$)

          Diese beiden Bedingungen sind genau dann gleichzeitig erfüllt, wenn $$-5\le x<-2$$. Zugehörige Gleichung:

        $$\frac{-(x+2)}{x+5}=3\iff -x-2=3x+15\iff x=-\frac{17}{4}$$

Fall 4: $$x+2\ge 0$$, (dh. $$x\ge -2$$)  und $$x+5<0$$ (dh. $$x<-5$$).

        Diese beiden Bedingungen sind nie gleichzeitig erfüllt.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$\text{Extra close brace or missing open brace}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

$$\mid x-3\mid =7$$

Fall 1: $$x-3\ge 0$$, dh. $$x\ge 3$$
        Zugehörige Gleichung:

        $$x-3=7\iff x=10$$

Fall 2: $$x-3<0$$ , dh. $$x<3$$
        Zugehörige Gleichung:
        $$-x+3=7\iff x=-4$$

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=\{-4,10\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

Fall 1: $$5+2x\ge 0$$, dh. $$x\ge -\frac{5}{2}$$
        Zugehörige Gleichung:

        $$x-5-2x=14\iff x=-19$$, aber Voraussetzung $$x\ge -\frac{5}{2}$$ nicht erfüllt.
       Daher gibt es für diesen Fall keine Lösung.

Fall 2: $$5+2x<0$$ , dh. $$x<-\frac{5}{2}$$
        Zugehörige Gleichung:
        $$x+5+2x=14\iff x=3$$, aber dafür Voraussetzung nicht erfüllt.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die leere Lösungsmenge: $$L=\{\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

$$\mid x+4\mid =2x+1$$

Fall 1: $$x+4\ge 0$$, dh. $$x\ge -4$$
        Zugehörige Gleichung:

        $$x+4=2x+1\iff 3=x$$

Fall 2: $$x+4<0$$ , dh. $$x<-4$$
        Zugehörige Gleichung:
        $$-x-4=2x+1\iff -5=3x\iff x=-\frac{5}{3}$$, aber dafür Voraussetzung $$x<-4$$nicht erfüllt.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=\{3\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

$$-\mid 2+5x\mid =-3$$

Fall 1: $$2+5x\ge 0$$, dh. $$x\ge -\frac{2}{5}$$
        Zugehörige Gleichung:

        $$-2-5x=-3\iff x=\frac{1}{5}$$

Fall 2: $$2+5x<0$$ , dh. $$x<-\frac{2}{5}$$
        Zugehörige Gleichung:
        $$2+5x=-3\iff x=-1$$

Gesamt hat die Betragsgleichung also die Lösungsmenge: $$L=\{-1,\frac{1}{5}\}$$

Bei Betragsungleichungen gibt es jeweils mehrere Lösungsfälle. Es sind für jeden vorkommenden Betrag nachstehende zwei Fälle getrennt zu behandeln (Achtung auch auf die Voraussetzungen! Es ist möglich, dass eine Betragsungleichung gar keine Lösung hat!):

• $$|y|=y$$, für $$y\ge 0$$
• $$|y|=-y$$, für $$y<0$$

$$\mid 5+2x\mid =-3+x$$

Fall 1: $$5+2x\ge 0$$, dh. $$x\ge -\frac{5}{2}$$
        Zugehörige Gleichung:

        $$5+2x=-3+x\iff x=-8$$, aber Voraussetzung nicht erfüllt.

Fall 2: $$5+2x<0$$ , dh. $$x<-\frac{5}{2}$$
        Zugehörige Gleichung:
        $$-5-2x=-3+x\iff -2=3x\iff x=-\frac{2}{3}$$, aber dafür Voraussetzung nicht erfüllt.

Gesamt hat die Betragsgleichung also die leere Lösungsmenge: $$L=\{\}$$