\(1 - \alpha = 0,95 \\ \Phi(c) = 1 - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow c = 1,96 \\ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum{X_i}=199 \\\)

\(k = c \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,1841 \\\)

Konfidenzintervall:

\([\bar{X} - c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \qquad \bar{X} + c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]\)     beziehungsweise    \([\bar{X} - k; \qquad \bar{X} + k]\)

Das Konfidenzintervall soll die Länge 1 nicht überschreiten \(\Rightarrow k \leq \frac{1}{2}\), wenn gilt \([\bar{X}-k; \bar{X}+k]\). Wir wählen daher den Ansatz folgender Gleichung 

\(k = c \cdot \frac{ \sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\) , dabei ist laut Angabe \( \sigma=2,1\) und \(c=1,96\quad\) (1,96 deshalb weil wir ein 95%-Konfidenzniveau haben)

Einsetzen und umformen nach n ergibt \(n\approx67,8\), folglich muss der Stichprobenumfang mindestens \(n=68 \) betragen. 

\(1-\alpha = 95%\)    daraus folgt \(\alpha =0,05\)

Quantile ermitteln:

\(1-\frac{\alpha}{2}= 1-\frac{0,05}{2}=0,975\)

Aus der Quantile mittels Tabelle für die Standardnormalverteilung dann z ermitteln:

\(z=1,96\)

Halbe Breite des Konfidenzintervalls:

\(\sigma = 208 \\ n = 50\)

\(\frac{\sigma \cdot z}{\sqrt {n}}= \frac{208 \cdot 1,96}{\sqrt {50}}= 57,65\)

Konfidenzintervall:

\([1950-57,65;1950+57,65]=[1892,35;2007,65]\)

Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden:

\(\mu = n \cdot p = 120 \cdot 0.65 = 78\)

\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{120 \cdot 0.65 \cdot 0.35} \approx 5.23\)

Aus  \(1- \alpha = 0.95\)   folgt  \(\alpha = 0.05\).

Nun müssen die Quantile ermittelt werden:

\(1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.05}{2} = 0.975\)

Mittels der Tabelle für die Standardnormalverteilung kann nun z ermittelt werden:

\(\Phi (z) = 0.975 \rightarrow z = 1.96\)

Daraus folgt für das Konfidenzintervall:

\(\Big[ \mu - z\cdot \sigma , \; \mu + z \cdot \sigma \Big] = \Big[ 78 - 1.96 \cdot 5.23, \; 78 + 1.96 \cdot 5.23 \Big] = \Big[ 67, \; 89 \Big]\)

(Es wird auf ganze Zahlen gerundet, da es sich um Personenzahlen handelt. Außerdem wird die untere Grenze immer ab-, die obere Grenze immer aufgerundet, damit in jedem Fall die gewünschte Sicherheit von 95% erreicht wird.)

Der Erwartungswert für die Anzahl der Gewinnlose sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden:

\(\mu = 40 \cdot \frac{ 1500}{2500} = 40 \cdot 0.6 = 24\)

\(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{40\cdot 0.6 \cdot 0.4} \approx 3.10\)

Aus  \(1- \alpha = 0.95\)   folgt  \(\alpha = 0.05\).

Nun müssen die Quantile ermittelt werden:

\(1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.05}{2} = 0.975\)

Mittels der Tabelle für die Standardnormalverteilung kann nun z ermittelt werden:

\(\Phi (z) = 0.975 \rightarrow z = 1.96\)

Daraus folgt für das Konfidenzintervall:

\(\Big[ \mu - z\cdot \sigma , \; \mu + z \cdot \sigma \Big] = \Big[ 24 - 1.96 \cdot 3.10, \; 24 + 1.96 \cdot 3.10 \Big] = \Big[ 17, \; 31 \Big]\)

(Es wird auf ganze Zahlen gerundet, da es sich um die Anzahl an Gewinnlosen handelt. Außerdem wird die untere Grenze immer ab-, die obere Grenze immer aufgerundet, damit in jedem Fall die gewünschte Sicherheit von 95% erreicht wird.)

Der bisherige Anteil der Wählerstimmen von 42.7% dient als Schätzwert \(\hat p\) für den tatsächlichen Anteil p.

\(\hat p = 0.427\)

Als maximale Abweichung wird laut Angabe folgendes vorgegeben:

\(\epsilon = 1.5% = 0.015\)

Es gilt folgender Zusammenhang:

\(\epsilon = z \sqrt{ \frac{\hat p (1 - \hat p)}{n}} \\ \rightarrow \frac{\epsilon^2}{z^2} = \frac{\hat p (1 - \hat p)}{n} \rightarrow n = \frac{z^2 \hat p (1 - \hat p)}{\epsilon^2}\)

Da die Sicherheit 95% betragen soll, gilt:

\(1 - \alpha = 0.95 \rightarrow \alpha = 0.05 \\ 1-\frac{\alpha}{2} = 1-\frac{0.05}{2} = 0.975 \\ \rightarrow \Phi(z) = 0.975 \rightarrow z=1.96\)

Einsetzen ergibt:

\(n = \frac{1.96^2 \cdot 0.427 (1 - 0.427)}{0.015^2} = 4177.46 \)

Es müssen rund 4200 Personen befragt werden.

Der bisherige Anteil der Blutgruppe-0 Träger von 40% dient als Schätzwert \(\hat p\) für den tatsächlichen Anteil p.

\(\hat p = 0.4\)

Als maximale Abweichung wird laut Angabe folgendes vorgegeben:

\(\epsilon = 2% = 0.02\)

Es gilt folgender Zusammenhang:

\(\epsilon = z \sqrt{ \frac{\hat p (1 - \hat p)}{n}} \\ \rightarrow \frac{\epsilon^2}{z^2} = \frac{\hat p (1 - \hat p)}{n} \rightarrow n = \frac{z^2 \hat p (1 - \hat p)}{\epsilon^2}\)

Da die Sicherheit 95% betragen soll, gilt:

\(1 - \alpha = 0.95 \rightarrow \alpha = 0.05 \\ 1-\frac{\alpha}{2} = 1-\frac{0.05}{2} = 0.975 \\ \rightarrow \Phi(z) = 0.975 \rightarrow z=1.96\)

Somit:

\(n = \frac{1.96^2 \cdot 0.4 (1 - 0.4)}{0.02^2} = 2304.96 \approx 2 300 \)

Das Konfidenzintervall wird bei wachsendem Stichprobenumfang kleiner, denn je mehr Daten (Stichprobenwerte) zur Verfügung stehen, desto enger kann kann der gesuchte Parameter eingegrenzt werden. Man sieht es auch daran, dass der Faktor \(\sqrt{n}\) (also die Wurzel aus der Stichprobengröße) bei der Berechnung der Intervallgrenzen im Nenner steht und der Bruch somit umso kleiner wird, je größer n ist.

Das Konfidenzintervall wird bei wachsendem Konfidenzniveau \(1-\alpha\) größer: Je größer die Fläche \(1-\alpha\) zwischen \(z_{1-\alpha/2}\) und \(z_{1+\alpha/2}\) wird, desto größer wird auch das Quantil \(z_{1+\alpha/2}\).

Man kann es sich auch so vorstellen: Je strengere Anforderungen wir an die Sicherheit haben, mit der wir einen Parameter eingrenzen wollen, desto "schwächer" (also: weiter) werden die Intervallgrenzen. Geht das Konfidenzniveau gegen 1, so geht das Intervall gegen \((-\infty; \; +\infty)\), denn mit Sicherheit können wir nur sagen, dass der gesuchte Parameter irgendeine reelle Zahl ist.

Gesucht ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Normalverteilung bei bekannter Standardabweichung. Das Konfidenzniveau ist \(1-\alpha = 0,90\), somit ist \(\alpha = 0,10\).
Die Formel für das Konfidenzintervall ist \([ \overline x - z_{0,95} \frac{\sigma}{\sqrt{n}};\; \overline x + z_{0,95} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]\). Wir bestimmen also zunächst (aus der Tabelle) das Quantil \(z_{1-\alpha/2} = z_{0,95}\) der Standardnormalverteilung: \(z_{0,95} = 1,645\)
Mit \(\overline x = 497,5\) und \(\sigma = 5\) sowie n=10 erhalten wir das Intervall [ 494,899; 500,101 ]. Dieses Konfidenzintervall überdeckt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% den Erwartungswert \(\mu\).

Gegeben ist ein einseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert \(\mu\) eines normalverteilten Merkmals bei bekannter Standardabweichung \(\sigma\). Die Formel für das nach oben begrenzte Konfindenzintervall lautet \((-\infty; \; \overline x + z_{p} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ]\). Die obere Intervallgrenze ist vorgegeben als 499,9; wir suchen das passende p-Quantil der Standardnormalverteilung, also den Wert p, für welchen gilt: \(\overline x + z_{p} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 499,9\). Auflösen nach \(z_p\) ergibt \(z_p = (499,9 - \overline x) \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sigma}\). Mit \(\overline x = 497,5\); \(\sigma = 5\) und n = 10 folgt \(z_p = (499,9 - 497,5) \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 2,4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 1,51789\). Der Tabelle für die Standardnormalverteilung entnehmen wir p=0,93548. Der Erwartungswert liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 93,5% unterhalb des Sollgewichts von 500 Gramm.