Fragenliste von Beweistechnik

Welche Aussage ist der Induktionsschritt im Beweis dass \(\sum_{i=1}^n i =\frac{n(n+1)}{2}\) für \(n \in \mathbb{N}\) Nr. 4108
	\(1= \frac{1(1+1)}{2}\)
	\(\sum_{i=1}^n i =\frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow \sum_{i=1}^n i+1 =\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
	\(\sum_{i=1}^n i =\frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i =\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
	\(1 =\frac{1(1+1)}{2} \Rightarrow 1+2 =\frac{2(2+1)}{2}\)

Auf welcher logischen Äquivalenz beruht der Widerspruchsbeweis? Nr. 4109
	\((A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ((\neg A) \Rightarrow (\neg B))\)
	\((A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \neg ((\neg A) \Rightarrow (\neg B))\)
	\((A \Rightarrow B) \Leftrightarrow ((\neg B) \Rightarrow (\neg A))\)

Wann ist ein deduktives Argument gültig? Nr. 4421
	Die Wahrheit der Prämissen macht die Wahrheit der Konklusion wahrscheinlich.
	Aus der Wahrheit der Prämissen folgt notwendig die Wahrheit der Konklusion.
	Die Prämissen und die Konklusion sind wahr.

Wie geht man vor, wenn man eine Aussage A(n) für \(n \in \mathbb{N}\) mittels Vollständiger Induktion beweisen möchte? Nr. 4642
	Man zeigt, dass A(n) für n=1, 2 und 3 gilt. Daraus folgt, dass A(n) für alle natürlichen Zahlen n gilt.
	Man nimmt an, dass A(n) für eine natürliche Zahl n gilt und zeigt, dass sie dann auch für n+1 gilt.
	Man nimmt an, dass A(n) für alle n=1, 2, ..., n* gilt und zeigt, dass dann auch A(n*+1) gilt.
	Man zeigt, dass A(1) gilt. Anschließend nimmt man an, dass A(n) für ein beliebiges n gilt und zeigt, dass dann auch A(n+1) gilt.
Lösungsweg 1. Induktionsanfang: Man zeigt, dass die Aussage A(n) für einen konkreten Wert n (meist n=1) gilt. 2. Induktionsannahme: Man nimmt an, dass A(n) für ein beliebiges n gilt. 3. Induktionsschluss: Man zeigt, dass A(n) unter der Induktionsannahme auch für n+1 gilt.

Karl möchte mithilfe des Induktionsprinzips beweisen, dass A(n): \(\sum_{i=1}^n i = n(n+1)/2\) gilt für alle \(n \in \mathbb{N}\). Was ist der Induktionsanfang? Nr. 4643
	Zeigen, dass aus A(n) A(n+1) folgt.
	Eine beliebige Zahl \(n^* \in \mathbb{N}\) wählen (z.B. n=5) und zeigen, dass A(n) gilt.
	Zeigen, dass A(1) gilt.
	Zeigen, dass aus A(1) A(2) folgt.
Lösungsweg Karl muss zunächst zeigen, dass A(1) gilt: \(\sum_{i=1}^1 i = 1 = 1 \cdot 2/2\) Nun nimmt er an, dass A(n) für ein beliebiges n gelte (Induktionsannahme) und zeigt, dass dann auch A(n+1) gilt: \(\sum_{i=1}^{n+1} i = \sum_{i=1}^{n} i + n+1 = n(n+1)/2 +n+1 = n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 = (n+1)(n+2)/2\) Beim zweiten Gleichheitszeichen wird die Induktionsannahme verwendet: \(\sum_{i=1}^n i = n(n+1)/2\)

Bestimmen Sie die richtige Reihenfolge. Nr. 4644
	Induktionsanfang, Induktionsannahme, Induktionsschluss
	Induktionsannahme, Induktionsanfang, Induktionsschluss
	Induktionsanfang, Induktionsschluss, Induktionsannahme
Lösungsweg 1. Induktionsanfang: Man zeigt, dass die Aussage A(n) für einen konkreten Wert n (meist n=1) gilt. 2. Induktionsannahme: Man nimmt an, dass A(n) für ein beliebiges n gilt. 3. Induktionsschluss: Man zeigt, dass A(n) unter der Induktionsannahme auch für n+1 gilt.

Die Eulersche \(\varphi\)-Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Zahlen aus \(\left\{1,2,...,n \right\}\) zu, die teilerfremd zu n sind. Ist \(n=p\cdot q\) ein Produkt zweier verschiedener Primzahlen, so gilt: Nr. 4712
	\(\varphi (pq) = pq-1\)
	\(\varphi (pq) = p+q-1\)
	\(\varphi (pq) = (p-1)(q-1)\)
Lösungsweg Sei \(a \in \left\{1,2,...,n \right\}\). Die Zahlen a und n = pq können nur dann gemeinsame Teiler haben, wenn a ein Vielfaches von p oder q ist, denn p und q sind Primzahlen (und haben somit selbst keine echten Teiler). Es gibt q Vielfache von p in \(\left\{1,2,...,n \right\}\), und zwar p, 2p, 3p,..., qp. Ebenso gibt es p Vielfache von q in \(\left\{1,2,...,n \right\}\), und zwar q, 2q, 3q,..., pq. Bis auf pq sind diese wegen \(p \neq q\) alle verschieden. Diese p+q Vielfachen müssen wir also von n abziehen, um die Anzahl der zu n teilerfremdem Zahlen zu ermitteln (und 1 addieren, da wir sonst den Kandidaten n=pq zweimal abziehen): \(\varphi (n) = n - p - q +1 = pq-p-q+1 = (p-1)(q-1)\)

Welche der nachstehenden Aussagen können mittels vollständiger Induktion bewiesen werden? Nr. 5073
	\(\sqrt{2}\) ist irrational.
	\(\sum_{i=1}^n i =\frac{n(n+1)}{2}, \qquad n \in \mathbb{N}\)
	\(\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2, \qquad n \in \mathbb{N}\)
	\(\sum_{i=1}^n \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{n}{3n+1}, \qquad n \in \mathbb{N}\)
	Im rechtwinkeligen Dreieck mit Katheten \(a, \; b\) und Hypothenuse \(c\) gilt: \(a^2 +b^2 = c^2\)
Lösungsweg Vollständige Induktion kann zum Beweisen von Aussagen verwendet werden, die für alle natürlichen Zahlen gilt. (Möglich ist es auch, dass die Aussage erst für alle natürlichen Zahlen ab einem Wert \(n^* \in \mathbb{N}\) gilt (z.B. wenn die Aussage erst ab n = 2 definiert ist).) Bei der vollständigen Induktion wird die Aussage zuerst für den Induktionsanfang bewiesen (meist n = 0 oder n= 1). Nun nimmt man an, dass die Aussage A(n) für ein beliebiges n gelte (= Induktionsannahme). Dann folgt der Induktionsschritt: Daraus folgert man nun, dass die Aussage A(n+1) auch für die nächste natürliche Zahl (n+1) gilt.

Welche der nachstehenden Aussagen können mittels vollständiger Induktion bewiesen werden? Nr. 5074
	\(n^2 > n \forall n> 1, \qquad n \in \mathbb{R}\)
	Grenzwert einer Folge, \(n \in \mathbb{N}\): \(\lim_ {n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)
	Für alle natürlichen Zahlen \(n \in \mathbb{N}\) gilt: \(n^2 + n\) ist stets eine gerade Zahl.
	\(n^3 - n\) ist stets durch 3 teilbar, für alle \(n \in \mathbb{N}\).
	Zwischen zwei rationalen Zahlen p und q liegt stets mindestens eine weitere rationale Zahl.
Lösungsweg Vollständige Induktion kann zum Beweisen von Aussagen verwendet werden, die für alle natürlichen Zahlen gilt. (Möglich ist es auch, dass die Aussage erst für alle natürlichen Zahlen ab einem Wert \(n^* \in \mathbb{N}\) gilt (z.B. wenn die Aussage erst ab n = 2 definiert ist).) Bei der vollständigen Induktion wird die Aussage zuerst für den Induktionsanfang bewiesen (meist n = 0 oder n= 1). Nun nimmt man an, dass die Aussage A(n) für ein beliebiges n gelte (= Induktionsannahme). Dann folgt der Induktionsschritt: Daraus folgert man nun, dass die Aussage A(n+1) auch für die nächste natürliche Zahl (n+1) gilt.

Welche der nachstehenden Aussagen können mittels vollständiger Induktion bewiesen werden? Nr. 5075
	\(3^n -3\) ist durch 6 teilbar für alle \(n \in \mathbb{N}, \; n \geq 1\)
	\(\sum_{i=1}^n (3i -2) =\frac{n(3n - 1)}{2}\) für \(n \in \mathbb{N}\)
	Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Streckensymmetralen der Seiten des Dreiecks.
	Die Ableitung der Funktion \(f(g(x))\) ist gegeben durch \(f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
	\(n^3 = 27 \Rightarrow n = 3\)
Lösungsweg Vollständige Induktion kann zum Beweisen von Aussagen verwendet werden, die für alle natürlichen Zahlen gilt. (Möglich ist es auch, dass die Aussage erst für alle natürlichen Zahlen ab einem Wert \(n^* \in \mathbb{N}\) gilt (z.B. wenn die Aussage erst ab n = 2 definiert ist).) Bei der vollständigen Induktion wird die Aussage zuerst für den Induktionsanfang bewiesen (meist n = 0 oder n= 1). Nun nimmt man an, dass die Aussage A(n) für ein beliebiges n gelte (= Induktionsannahme). Dann folgt der Induktionsschritt: Daraus folgert man nun, dass die Aussage A(n+1) auch für die nächste natürliche Zahl (n+1) gilt.

Die Aussage "\(\sqrt{2}\) ist eine irrationale Zahl" soll mittels "Beweis durch Widerspruch" bewiesen werden. Welche der nachfolgenden Vorgangsweisen sind korrekt? Nr. 5076
	Es wird aus bekannten Rechengesetzen für reelle Zahlen ein Widerspruch erzeugt.
	Es wird angenommen, dass \(\sqrt{2}\) eine rationale Zahl ist. Aus dieser Annahme werden logische Schlüsse gezogen, bis man einen Widerspruch erhält.
	Es wird angenommen, dass \(\sqrt{2}\) eine rationale Zahl ist. Aus dieser Annahme werden logische Schlüsse gezogen, bis man einen Widerspruch erhält. Rechenregeln müssen nicht immer beachtet werden, da man ja schon mit einer falschen Aussage startet ("Aus Falschem folgt Beliebiges").
	Es wird angenommen, dass \(\sqrt{2}\) eine irrationale Zahl ist. Man versucht diese Aussage umzuformulieren, solange bis man eine "offensichtlich richtige" Aussage erhält.
	Man geht von bereits bekannten Gesetzmäßigkeiten/Aussagen/ect. aus und versucht durch logische Schlüsse zu folgern, dass \(\sqrt{2}\) irrational sein muss.
Lösungsweg Beim Beweis durch Widerspruch startet man mit einer falschen Annahme. Will man eine Aussage A (hier: "\(\sqrt{2}\) ist eine irrationale Zahl") durch Widerspruch beweisen, so nimmt man zunächst an, dass A nicht gilt (hier "\(\sqrt{2}\) ist eine rationale Zahl"). Nun führt man logische Schlussfolgerungen durch, bis man eine falsche Aussage erhält (oft eine Aussage, die im Widerspruch zu der ursprünglichen Annahme oder einer direkten Folgerungen daraus steht). Aus diesem Widerspruch folgt nun, dass die anfängliche Annahme falsch gewesen sein muss. Damit hat man bewiesen, dass die Aussage A wahr ist. (Denn eine falsche Aussage kann man nur erhalten, wenn irgendein Teil der Argumentation falsch ist. Wenn alle Schlussfolgerungen korrekt durchgeführt wurden, ist die einzige Möglichkeit, dass die anfängliche Annahme falsch gewesen ist.)

Wie geht man am einfachsten vor, um eine "Existenz"-Aussage \(( \exists )\) zu beweisen? z.B. "Es gibt eine ganze Zahl, deren Quadrat genau 9 ergibt." Nr. 5077
	Versuchen, die allgemeine Gültigkeit der Aussage herzuleiten.
	Min. zwei konkrete Beispiele angeben, die die Aussage erfüllen.
	Ein konkretes Beispiel angeben, das die Aussage erfüllt, und zeigen, dass dies die einzige mögliche Lösung ist.
	Ein konkretes Beispiel angeben, das die Aussage erfüllt.
Lösungsweg Eine Existenz-Aussage wird am einfachsten bewiesen, in dem ein konkretes Beispiel gefunden wird, das die Aussage erfüllt. Die allgemeine Gültigkeit der Aussage direkt zu beweisen, ist in der Regel wesentlich schwieriger und in manchen Fällen gar nicht möglich. Beachte: In der Mathematik bedeutet "Es gibt ein ..." immer "Es gibt mindestens ein ...". Will man herausstreichen, dass tatsächlich nur eine einzige Lösung existiert, so wird dies als "es gibt genau ein ..." formuliert \(( \exists ! )\).

Wie geht man vor, um eine "Für alle"-Aussage \(( \forall )\) zu beweisen? z.B. \(\forall x \in \mathbb{R}\) mit \(x>1\) gilt: \(x^2 \; > \; x\). Nr. 5078
	Min. zwei konkrete Beispiele angeben, die die Aussage erfüllen.
	Ein konkretes Beispiel angeben, das die Aussage erfüllt.
	Aus den Voraussetzungen der Aussage und unter Berücksichtigung allgemeiner Rechenregel die Gültigkeit der Aussage zeigen.
	Ein Gegenbeispiel finden, dann ist die Aussage bewiesen.
Lösungsweg Um eine "Für alle"-Aussage zu beweisen, muss man unter Berücksichtigung allgemeiner Rechenregel und den gegebenen Voraussetzungen die allgemeine Gültigkeit der Aussage herleiten. Insbesondere ist es NICHT ausreichend, einfach ein paar Beispiele zu nennen, für die die Aussage erfüllt ist. Dahingegen ist es ausreichend ein einziges Gegenbeispiel zu finden, das der Aussage widerspricht, um zu zeigen, dass die Aussage FALSCH ist.

Wie geht man am einfachsten vor, um eine "Es gibt genau ein"-Aussage/Eindeutigkeits-Aussage \(( \exists ! )\) zu beweisen? z.B. "Es gibt genau eine natürliche Zahl, deren Quadrat 9 ergibt." Nr. 5079
	Min. zwei konkrete Beispiele angeben, die die Aussage erfüllen.
	Ein konkretes Beispiel angeben, das die Aussage erfüllt. Damit ist die Aussage bewiesen.
	Ein konkretes Beispiel angeben, das die Aussage erfüllt, und zeigen, dass dies die einzige mögliche Lösung ist.
	Versuchen, die allgemeine Gültigkeit der Aussage herzuleiten.
Lösungsweg Der Beweis einer "Es gibt genau ein"-Aussage besteht aus zwei Teilen: 1. Existenz: Angabe eines Beispiels, das die Aussage erfüllt 2. Eindeutigkeit: Beweis, dass es keine weitere Lösung für die Aussage gibt. Dies wird meist durch einen Widerspruchsbeweis gezeigt: Es wird zunächst angenommen, dass eine weitere Lösung existiert. Dann wird gezeigt, dass diese Lösung identisch mit der bereits zuvor gefundenen Lösung sein muss.

Wie zeigt man am einfachsten, dass eine "Für alle"-Aussage \(( \forall )\) NICHT gilt? z.B. \(\forall x \in \mathbb{R}: \quad x^2 > x\) Nr. 5080
	Ein konkretes Gegenbeispiel zur Aussage angeben
	Ein konkretes Beispiel angeben, für das die Aussage gilt
	Einen allgemeinen Beweis für die "Für alle"-Aussage angeben (unter Verwendung allgemeiner Rechenregeln und der Voraussetzungen der Aussage)
	Einen allgemeinen Beweis für die Verneinung der Aussage angeben (unter Verwendung allgemeiner Rechenregeln und der Voraussetzungen der Aussage)
	Zeigen, dass die Aussage stets falsch ist (unabhängig von der Wahl der Variablen/Parameter)
Lösungsweg Die Verneinung einer "Für alle"-Aussage ist logisch äquivalent zu einer Existenz-Aussage. Wenn die "Für alle"-Aussage \(A(x)\) NICHT gilt, gibt es mindestens ein \(x\), das die verneinte Aussage \(\bar{A(x)}\) erfüllt. Um dies zu beweisen, muss man (min.) ein konkretes \(x\) angeben, das die verneinte Aussage erfüllt. Man nennt dies auch ein "Gegenbeispiel" zur Aussage \(A(x)\). z.B. für die Aussage \(\forall x \in \mathbb{R}: \quad x^2 > x\) ist \(x = 0.5\) ein Gegenbeispiel, da dann \(x^2 = 0.25 < 0.5 = x\) gilt.

Wie zeigt man, dass eine "Existenz"-Aussage \(( \exists )\) NICHT gilt? z.B. \(\exists x \in \mathbb{R}: \quad x^2 = -25\) Nr. 5081
	Ein konkretes Beispiel angeben, für das die Aussage erfüllt ist.
	Ein Gegenbeispiel angeben, dh. einen konkreten Variablenwert angeben, für die die Aussage NICHT erfüllt ist.
	Min. zwei Gegenbeispiele angeben, dh.min. zwei konkreten Variablenwerte angeben, für die die Aussage NICHT erfüllt ist.
	Unter Beachtung allgemeiner Rechenregeln und den Voraussetzungen der Aussage zeigen, dass die Aussage stets falsch ist.
	Allgemein herleiten, dass die Aussage für alle Variablenwerte FALSCH ist.
Lösungsweg Die Verneinung einer "Existenz"-Aussage ist logisch äquivalent zu einer "Für alle"-Aussage. Wenn die "Existenz"-Aussage \(A(x)\) FALSCH ist, gilt für alle \(x\) die verneinte Aussage \(\bar{A(x)}\). Um dies zu beweisen, muss man also unter Beachtung der gängigen Rechenregeln und der Voraussetzungen der Aussage die allgemeine Gültigkeit der verneinten Aussage herleiten. Insbesondere ist die bloße Angabe eines (oder mehrerer) konkreter Beispiele, für die die Aussage falsch ist, NICHT ausreichend. Im konkreten Fall muss man allgemein zeigen, dass für alle \(x \in \mathbb{R}: \quad x^2 \neq -25\).

Was bedeutet die Formulierung "Sei \(x \) in \(\mathbb{Q}\) mit \(x > 0\)." in einem Beweis bzw. in der Voraussetzung einer Aussage/Satzes? Nr. 5082
	Nachstehende Aussagen gelten nur für einen einzigen positven rationalen Wert. Da unbekannt ist, welcher Wert dies konkret ist, wird die Variable \(x\) verwendet.
	\(x\) nimmt gleichzeitig alle positiven rationalen Werte an.
	\(x\) darf jede beliebige positive rationale Zahl sein.
	\(x\) kann eine beliebige rationale Zahl oder positiv sein
Lösungsweg "Sei \(x \) in \(\mathbb{Q}\) mit \(x > 0\)." bedeutet, dass \(x \) jede beliebige positve rationale Zahl sein darf. Nachstehende Aussagen über \(x \) gelten für alle positiven rationalen Zahlen. \(x \) ist unbekannt, aber fest: Dh. \(x \) steht in aufeinander folgenden Aussagen immer für dieselbe Zahl. Da diese Zahl eine beliebige positive rationale Zahl ist, gelten diese Aussagen aber trotzdem für alle solche Zahlen und nicht nur für einen einzigen konkreten (aber unbekannten) Wert.

Was versteht man unter einem "Gegenbeispiel"? Nr. 5083
	Einen Beweis, dass die vorliegende Aussage gilt.
	Ein Beispiel für die gegebene Aussage.
	Ein weiteres, echt unterschiedliches Beispiel für die Aussage, wenn davor bereits ein Beispiel angegeben wurde.
	Ein Beispiel, das die Gültigkeit einer Aussage widerlegt.
Lösungsweg Unter einem "Gegenbeispiel" versteht man ein Beispiel, das einer gegebenen Aussage widerspricht. Es zeigt also, dass die vorliegende Aussage falsch ist. z.B. Die Aussage \(\forall n \in \mathbb{N}: \quad \sqrt{n} \in \mathbb{N}\) ist falsch, ein Gegenbeispiel ist etwa \(n = 2\), da \(\sqrt{2} \approx 1,414 \notin \mathbb{N}\).

Wir betrachten folgende Umformung: \(\frac{x^2-4}{x + 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x + 2}= x -2\) Was trifft zu? Nr. 5084
	Diese Umformung gilt für alle reellen Zahlen \(x\).
	Diese Umformung gilt nur für alle reellen Zahlen \(x\) mit \(x \neq - 2\).
	Diese Umformung gilt nur für alle reellen Zahlen \(x\) mit \(x = - 2\).
	Diese Umformung gilt nur für alle reellen Zahlen \(x\) mit \(x \neq 2\).
	Diese Umformung gilt nur für alle ganzen Zahlen \(x\) mit \(x \neq - 2\).
Lösungsweg Beim Umformen muss man beachten, welche Zahlenwerte die vorkommenden Variablen annehmen dürfen. So darf etwa niemals durch 0 dividiert werden. Dh. im gegebenen Fall muss \(x \neq - 2\) gelten.

Zu Beginn eines Beweises steht "Sei \(x \in \mathbb{R}\) und \(y \in \mathbb{R}\)". Welche Aussagen treffen zu? Nr. 5085
	\(x\) und \(y\) dürfen beide beliebige reelle Zahlen annehmen.
	Es gilt sicher \(x \neq y\).
	Es gilt sicher \(x = y\).
	\(x\) und \(y\) sind zwei unabhängige Variablen.
	\(y\) hängt von \(x\) ab.
Lösungsweg "Sei \(x \in \mathbb{R}\) und \(y \in \mathbb{R}\)" bedeutet, dass beide Variablen beliebige reelle Werte annehmen können. Als Spezialfall kann \(x = y\) gelten. Die beiden Variablen sind unabhängig voneinander.

Wir betrachten folgenden Beweis für die Gleichung \(1=2\). 1) Es seien \(a, b\) zwei reelle Zahlen ungleich 0 und es gelte: \(a = b\) 2) Wir multiplizieren mit \(a\): \(\Leftrightarrow a^2 = ab\) 3) Wir addieren \((a^2 - 2ab)\): \(\Leftrightarrow a^2 + ( a^2 - 2ab) = ab + (a^2 - 2ab)\) 4) Wir vereinfachen beide Seiten: \(\Leftrightarrow 2 (a^2 - ab) = (a^2 -ab)\) 5) Division durch den Klammerausdruck liefert: \(\Leftrightarrow 2 = 1\) Welche(r) der Umformungen sind/ist nicht erlaubt? Nr. 5086
	1) da wir nicht einfach irgendwelche Voraussetzungen aufstellen dürfen.
	2) da wir nicht einfach mit einer beliebigen Zahl mutlipizieren dürfen.
	3) da wir nicht einfach Ausdrücke mit Variablen addieren dürfen.
	4) da wir nicht beliebige Umformungen durchführen dürfen.
	5) da wir nicht einfach durch Ausdrücke mit Variablen dividieren dürfen.
Lösungsweg Der 5. Umformungsschritt ist nicht erlaubt, da wir nur dann durch Ausdrücke mit Variablen dividieren dürfen, wenn diese ungleich 0 sind. Im vorliegenden Fall gilt aber \(a^2 - ab = a^2 -a^2 = 0\), da wir die Voraussetzung \(a =b\) aufgestellt haben.

Wofür und an welcher Stelle steht in Beweisen dieses Zeichen: \(\qed\) ? Nr. 5087
	q.e.d.
	Nach dem Ende des Beweises
	zu Beginn des Beweises
	D'Alembert-Operator: \(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\frac{\partial^2 }{\partial x^2} - \frac{\partial^2 }{\partial y^2} - \frac{\partial^2 }{\partial z^2}\)
	was zu zeigen war
Lösungsweg Am Ende eines Beweises wird typischerweise das Zeichen \(\qed\) eingefügt. Früher wurde stattdessen meist die Abkürzung "q. e. d." geschrieben (auch heute noch in Verwendung), dies steht für "quod erat demonstrandum" (lat. für "was zu zeigen war").

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