Die Wahrheitstafel zeigt eine Konjunktion von A und B -> "und".

Die Wahrheitstafel zeigt eine Disjunktion von A und B -> "oder".

Die Wahrheitstafel zeigt eine Antivalenz von A und B -> "entweder - oder".

Die Wahrheitstafel zeigt eine Implikation von A und B -> "wenn - dann".

Die Wahrheitstafel zeigt eine Äquivalenz von A und B -> "genau dann - wenn".

\(\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline A & B & \neg (A \Rightarrow B) & A \wedge \neg B\\ \hline w & w & f & f\\ \hline w & f & w & w\\ \hline f & w & f & f\\ \hline f & f & f & f\\ \hline \end{tabular} \)

Wenn die Sonne scheint, gehe ich zu Fuß: \(S \Rightarrow F\)

Es kann auch sein, dass ich zu Fuß gehe, wenn die Sonne mal nicht scheint, aber es kann nicht sein, dass die Sonne scheint und ich nicht zu Fuß gehe. Die Negation dieser Aussage ist daher \(S \wedge \neg F\). Das sieht man auch an der Wahrheitswerttabelle:

\(\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline S & F & S \Rightarrow F & S \wedge \neg F\\ \hline w & w & w & f\\ \hline w & f & f & w\\ \hline f & w & w & f\\ \hline f & f & w & f\\ \hline \end{tabular} \)

Das Wort "höchstens" ist hier entscheidend: Damit ich zu Fuß gehe, muss die Sonne scheinen (aber auch wenn sie scheint, folgt daraus nicht, dass ich zu Fuß gehe). Sonnenschein ist also eine notwendige (aber keine hinreichende) Bedingung dafür, dass ich zu Fuß gehe: Wenn ich zu Fuß gehe, scheint auf jeden Fall die Sonne. Die korrekte Formalisierung ist also: \(F \Rightarrow S\); die Negation lautet \(F \wedge \neg S\) (ich gehe zu Fuß und die Sonne scheint nicht).

Der Ausdruck "dann und nur dann" weist auf die logische Verknüpfung \(\Leftrightarrow\) hin (Äquivalenz): Wenn ich zu Fuß gehe, dann scheint die Sonne nicht, und wenn die Sonne nicht scheint, gehe ich zu Fuß. Ich gehe also genau dann zu Fuß, wenn die Sonne nicht scheint. Die korrekte Formalisierung ist also: \(F \Leftrightarrow \neg S\); die Negation lautet \(F \Leftrightarrow S\).

Der Umkehrschluss von \(A \Rightarrow B\) lautet \(\neg B \Rightarrow \neg A\). Beide Aussagen sind äquivalent:

\(\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline A & B & A \Rightarrow B & \neg B \Rightarrow \neg A\\ \hline w & w & w & w\\ \hline w & f & f & f\\ \hline f & w & w & w\\ \hline f & f & w & w\\ \hline \end{tabular}\)

Wenn nicht alle Studierenden Deutsch oder Englisch sprechen, dann ist das gleichbedeutend damit, dass es Studierende gibt, die nicht wenigstens eine dieser beiden Sprachen sprechen. Diese Studierenden sprechen also weder Deutsch noch Englisch. Die Negation der Aussage \(Deutsch \vee Englisch\) ist nämlich \(\neg Deutsch \wedge \neg Englisch\).

Wenn nicht für alle \(x \in \mathbb{N}\) x > 2 gilt, dann ist das gleichbedeutend damit, dass es mindestens ein \(x \in \mathbb{N}\) gibt, für welches x > 2 nicht gilt. Für diese(s) \(x \in \mathbb{N}\) gilt folglich das Gegenteil, also \(x \leq 2\).

Eine Aussage ist definiert als Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Es spielt dafür keine Rolle, ob man den Wahrheitswert bereits kennt oder nicht, solange er nur objektiv entscheidbar ist. Insbesondere können Aussagen auch falsch sein (z.B. 2+2=5).

\(A \Rightarrow B\) ist gleichbedeutend mit: Wenn A gilt, so gilt auch B. A ist also hinreichend für B. Es kann somit nicht sein, dass A gilt und B nicht. B ist also notwendig für A.

\(A \Rightarrow B\) bedeutet:

• A impliziert B.
• Aus A folgt B.
• Wenn A gilt, so gilt auch B.

Wir zerlegen den Satz in zwei Teile:
A: Eine formale Bewerbung ist notwendig für eine Einstellung.
B: Eine formale Bewerbung ist nicht hinreichend für eine Einstellung.

A bedeutet, dass man sich formal bewerben muss, damit man eingestellt werden kann. Jeder, der eingestellt wurde, hat sich also formal beworben. Es gilt \(Einstellung \Rightarrow Bewerbung\).

B bedeutet, dass nicht jede formale Bewerbung auch zu einer Einstellung führt. Man kann sich also formal bewerben und trotzdem nicht eingestellt werden. Es gilt also nicht \(Bewerbung \Rightarrow Einstellung\).

Argentinien liegt in Südamerika, wenn ich also Urlaub in Argentinien mache, so mache ich jedenfalls Urlaub in Südamerika; folglich gilt\(B \Rightarrow A\) (bzw., äquivalent dazu, \(\neg A \Rightarrow \neg B\): Wenn ich nicht Urlaub in Südamerika mache, kann ich auch nicht nach Argentinien).

Die Umkehrung \(A \Rightarrow B\) gilt nicht: Um in Südamerika Urlaub zu machen, muss ich nicht zwingend nach Argentinien (ich kann z.B. auch nach Peru). Somit gilt auch die Äquivalenz \(A \Leftrightarrow B\) nicht.

Damit \(A(x) \wedge B(x)\) erfüllt ist, muss A(x) und B(x) gelten, d.h. x muss größer 2 sein und das Quadrat von x kleiner als 17. Zugleich soll x eine ganze Zahl sein. Also sind A und B nur dann erfüllt, wenn x gleich 3 oder 4 ist.

Damit \(A(x) \wedge B(x)\) erfüllt ist, muss A(x) und B(x) gelten, d.h. x muss größer 2 sein und das Quadrat von x kleiner als 16. Zugleich soll x eine reelle Zahl sein. Also muss x im Intervall \((2;\;\infty)\) liegen, damit Aussage A gilt, und zugleich im Intervall (-4; 4), damit Aussage B gilt. Die Schnittmenge dieser beiden Intervalle (und damit der zulässige Bereich für x) ist (2; 4).

Aus den beiden Prämissen folgt keine der Aussagen. Wir wissen, dass alle Kinder Süßigkeiten mögen und Schokolade eine Süßigkeit ist, daraus können wir aber nichts über das Verhältnis von Kindern zu Schokolade folgern. Es kann z.B. sein, dass alle Kinder Gummibärchen oder Eis mögen, aber keine Schokolade. Ebenso kann es ein, dass manche Kinder Schokolade mögen, andere dagegen nicht (und dafür andere Süßigkeiten).