\(A= \begin{pmatrix} 1 & \frac 15 \\ -10 & -2 \end{pmatrix}\)

\((A-\lambda I) \vec{x} = 0\)

\( \begin{pmatrix} 2 & \frac 15 \\ -10 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0\)

Gleichungssystem lösen

\(\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ -10 \end{pmatrix} \) und Vielfache davon

\(A \vec{x}=\lambda \vec x\) wenn

\(\det (A-\lambda E)=0\)

Determinante berechnen

\(\left| \begin{matrix} (1 - \lambda) & \frac 15 \\ -10 & (-2- \lambda) \end{matrix} \right| = (1-\lambda)(-2-\lambda)-(1/5)(-10)=\lambda+\lambda^2\)

\(\lambda+\lambda^2 =0 \) für \(\lambda_1=0, \qquad \lambda_2=-1\)

\(A \vec{x}=\lambda \vec x\) wenn

\(\det (A-\lambda E)=0\)

Determinante berechnen

\(\left| \begin{matrix} (-3 - \lambda) & 0 \\ 3 & (-2- \lambda) \end{matrix} \right| = (-3-\lambda)(-2-\lambda)-0\)

\((-3-\lambda)(-2-\lambda)=0\) für \(\lambda_1= -3 \) , \(\lambda_2=-2\)

\((A-\lambda I) \vec{x} = 0\)

\( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0\)

Gleichungssystem lösen

\(\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \end{pmatrix} \) mit \(x_2 \in R\)

\(A \vec{x}=\lambda \vec x\) wenn

\(\det (A-\lambda E)=0\)

Determinante berechnen

\(\left| \begin{matrix} -3-\lambda & -1 & -1 \\ 24 & 7-\lambda & -6 \\ 12 & 3 & -8-\lambda \end{matrix} \right | \)\(=(-3-\lambda)(7-\lambda)(-8-\lambda)+(-1)(-6)(12)+(-1)\cdot 24 \cdot 3 - 12(7-\lambda)(-1)-3(-6)(-3-\lambda)-(-8-\lambda)24(-1)\)

\(=6-\lambda-4\lambda^2-\lambda^3\)

\(6-\lambda-4\lambda^2-\lambda^3=0\) für \(\lambda_1=-3 ,\qquad \lambda_2=-2 , \qquad \lambda_1=1\)

\((A-\lambda I) \vec{x} = 0\)

\( \begin{pmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 24 & 6 & -6 \\ 12 & 3 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0\)

Gleichungssystem lösen

z=0, y=-4x

\(A \vec{x}=\lambda \vec x\) wenn

\(\det (A-\lambda E)=0\)

Determinante berechnen

\(\left| \begin{matrix} -10-\lambda & 1 & 8 \\ -180 & 17-\lambda & 120 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{matrix} \right|\) \(=20-24\lambda+9\lambda^2-\lambda^3\)

\(20-24\lambda+9\lambda^2-\lambda^3 =0\) für \(\lambda_1=2, \qquad \lambda_2=5\)

\((A-\lambda I) \vec{x} = 0\)

\(\begin{pmatrix} -15 & 1 & 8 \\ -180 & 12 & 120 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0\)

Gleichungssystem lösen

\(x_3=0\)  \(x_2=15x_1\)

Wenn reelle Eigenwerte existieren, so muss es Richtungen geben, die von der Transformation beibehalten werden.
Denn ein Eigenvektor wird unter der Transformation nicht gedreht, sondern nur mit seinem zugehörigen Eigenwert multipliziert (ist der Eigenwert negativ, so ändert sich die Orientierung des Vektors).

Spiegelung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Spiegelachse/-ebene
• Eigenwert -1 für zur Spiegelachse/-ebene orthogonale Vektoren

Skalierung (Streckung/Stauchung)

• alle Vektoren sind Eigenvektoren zum selben Eigenwert

(oder z.B. nur Skalierung der x-Komponente mit Faktor 2 im \(\mathbb{R}^2\): x-parallele Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert 2; y-parallele Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1)

Parallelprojektion auf eine Achse im \(\mathbb{R}^2\) bzw. eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert 1 für Vektoren auf der Achse/in der Ebene
• Eigenwert 0 für Vektoren orthogonal zur Achse/Ebene

Scherung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Scherachse/-ebene
• keine weiteren reellen Eigenwerte, da alle anderen Vektoren durch die Scherung einen Translationsanteil parallel zur Scherachse/-ebene erhalten

Drehung um Punkt im \(\mathbb{R}^2\) (Drehwinkel ungleich 180° + \(n \cdot\)360°, \(n \in \mathbb{Z}\)):

• keine reelle Eigenwerte, da alle Vektoren gedreht werden, kein Vektor behält seine Richtung bei.
• (Drehung um 180° entspricht einer Punktspiegelung, dh. alle Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert -1)

Drehung um Achse im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Drehachse
• keine weiteren reellen Eigenwerte, da alle anderen Vektoren verdreht werden.

Translation:

• ist keine lineare Operation, daher kann es keine Eigenvektoren geben

Schraubung im \(\mathbb{R}^3\):

• keine Eigenvektoren, da Kombination aus Drehung und Translation

Wenn reelle Eigenwerte existieren, so muss es Richtungen geben, die von der Transformation beibehalten werden.
Denn ein Eigenvektor wird unter der Transformation nicht gedreht, sondern nur mit seinem zugehörigen Eigenwert multipliziert (ist der Eigenwert negativ, so ändert sich die Orientierung des Vektors).

Spiegelung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Spiegelachse/-ebene
• Eigenwert -1 für zur Spiegelachse/-ebene orthogonale Vektoren

Skalierung (Streckung/Stauchung)

• alle Vektoren sind Eigenvektoren zum selben Eigenwert

(oder z.B. nur Skalierung der x-Komponente mit Faktor 2 im \(\mathbb{R}^2\): x-parallele Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert 2; y-parallele Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1)

Parallelprojektion auf eine Achse im \(\mathbb{R}^2\) bzw. eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert 1 für Vektoren auf der Achse/in der Ebene
• Eigenwert 0 für Vektoren orthogonal zur Achse/Ebene

Scherung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Scherachse/-ebene
• keine weiteren reellen Eigenwerte, da alle anderen Vektoren durch die Scherung einen Translationsanteil parallel zur Scherachse/-ebene erhalten

Drehung um Punkt im \(\mathbb{R}^2\) (Drehwinkel ungleich 180° + \(n \cdot\)360°, \(n \in \mathbb{Z}\)):

• keine reelle Eigenwerte, da alle Vektoren gedreht werden, kein Vektor behält seine Richtung bei.
• (Drehung um 180° entspricht einer Punktspiegelung, dh. alle Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert -1)

Drehung um Achse im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Drehachse
• keine weiteren reellen Eigenwerte, da alle anderen Vektoren verdreht werden.

Translation:

• ist keine lineare Operation, daher kann es keine Eigenvektoren geben

Schraubung im \(\mathbb{R}^3\):

• keine Eigenvektoren, da Kombination aus Drehung und Translation

Eigenvektoren zum Eigenwert 1, verändern sich unter der Transformation nicht.
Dh. Eigenvektoren zum Eigenwert 1 existieren genau dann, wenn die Transformation bestimmte Richtungen unverändert lässt.

Spiegelung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Spiegelachse/-ebene

Drehung um Achse im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Drehachse

Parallelprojektion auf eine Achse im \(\mathbb{R}^2\) bzw. eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Achse/in der Ebene

Scherung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Scherachse/-ebene

Skalierung einer Vektorkomponente:

• Eigenwert +1 für alle Vektoren, die keinen Anteil in die Richtung der Skalierung haben
• z.B. Skalierung der x-Komponente mit Faktor 2 im \(\mathbb{R}^3\): Vektoren in der yz-Ebene sind Eigenvektoren zum Eigenwert +1

Eigenvektoren zum Eigenwert 1, verändern sich unter der Transformation nicht.
Dh. Eigenvektoren zum Eigenwert 1 existieren genau dann, wenn die Transformation bestimmte Richtungen unverändert lässt.

Spiegelung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Spiegelachse/-ebene

Drehung um Achse im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Drehachse

Parallelprojektion auf eine Achse im \(\mathbb{R}^2\) bzw. eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Achse/in der Ebene

Scherung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Scherachse/-ebene

Skalierung einer Vektorkomponente:

• Eigenwert +1 für alle Vektoren, die keinen Anteil in die Richtung der Skalierung haben
• z.B. Skalierung der x-Komponente mit Faktor 2 im \(\mathbb{R}^3\): Vektoren in der yz-Ebene sind Eigenvektoren zum Eigenwert +1

Eigenvektoren zum Eigenwert 1, verändern sich unter der Transformation nicht.
Dh. Eigenvektoren zum Eigenwert 1 existieren genau dann, wenn die Transformation bestimmte Richtungen unverändert lässt.

Spiegelung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Spiegelachse/-ebene

Drehung um Achse im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Drehachse

Parellelprojektion auf eine Achse im \(\mathbb{R}^2\) bzw. eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Achse/in der Ebene

Scherung:

• Eigenwert +1 für Vektoren auf der Scherachse/-ebene

Skalierung einer Vektorkomponente:

• Eigenwert +1 für alle Vektoren, die keinen Anteil in die Richtung der Skalierung haben
• z.B. Skalierung der x-Komponente mit Faktor 2 im \(\mathbb{R}^3\): Vektoren in der yz-Ebene sind Eigenvektoren zum Eigenwert +1

Eigenvektoren zum Eigenwert -1, ändern nur ihre Orientierung unter der Transformation.

Spiegelung:

• Eigenwert -1 für Vektoren orthogonal zur Spiegelachse/-ebene

Drehung um 180° um den Ursprung im \(\mathbb{R}^2\):

• entspricht Punktspiegelung/Inversion: alle Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert -1

Drehung um 180° um Achse durch den Ursprung im \(\mathbb{R}^3\):

• Eigenwert -1 für Vektoren orthogonal zur Drehachse

Skalierung mit Faktor -1 (von einer oder mehreren Vektorkomponenten):

• Eigenwert -1 für Vektoren parallel zu den skalierten Komponenten bzw. in Ebene der skaltierten Komponenten