Die Spalten der Matrix A sind \(f(e_1)\) und \(f(e_2)\)

\(f(e_1)=f( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)  \(f(e_2)=f( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Die Spalten der Matrix A sind \(f(e_1)\) und \(f(e_2)\)

\(f(e_1)=f( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}\)  \(f(e_2)=f( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}\)

\(A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\)

\(f(x+y)=\left(2(x_1+y_1)+(x_2+y_2)-(x_3+y_3)\\ 2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)\right)\)\(=\left(2x_1+2y_1+x_2+y_2-x_3-y_3\\ 2x_2+2y_2+x_3+y_3\right)=f(x)+f(y)\)

\(f(ax)=\left(2ax_1 +ax_2-ax_3 \\ 2ax_2+ax_3\right)=\left(a(2x_1+x_2-x_3)\\a(2x_2+x_3)\right)=af(x)\)

Gegenbeispiel:

\(x=\left(1\\1\\1\right)\)

\(f(x+x)=f(2x)=\left(3\cdot 4+2\\2\right)= \left(14 \\ 2\right)\)

\(f(x)+f(x)=2 f(x)= 2 \left(3\cdot 1+1 \\ 1\right)=\left(8\\2\right)\)

Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^2\): \(v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)\) und ein \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge:

\(f(\vec{0}) = \vec{0} ?\)

\(f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?\)

\(f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?\)

Überprüfe zunächst Bedingung 1:

\(f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1+ x_2, x_2 -1)\) also \(f(\vec{0}) = f (0,0) = (0+0, 0-1 ) = (0, -1) \neq \vec{0}\)

Somit kann an dieser Stelle schon festgestellt werden, dass es sich um keine lineare Abbildung handelt.

Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^2\): \(v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)\) und ein \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge:

\(f(\vec{0}) = \vec{0} ?\)

\(f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?\)

\(f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?\)

Überprüfen Sie zunächst Bedingung 1:

\(f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1 - x_2, x_2)\)  also \(f(\vec{0}) = f (0,0) = (0-0, 0) = (0, 0) = \vec{0}\)

Bedingung 2:

\(f(v_1) + f(v_2) =(x_1 - x_2, x_2) + (y_1 - y_2, y_2) = (x_1 - x_2 + y_1 - y_2, \; x_2 + y_2) \)

\(f(v_1 + v_2) = f( x_1 + y_1, x_2 +y_2) =(x_1 + y_1 - x_2 - y_2, \; x_2 +y_2)\)

Bedingung 2 ist also erfüllt.

Nun Bedingung 3:

\(f( \lambda v_1) = f( \lambda x_1, \lambda x_2) =\\ = ( \lambda x_1 - \lambda x_2, \; \lambda x_2)= \\ = (\lambda (x_1 - x_2), \; \lambda x_2) = \\ = \lambda (x_1 - x_2, \; x_2) = \lambda f(v_1) \)

Somit sind alle 3 Bedingungen erfüllt und die Abbildung ist linear.

Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^2\): \(v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)\) und ein \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge:

\(f(\vec{0}) = \vec{0} ?\)

\(f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?\)

\(f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?\)

Bedingung 1:

\(f: (x_1, x_2) \mapsto (x_2, \; 0, \; 3x_1 - 2x_2)\) also \(f(\vec{0}) = f (0,0) = (0, 0, 3\cdot 0-2 \cdot 0 ) = (0, 0, 0)=\vec{0}\)

Bedingung 2:

\(f(v_1) + f(v_2) =(x_2, 0, 3x_1 - 2x_2) + (y_2, 0, 3y_1 - 2y_2) = (x_2 + y_2 , 0 + 0, 3x_1 - 2x_2 + 3y_1 - 2y_2) = \\ = (x_2 + y_2 , 0, 3x_1 - 2x_2 + 3y_1 - 2y_2) \)

\(f(v_1 + v_2) =(x_2 + y_2, 0, 3(x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2)) = (x_2 + y_2, 0, 3x_1 + 3y_1 - 2x_2 - 2y_2) = \\ =(x_2 + y_2, 0, 3x_1 - 2x_2 + 3y_1 - 2y_2) \)

Bedingung 3:

\(f( \lambda v_1) = f( \lambda x_1, \lambda x_2) =\\ = ( \lambda x_2, 0 , 3 \lambda x_1 -2 \lambda x_2)= \\ = \lambda (x_2, 0 , 3 x_1 -2 x_2) = \lambda f(v_1) \)

Alle 3 Bedingungen sind erfüllt, die Abbildung ist linear.

Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^2\): \(v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)\) und ein \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge:

\(f(\vec{0}) = \vec{0} ?\)

\(f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?\)

\(f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?\)

Bedingung 1:

\(f: (x_1, x_2) \mapsto (x_2, \; 0, \; 3x_1-2)\) also \(f(\vec{0}) = f (0,0) = (0, 0, 3\cdot 0-2 ) = (0, 0, -2) \neq \vec{0}\)

Somit ist die Abbildung nicht linear.

Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^4\): \(v_1=(x_1,x_2, x_3, x_4) \text{ und } v_2=(y_1,y_2, y_3, y_4)\) und ein \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge:

\(f(\vec{0}) = \vec{0} ?\)

\(f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?\)

\(f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?\)

Bedingung 1:

 \(f \;: \; (x_1, x_2, x_3, x_4) \mapsto (x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4)\) also \(f(\vec{0}) = f (0,0,0,0) = (0 \cdot e^0, 0 \cdot 0, \sin (0)) = (0, 0, 0)=\vec{0}\)

Bedingung 2:

\(f(v_1) + f(v_2) =(x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4) + (y_1 e^{y_1}, \; y_2y_3, \; \sin y_4) =\\ = (x_1 e^{x_1} + y_1 e^{y_1}, \; x_2x_3 + y_2y_3, \; \sin x_4 + \sin y_4) \)

\(f(v_1+v_2) = f( x_1+y_1 , x_2 + y_2, x_3 + y_3, x_4 + y_4)= \\ = ( (x_1 +y_1) e^{x_1 + y_1}, \; (x_2 + y_2)(x_3 +y_3), \; \sin (x_4+y_4) )\)

Hier ist klar zu erkennen, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist. \(\rightarrow f(v_1) + f(v_2) \neq f(v_1+v_2)\)

Die Abbildung ist nicht linear.

Wähle zwei Polynome \(p_1, \; p_2\) und \(\lambda \in \mathbb{R}\)

Zu überprüfen ist wieder:

\(f(p_1) + f(p_2) = f(p_1+p_2) ?\)

\(f(\lambda p_1) = \lambda f(p_1) ?\)

Also:

\(f(p_1) + f(p_2) = p_1(x+1) + p_2(x+1) = (p_1+p_2)(x+1) = f(p_1+p_2)\)

Und:

\(f(\lambda p_1) = (\lambda p_1) (x+1) = \lambda p_1(x+1) = \lambda f(p_1)\)

Die Abbildung ist also linear.

Dafür gibt es eine hilfreiche Eselsbrücke:

"Willst die Matrix du erhalten, schreibe die Bilder (der Einheitsvektoren) in die Spalten!"

Das heißt, man muss überlegen, was mit den drei Einheitsvektoren des \(\mathbb{R}^3\) unter der Wirkung von f passiert.

Betrachtet man z.B. \(\vec{e_1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)\) , so wird dieser auf die xy-Eben projeziert, verliert also nur seine dritte Komponente:

\(f(\vec{e_1}) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)\)

Analoges gilt für  \(\vec{e_2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)\) :

\(f(\vec{e_2}) = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ \end{array}\right)\)

Bei \(\vec{e_3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \\\ \end{array}\right)\) sieht es etwas anders aus, da ja parallel zur z-Achse in die Ebene hinunter projeziert wird (jeder Punkt, der eine z-Koordinate hat, endet also in der Ebene z=0, allerdings mit denselben x und y Koordinaten):

\(f(\vec{e_3}) = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)\)

Für die Abbildungsmatrix müssen wir nun noch die drei Bilder der Einheitsvektoren zusammensetzen:

\(A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\)

Die Bilder der Einheitsvektoren ergeben die Abbildungsmatrix

\(\vec{e_1} \mapsto \left( \begin{array}{c} -4 \\\ 7 \\\ \end{array}\right)\) und \(\vec{e_2} \mapsto \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ \end{array}\right)\)

also

\(A = \left( \begin{array}{rr} -4 & 2 \\ 7 & 5 \end{array}\right)\)

Die Zeilenzahl der Matrix \(A\) muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein.

Daher muss die Dimension der Matrix \(A\) gleich 2x3 sein.

Dann ist die Matrizenmultiplikation \(A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\) definiert.

Die Zeilenzahl der Matrix \(A\) muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein.

Daher muss die Dimension der Matrix \(A\) gleich 3x2 sein.

Dann ist die Matrizenmultiplikation \(A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}\) definiert.

Die Zeilenzahl der Matrix \(A\) muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein.

Daher muss die Dimension der Matrix \(A\) gleich 4x2 sein.

Dann ist die Matrizenmultiplikation \(A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}\) definiert.

Die Zeilenzahl der Matrix \(A\) muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein.

Daher muss die Dimension der Matrix \(A\) gleich 4x3 sein.

Dann ist die Matrizenmultiplikation \(A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}\) definiert.

Die Zeilenzahl und die Spaltenzahl der Matrix A sind die Dimension der Ziel- bzw. der Definitionsmenge, also hier 2x3.
Die Spalten der Matrix A sind die Bilder der Standardbasis der Definitionsmenge, hier des \(\mathbb{R}^3\).

Die Zeilen der Matrix A haben keine besondere Bedeutung.

Die Zeilenzahl und die Spaltenzahl der Matrix A sind die Dimension der Ziel- bzw. der Definitionsmenge, also hier 4x2.
Die Spalten der Matrix A sind die Bilder der Standardbasis der Definitionsmenge, hier des \(\mathbb{R}^2\).
Erste Spalte: \(f( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} )\)

Zweite Spalte: \(f( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} )\)

Die Zeilen der Matrix A haben keine besondere Bedeutung.

Eine Abbildung \(f: \; \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k, \; x \mapsto f(x)\) ist linear genau dann, wenn:

\(f(x+y) = f(x) + f(y)\)  für alle \(x, y \in \mathbb{R}^n\)

und \(f(\lambda x) = \lambda f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^n, \; \lambda \in \mathbb{R}.\)

Insbesondere gilt dann stets (wähle \(\lambda = 0\)):

\(f(0) = 0\)

Eine Abbildung \(f: \; \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k, \; x \mapsto f(x)\) ist linear genau dann, wenn:

\(f(x+y) = f(x) + f(y)\)  für alle \(x, y \in \mathbb{R}^n\)

und \(f(\lambda x) = \lambda f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^n, \; \lambda \in \mathbb{R}.\)

Insbesondere gilt dann stets (wähle \(\lambda = 0\)):

\(f(0) = 0\)

Eine Abbildung \(f: \; \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k, \; x \mapsto f(x)\) ist linear genau dann, wenn:

\(f(x+y) = f(x) + f(y)\)  für alle \(x, y \in \mathbb{R}^n\)

und \(f(\lambda x) = \lambda f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^n, \; \lambda \in \mathbb{R}.\)

Insbesondere gilt dann stets (wähle \(\lambda = 0\)):

\(f(0) = 0\)

Eine Abbildung \(f: \; \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k, \; x \mapsto f(x)\) ist linear genau dann, wenn:

\(f(x+y) = f(x) + f(y)\)  für alle \(x, y \in \mathbb{R}^n\)

und \(f(\lambda x) = \lambda f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^n, \; \lambda \in \mathbb{R}.\)

Insbesondere gilt dann stets (wähle \(\lambda = 0\)):

\(f(0) = 0\)

Bei der Hintereinanderausführung \(h = f \circ g\) wird zuerst die Abbildung \(g\) ausgeführt, dann die Abbildung \(f\).

Es gilt \(h ( \vec{x} ) = \left( f \circ g \right) (\vec{x} ) = f \left( g(\vec{x} ) \right)\).

Werden lineare Abbildungen durch Matrizen beschrieben, so entspricht die Hintereinanderausführung einer Matrixmultiplikation.
Achtung: Auf die Reihenfolge achten, da die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist!

Wenn die Matrixdarstellungen gegeben sind als \(g(\vec{x}) = G \cdot \vec{x}, \quad f(\vec{x}) = F \cdot \vec{x}\),

dann gilt für die Hintereinanderausführung

\(h(\vec{x}) = f\left( g(\vec{x}) \right) = F \cdot G \cdot \vec{x}\).

(Die rechte Matrix gehört zu jener Abbildung, die zuerst ausgeführt wird.)

Eine Abbildung \(f: \; \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k, \; x \mapsto f(x)\) ist linear genau dann, wenn:

\(f(x+y) = f(x) + f(y)\)  für alle \(x, y \in \mathbb{R}^n\)

und \(f(\lambda x) = \lambda f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}^n, \; \lambda \in \mathbb{R}.\)

Insbesondere gilt dann stets (wähle \(\lambda = 0\)):

\(f(0) = 0\)