Fragenliste von Orthogonalität und Skalarprodukt

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 0 \end{pmatrix} \) \(\vec b = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}\) Nr. 2107
	\(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 6\\ -8\\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \cdot \vec b =-2\)
	\(\vec a \cdot \vec b =0\)
Lösungsweg \(\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 3 + (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 5 = -2\)

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 2108
	\(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 10\\ 1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 5 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec a \cdot \vec b = 14\)
	\(\vec a \cdot \vec b = 15\)
Lösungsweg \(\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} =1 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 15\)

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}\) \(\vec b = \begin{pmatrix} -4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\) Nr. 2333
	-8
	\( \begin{pmatrix} -8\\ -3\\ 3 \end{pmatrix}\)
	14
Lösungsweg \( \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}= 2\cdot (4-)+3\cdot (-1) + 3\cdot 1=-8\)

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b \(\vec a = \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ 9 \end{pmatrix} \) \(\vec b = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\) Nr. 2335
	9z-2x
	\( \begin{pmatrix} -2x\\ 0y\\ 9z \end{pmatrix} \)
	2x+y+9z
	\( \begin{pmatrix} -2x\\ 0\\ 9z \end{pmatrix} \)

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(25\|13\|4)\), \(B=(11\|5\|10)\), \(C=(20\|0\|-25)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2513
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.
Lösungsweg \(\vec {AB}= \begin{pmatrix} 14\\ 8 \\-6 \end{pmatrix}\),\(\vec{AC}=\begin{pmatrix} 5 \\ 13 \\ 29 \end{pmatrix}\) \(\vec{AB} \cdot \vec {AC} = 14 \cdot 5 + 8 \cdot 13 -6 \cdot 29 = 0\)

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(2\|1\|0)\), \(B=(2\|-3\|-4)\), \(C=(1\|-1\|-2)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2514
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(-1\|1\|2)\), \(B=(-2\|2\|4)\), \(C=(0\|3\|4)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2515
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(4\|2\|1)\), \(B=(13\|6\|5)\), \(C=(7\|8\|2)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2516
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks \(ABC\)? \(A=(-1\|1\|2)\), \(B=(2\|1\|5)\), \(C=(1\|-1\|3)\) Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2518
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Berechne das Skalarprodukt: \(\begin{pmatrix}2\\-3\\-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-2\\4\end{pmatrix}\) Nr. 2522
	-5
	-2
	1
	5
	14

Berechne das Skalarprodukt: \(\begin{pmatrix}3\\9\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}\) Nr. 2526
	-4
	0
	2
	5
	11

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}4\\5\\z\end{pmatrix}\) Nr. 2527
	z=-2,8
	z=1,5
	z=2,8
	z=3,5
	z=4,1
Lösungsweg \(4+10-5z=0 \\ 14/5=z\)

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}2\\-3\\-4\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}4\\y\\4\end{pmatrix}\) Nr. 2528
	y=-2,67
	y=3,2
	y=3,67
	y=4,5
	y=5,33
Lösungsweg \(8-3y-16=0 \\ -8/3=z\)

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}x\\4\\1\end{pmatrix}\) Nr. 2529
	x=-4,5
	x=-2
	x=-0,67
	x=1,5
	x=3,2
Lösungsweg \(4x+4+4=0 \\ x=-8/4=-2\)

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}x\\-2\\-3\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) Nr. 2530
	x=-2
	x=-1,5
	x=0
	x=2,2
	x=3
Lösungsweg \(x-3=0\\ x=3\)

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}-2\\-3\\z\end{pmatrix}\) Nr. 2531
	z=-2,2
	z=-1,8
	z=0,5
	z=1
	z=2,8

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? \(\begin{pmatrix}3\\9\\z\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}\) Nr. 2532
	z=-2,5
	z=0,2
	z=3
	z=4,5
	z=5,2

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor \(\vec n\), der normal auf diese Ebene steht. \(A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) , \(B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}\) , \(C = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}\) Nr. 3008
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 18 \\ 60 \\ -12 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} -3 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec {AB} = B - A\) und \(\vec {AC} = C - A\) \(\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC} \)

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor \(\vec n\), der normal auf diese Ebene steht. \(A = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) Nr. 3009
	Die Punkte A, B, C bilden keine Ebene, Aufgabe daher unlösbar.
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec {AB}\) entspricht der z-Achse, \(\vec {AC}\) entspricht der x-Achse. \(\vec n\) muss daher parallel zur y-Achse sein.

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor \(\vec n\), der normal auf diese Ebene steht. \(A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) , \(B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(C = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) Nr. 3010
	Es gibt keine Lösung, da A, B, C keine Ebene bilden.
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)
	\(\vec n = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC} \)

Bestimmen Sie die Parameter \(u\) und \(v\) so, dass der Vektor \(\vec c\) sowohl zu \(\vec a\) als auch zu \(\vec b\) orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Vektorprodukts. \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} u \\ 1 \\ v \end{pmatrix}\) Nr. 3012
	\(u = 4,6 \\ v = -4,8\)
	\(u = -23 \\ v = 24\)
	\(u = -4,6 \\ v = 4,8\)
	\(u = -4,8 \\ v = 4,6\)
Lösungsweg \(\vec a \times \vec b\) ist orthogonal auf \(\vec a\) und auf \(\vec b\), daher parallel zu \(\vec c\).

Bestimmen Sie die Parameter \(u\) und \(v\) so, dass der Vektor \(\vec c\) sowohl zu \(\vec a\) als auch zu \(\vec b\) orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Skalarprodukts. \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) , \(\vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix}\) , \(\vec c = \begin{pmatrix} u \\ 1 \\ v \end{pmatrix}\) Nr. 3013
	\(u = 4,6 \\ v = -4,8\)
	\(u = 4,8 \\ v = -4,6\)
	\(u = -4,6 \\ v = 4,8\)
	\(u = -4,8 \\ v = 4,6\)
Lösungsweg Die Skalarprodukte zweier ortogonaler Vektoren sind 0. \(\vec a \cdot \vec c = 0\) und \(\vec b \cdot \vec c = 0\)

Gegeben ist der Vektor \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\) Finden Sie den Vektor \(\vec b\), der normal auf \(\vec a\) steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von \(\vec a\) hat. Nr. 3019
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 3,32 \\ -1,11 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{2 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor \(\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) repräsentieren. Der gesuchte Vektor \(\vec b\) ist also normal zu \(\vec a\) und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): \(\vec b' = \vec a \times \vec z\) \(\\| \vec a\| = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{7}{2}\) \(\vec b = \frac{7}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}\)

Gegeben ist der Vektor \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\) Finden Sie den Vektor \(\vec b\), der normal auf \(\vec a\) steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von \(\vec a\) hat. Nr. 3020
	\(\vec b = \begin{pmatrix} 4,37 \\ -1,09 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
	\(\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor \(\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) repräsentieren. Der gesuchte Vektor \(\vec b\) ist also normal zu \(\vec a\) und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): \(\vec b' = \vec a \times \vec z\) \(\\| \vec a\| = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{9}{2}\) \(\vec b = \frac{9}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}\)

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