Alle Vektoren in \(\mathbb{R}^2\) lassen sich als Linearkombination der Vektoren \( \begin{pmatrix}1 \\\ 0 \end{pmatrix} \) und \(\begin{pmatrix}0 \\\ 1 \end{pmatrix} \) darstellen

Es muss gelten \(v_1\vec b_1+v_2 \vec b_2 + v_3 \vec b_3 = v'_1\vec b'_1+v'_2 \vec b'_2 + v'_3 \vec b'_3 \)

Mit den Vektoren b als Spalten der Matrix

\(\vec B= \begin{pmatrix} 1 && 1/2 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 1 \end{pmatrix}\)

Ist der transformierte Vektor

\(\vec v' = B^{-1} \vec{v}\)

\(\vec v'= \begin{pmatrix} 0 && 1 && 0 \\ 2 && -2 && 0 \\ -2 && 2 && 1 \end{pmatrix} \vec v\)

\(\vec v'= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Es muss gelten \(v_1\vec b_1+v_2 \vec b_2 + v_3 \vec b_3 = v'_1\vec b'_1+v'_2 \vec b'_2 + v'_3 \vec b'_3 \)

 \(\vec v_s =v_1\vec b_1+v_2 \vec b_2 + v_3 \vec b_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\-4 \end{pmatrix}\)

Mit den Vektoren b' als Spalten ist

\(B'= \begin{pmatrix} 1 && 0 && -1 \\ 0 && 2 && 0 \\ 0 && 2 && -2 \end{pmatrix}\)

\(\vec v' = B^{-1}\vec v_s\)

\(\vec v'= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Zu überprüfen sind drei Bedingungen, \(\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}\):

\( \vec{0} \in V ?\)

\(v_1 + v_2 \in V ?\)

\( \lambda v_1 \in V?\)

Wähle also: \(v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)\)

Bedingung 1: ist erfüllt, da 0+0=0

Bedingung 2:

\(v_1 + v_2 = (x_1 + y_1 , \; x_2 + y_2) \)

Der Teilraum ist wie folgt bestimmt: \(V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+x_2=0 \}\), also muss überprüft werden, ob \(v_1 + v_2\) dies Bedingung des Teilraums erfüllt:

\((x_1 + y_1 + x_2 + y_2) = (x_1 + x_2 + y_1 + y_2)\)  

Nach Vorraussetzung sind aber \( v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \), also \((x_1 + x_2 + y_1 + y_2) = (0 + 0 ) = 0\)

\(\rightarrow (v_1 + v_2) \in V\)

Bedingung 3:

\(\lambda v_1 = \lambda (x_1, x_2) \), überprüfe die Teilraumbedingung:
\(\lambda x_1 + \lambda x_2 = 0 ? \\ \lambda x_1 + \lambda x_2 = \lambda (x_1 + x_2) = \lambda \cdot 0 = 0\)

Somit sind alle drei Bedingungen erfüllt und es handelt sich um einen Teilraum.

Zu überprüfen sind drei Bedingungen, \(\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}\):

\( \vec{0} \in V ?\)

\(v_1 + v_2 \in V ?\)

\( \lambda v_1 \in V?\)

Wähle also: \(v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)\)

Bedingung 1: \(0 + 0 = 0 \neq 1\)

Hier ist schon Bedingung 1 nicht erfüllt, es handelt sich um KEINEN Teilraum!

Zu überprüfen sind drei Bedingungen, \(\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}\):

\( \vec{0} \in V ?\)

\(v_1 + v_2 \in V ?\)

\( \lambda v_1 \in V?\)

Wähle also: \(v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)\)

Bedingung 1: ist erfüllt, da \(0+0^2=0\), also \( \vec{0} \in V\)

Bedingung 2:

\(v_1 + v_2 = (x_1 + y_1 , \; x_2 + y_2) \)

Der Teilraum ist wie folgt bestimmt: \(V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+(x_2)^2=0 \}\) , also muss überprüft werden, ob \(v_1 + v_2\) diese Bedingung des Teilraums erfüllt:

\((x_1 + y_1 + (x_2 + y_2)^2 ) = (x_1 + y_1 + (x_2)^2 + 2x_2y_2 + (y_2)^2) = \\ = (x_1 + (x_2)^2 ) + (y_1 + (y_2)^2) + 2x_2y_2 = 0 + 0 + 2x_2y_2 \; \text{ da } \; v_1 \in V \; , \; v_2 \in V\)

Also: \((x_1 + y_1 + (x_2 + y_2)^2 ) = 0 + 0 + 2x_2y_2 \neq 0\), daher \(v_1 + v_2 \notin V\)

Es handelt sich also um KEINEN Teilraum.

Zu überprüfen sind drei Bedingungen, \(\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}\):

\( \vec{0} \in V ?\)

\(v_1 + v_2 \in V ?\)

\( \lambda v_1 \in V?\)

Wähle also: \(v_1=(x_1,x_2, x_3) \text{ und } v_2=(y_1,y_2, y_3)\)

Bedingung 1: ist erfüllt, da \(4 \cdot 0 - 0 + 7 \cdot 0 = 0 -0+0=0\), also \( \vec{0} \in V \)

Bedingung 2:

\(v_1 + v_2 = (x_1 + y_1 , \; x_2 + y_2, \; x_3 + y_3) \)

Der Teilraum ist wie folgt bestimmt: \(V: \; \{ (x_1, \; x_2, \; x_3) \; \mid \; 4x_1-x_2 + 7x_3=0 \}\), also muss überprüft werden, ob \(v_1 + v_2\) dies Bedingung des Teilraums erfüllt:

\(4(x_1 + y_1)-(x_2-y_2) + 7(x_3+y_3)=0 ?\)

\(4(x_1 + y_1)-(x_2+y_2) + 7(x_3+y_3) = \\ = 4x_1 + 4y_1-x_2-y_2 + 7x_3+7y_3= \\ = (4x_1 -x_2+ 7x_3 ) + (4y_1 -y_2 + 7y_3)= \\ = 0 + 0 = 0 \)

also \(v_1 + v_2 \in V \)

Bedingung 3:

\(\lambda v_1 = \lambda (x_1, x_2, x_3) \), überprüfe die Teilraumbedingung:
\(4 \cdot( \lambda x_1) - \lambda x_2 + 7 \cdot ( \lambda x_3) = 0 ? \\ 4\lambda x_1 - \lambda x_2 + 7\lambda x_3= \\ = \lambda ( 4 x_1 - x_2 + 7x_3) = \lambda \cdot 0 = 0 \)

Also \( \lambda v_1 \in V\)

Alle drei Bedingungen sind erfüllt, es handelt sich um einen Teilraum.

Zu überprüfen sind drei Bedingungen, \(\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}\):

\( \vec{0} \in V ?\)

\(v_1 + v_2 \in V ?\)

\( \lambda v_1 \in V?\)

Wähle also: \(v_1=(x_1,x_2, x_3) \text{ und } v_2=(y_1,y_2, y_3)\)

Bedingung 1: ist erfüllt, da \( 0 +2 \cdot 0 = 0 \) und \(0^2=0\), also \( \vec{0} \in V \)

Bedingung 2:

\(v_1 + v_2 = (x_1 + y_1 , \; x_2 + y_2, \; x_3 + y_3) \)

Der Teilraum ist wie folgt bestimmt:  \(V: \; \{ (x_1, \; x_2, \; x_3) \; \mid \; x_1 +2x_3=0 \text{ und } (x_{2})^4=0 \}\), also muss überprüft werden, ob \(v_1 + v_2\) dies Bedingung des Teilraums erfüllt:

\((x_1 + y_1)+2(x_3+y_3) =0 ? \; \text{ und } \; (x_2+y_2)^4=0 ?\)

\(x_1 + y_1+2x_3+2y_3 = (x_1 +2x_3) + ( y_1+2y_3 ) = 0 + 0 = 0 \\ \text{ nun gilt es noch folgendes zu betrachten } \; (x_2+y_2)^4=0?\)

Da aber \( v_1 \in V \; , \; v_2 \in V\) wissen wir, dass sowohl  \((x_2) ^4 = 0 \; \text{ als auch } \; (y_2) ^4=0. \)

\(\text{Darauf folgt allerdings jeweils: }\; x_2 = 0 \; \text{ und } \; y_2=0\)

Das heißt: \((x_2+y_2)^4=( 0 + 0 )^4 = 0^4 = 0\)

Also \(v_1 + v_2 \in V \).

Bedingung 3:

\(\lambda v_1 = \lambda (x_1, x_2, x_3) \), überprüfe die Teilraumbedingung:
\(( \lambda x_1) +2\cdot ( \lambda x_3) = 0 ? \; \text{ und } \; (\lambda x_2)^4=0? \\ \lambda x_1 +2 \lambda x_3 = \lambda (x_1 + 2x_3) = \lambda \cdot 0 = 0 \\ \)

und

\((\lambda x_2)^4= \lambda ^4 (x_2)^4 = \lambda ^4 \cdot 0 = 0\)

Also \( \lambda v_1 \in V\).

Alle drei Bedingungen sind erfüllt, es handelt sich um einen Teilraum.