\(Z_C=\frac{1}{i \omega C}\)                \(\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 100 kHz\)

\(Z_C=-i\frac{1}{ \omega C}\)

\(Z_C=-i\frac{1}{ 2 \pi \cdot 100 kHz \cdot 20 \mu F} = -i \cdot 79,57 k\Omega\)

\(Z_L=i \omega L\)                \(\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 100 kHz\)

\(Z_L=i \cdot 2 \pi \cdot 100 kHz \cdot 10 m H} = i \cdot 6,28 k\Omega\)

In diesem Beispiel hat die komplexe Zahl z also folgende Form:

\(z = -81 + i \cdot 0\)

Nun berechnet man den Betrag und das Argument:

\(r = |z| = 81 \\ \varphi = \arctan \Big( \frac{0}{-81} \Big) = \arctan(0) = \pi\)

Für unsere Gleichung \(\sqrt[4]{-81}=0\) erwarten wir vier Lösungen:

\(\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{81} \exp\Big( i \frac{\pi + 2n\pi}{4} \Big) \text{ mit } n \in \{0,1,2,3\}\)

Somit erhält man folgende vier Lösungen:

\(z_0 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi}{4} \Big) \\ z_1 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi + 2\pi}{4}\Big) = 3 \exp \Big(i \frac{3\pi}{4}\Big) \\ \)

\(z_2 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi + 2 \cdot 2\pi}{4}\Big) = 3 \exp \Big(i \frac{5\pi}{4}\Big)\\ z_3 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi + 2 \cdot 3\pi}{4}\Big) = 3 \exp \Big(i \frac{7\pi}{4}\Big)\)

\(Z = R + j \omega L = 330 + 20j\)

\(\mid Z \mid = \sqrt{330^2+20^2} = \sqrt{108900}\)

\(\varphi = \arctan \Big( \frac{Im(Z) } {Re(Z)} \Big) = \arctan \Big( \frac{20} {330} \Big) = 3.47^\circ = 0.06 \text{rad}\)

\(Z = \sqrt{108900} \; e^{j \cdot 0.06}\)

Die komplexe Impedanz ist gegeben durch:

\(Z = R + jX_L\)

\(X_L = \omega L = 2\pi \cdot f \cdot L= 2\pi \cdot 100000 \cdot 0.02 = 4000\pi\)

\(Z = 100 + j\cdot 4000\pi\)

Der Scheinwiderstand ist gegeben durch:

\(\mid Z \mid = \sqrt{100^2 +(4000\pi)^2 } \approx 12.57 k\Omega \)

Der Scheinwiderstand ist der Betrag der komplexen Impedanz Z.

Die komplexe Impedanz Z erhalten Sie durch:

\(Z =Z_L + Z_C = j \omega L - j \frac{1}{\omega C} = j \big( 2\pi fL - \frac{1}{2\pi f C} \big) = j \big( 2\pi \cdot 50000 \cdot 0.1 - \frac{1}{2\pi \cdot 50000 \cdot 20 \cdot 10^{-6}} \big) \)

\(Z = j \big(10000\pi - \frac{1}{2\pi} \big)\)

Der Scheinwiderstand ergibt sich aus:

\(\mid Z \mid = \sqrt{ \big(10000\pi - \frac{1}{2\pi} \big)^2} = \big(10000\pi - \frac{1}{2\pi} \big) \approx 31.4 k\Omega\)

Die komplexe Impedanz Z ist gegeben durch:

\(Z = R + j Z_L = R + j \omega L = R + j \cdot 2\pi f L = 1000 + j \cdot 2 \pi \cdot 100000 \cdot 0.15 = 1000 + j \cdot 30000\pi\)

Für die Exponentialdarstellung benötigen Sie den Betrag von Z und das Argument von Z:

\(\mid Z \mid = \sqrt{1000^2 + (30000\pi)^2} \approx 94253.08 \Omega\)

\(\varphi = \arctan \Big( \frac{ Im(Z)}{Re(Z)} \Big) = \arctan \Big( \frac{ 30000\pi}{1000} \Big) = 89.39^\circ = 1.56 \text{rad}\)

\(Z \approx 96k \Omega \cdot \text{e}^{ 1.56j}\)