\(9+12i+4i^2= 9+12i-4=5+12i\)

\(i^2=-1\)

Der Integrand hat einen Pol bei \(z_0 = \pi\).

Man kann somit das Integral auch schreiben als:

\(\oint_{|z|=5} \frac{f(z)}{z-z_0} dz\)

Mit der Integralformel von Cauchy folgt dann:

\(\oint_{|z|=5} \frac{f(z)}{z-z_0} dz = 2\pi i f(z_0)\)

Daher gilt:

\(\oint_{|z|=5} \frac{1-\pi \cos(z) + e^z}{z-\pi} dz = 2\pi i f(z_0) = 2\pi i (1+\pi + e^\pi )\)

Gelöst werden muss die Gleichung:

\( 4x^2 - 12x + 34= 0\)

Dies kann mit Hilfe der großen Lösungsformel getan werden:

\( ax^2 +bx + c= 0 \rightarrow x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\)

Also in diesem Fall:

\(x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot 4 \cdot 34} }{2\cdot 4} = \frac{12 \pm \sqrt{-400} }{8}\)

\(x_{1} = \frac{12 }{8} + i \cdot \frac{\sqrt{400} }{8} = \frac{12}{8} + i \cdot \frac{20 }{8} = \frac{3}{2} + i \cdot \frac{5 }{2} \)

Da die beiden Lösungen immer komplexkonjugiert sind, folgt sofort:

\(x_{2} = \frac{3}{2} - i \cdot \frac{5 }{2} \)

Gelöst werden muss die Gleichung:

\( 3x^2 +2x + 15=0\)

Dies kann mit Hilfe der großen Lösungsformel getan werden:

\( ax^2 +bx + c= 0 \rightarrow x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\)

Also in diesem Fall:

\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot 15} }{2\cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{-176} }{6}\)

\(x_{1} = \frac{-2}{6} + i \cdot \frac{\sqrt{176} }{6} = -\frac{1}{3} + i \cdot \frac{4\sqrt{11} }{6} = -\frac{1}{3} + i \cdot \frac{2\sqrt{11} }{3}\)

Da die beiden Lösungen immer komplexkonjugiert sind, folgt sofort:

\(x_{2} = -\frac{1}{3} - i \cdot \frac{2\sqrt{11} }{3}\)

Zu lösen ist also folgende Gleichung:

\( z^3 + 2 - 3i = 0\)

\(\rightarrow z = \sqrt[3]{-2+3i} \)

Für das n-te Wurzelziehen einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt:

\(\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \big( \cos \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} + i\cdot \sin \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} \big)\), wobei \(r = \mid z \mid\), \(\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}\) und \(k = 0, 1, 2,...., n-1\).

Das heißt, zuerst müssen \(r\) und \(\varphi\) bestimmt werden:

Da z im zweiten Quadranten der komplexen Zahleneben liegt, gilt:

\(\varphi = \arctan \Big( \frac{3}{-2} \Big) + 180^\circ = 123.69^\circ\)

\(r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{(-2)^2+3^2}= \sqrt{13}\)

Wir erhalten 3 Lösungen:

\( z_0 = \sqrt[3]{\sqrt{13}} \big( \cos \frac{ 123.69^\circ + 0\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 123.69^\circ + 0\cdot 360^\circ}{3} \big) \)

\(z_0 \approx 1.53 \big( \cos (41.23^\circ) + i\cdot \sin (41.23^\circ) \big)\)

\(z_1 = \sqrt[3]{\sqrt{13}} \big( \cos \frac{ 123.69^\circ + 1\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 123.69^\circ + 1\cdot 360^\circ}{3} \big) \)

\(z_1 \approx 1.53 \big( \cos (161.23^\circ) + i\cdot \sin (161.23^\circ) \big)\)

\(z_2 = \sqrt[3]{\sqrt{13}} \big( \cos \frac{ 123.69^\circ + 2\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 123.69^\circ + 2\cdot 360^\circ}{3} \big) \)

\(z_2 \approx 1.53 \big( \cos (281.23^\circ) + i\cdot \sin (281.23^\circ) \big)\)

Zu lösen ist also folgende Gleichung:

\( z^2 + 4 +3i = 0 \\ \rightarrow z = \sqrt[2]{-4-3i}\)

Für das n-te Wurzelziehen einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt:

\(\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \big( \cos \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} + i\cdot \sin \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} \big)\), wobei \(r = \mid z \mid\), \(\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}\) und \(k = 0, 1, 2,...., n-1\).

Das heißt, zuerst müssen \(r\) und \(\varphi\) bestimmt werden:

Da z im dritten Quadranten der komplexen Zahleneben liegt, gilt:

\(\varphi = \arctan \Big( \frac{-3}{-4} \Big) + 180^\circ = 216.87^\circ\)

\(r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}= 5\)

Wir erhalten 2 Lösungen:

\( z_0 = \sqrt[2]{5} \big( \cos \frac{ 216.87^\circ + 0\cdot 360^\circ}{2} + i\cdot \sin \frac{ 216.87^\circ + 0\cdot 360^\circ}{2} \big) \)

\( z_0 = \sqrt{5} \big( \cos (108.44^\circ) + i\cdot \sin (108.44^\circ) \big)\)

\( z_1 = \sqrt[2]{5} \big( \cos \frac{ 216.87^\circ + 1\cdot 360^\circ}{2} + i\cdot \sin \frac{ 216.87^\circ + 1\cdot 360^\circ}{2} \big) \)

\( z_1 = \sqrt{5} \big( \cos (288.44^\circ) + i\cdot \sin (288.44^\circ) \big)\)

Zu lösen ist also folgende Gleichung:

\( z - \sqrt[3]{-1-4i} = 0 \\ \rightarrow z =\sqrt[3]{-1-4i}\)

Für das n-te Wurzelziehen einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt:

\(\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \big( \cos \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} + i\cdot \sin \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} \big)\), wobei \(r = \mid z \mid\), \(\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}\) und \(k = 0, 1, 2,...., n-1\).

Das heißt, zuerst müssen \(r\) und \(\varphi\) bestimmt werden:

Da z im dritten Quadranten der komplexen Zahleneben liegt, gilt:

\(\varphi = \arctan \Big( \frac{-4}{-1} \Big) + 180^\circ = 255.96^\circ\)

\(r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2}= \sqrt{17}\)

Sie erhalten 3 Lösungen:

\( z_0 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos \frac{255.96^\circ+ 0\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 255.96^\circ + 0\cdot 360^\circ}{3} \big) \)

\(z_0 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos (85.32^\circ )+ i\cdot \sin (85.32^\circ) \big)\)

\( z_1 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos \frac{255.96^\circ+ 1\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 255.96^\circ + 1\cdot 360^\circ}{3} \big) \)

\(z_1 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos (205.32^\circ )+ i\cdot \sin (205.32^\circ) \big)\)

\( z_2 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos \frac{255.96^\circ+ 2\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 255.96^\circ + 2\cdot 360^\circ}{3} \big) \)

\(z_2 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos (325.32^\circ )+ i\cdot \sin (325.32^\circ) \big)\)

Zu lösen ist also folgende Gleichung:

\( z^4 -81i = 0 \\ \rightarrow z = \sqrt[4]{81i}\)

Für das n-te Wurzelziehen einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt:

\(\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \big( \cos \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} + i\cdot \sin \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} \big)\), wobei \(r = \mid z \mid\), \(\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}\) und \(k = 0, 1, 2,...., n-1\).

Das heißt, zuerst müssen \(r\) und \(\varphi\) bestimmt werden:

Da z keinen Realteil besitzt, liegt die Zahl direkt auf der positiven imaginären Achse:

\(\varphi = 90^\circ\)

\(r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{81^2}= 81\)

Sie erhalten 4 Lösungen:

\( z_0 = \sqrt[4]{81} \big( \cos \frac{ 90^\circ + 0\cdot 360^\circ}{4} + i\cdot \sin \frac{ 90^\circ + 0\cdot 360^\circ}{4} \big) \)

\(z_0 =3\big( \cos (22.5^\circ) + i\cdot \sin (22.5^\circ) \big)\)

\( z_1 = \sqrt[4]{81} \big( \cos \frac{ 90^\circ + 1\cdot 360^\circ}{4} + i\cdot \sin \frac{ 90^\circ + 1\cdot 360^\circ}{4} \big) \)

\(z_1 =3\big( \cos (112.5^\circ) + i\cdot \sin (112.5^\circ) \big)\)

\( z_2 = \sqrt[4]{81} \big( \cos \frac{ 90^\circ + 2\cdot 360^\circ}{4} + i\cdot \sin \frac{ 90^\circ + 2\cdot 360^\circ}{4} \big) \)

\(z_2 =3\big( \cos (202.5^\circ) + i\cdot \sin (202.5^\circ) \big)\)

\( z_3 = \sqrt[4]{81} \big( \cos \frac{ 90^\circ + 3\cdot 360^\circ}{4} + i\cdot \sin \frac{ 90^\circ + 3\cdot 360^\circ}{4} \big) \)

\(z_3 =3\big( \cos (292.5^\circ) + i\cdot \sin (292.5^\circ) \big)\)

Zu lösen ist also folgende Gleichung:

\( \sqrt[3]{z} + 2 + i = 0 \\ \rightarrow z = (-2-i)^3\)

Für das Potenzieren einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt:

\(z^n = r^n \big( \cos (n \cdot \varphi) + i\cdot \sin (n \cdot \varphi ) \big)\), wobei \(r = \mid z \mid\), \(\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}\) .

Das heißt, zuerst müssen \(r\) und \(\varphi\) bestimmt werden:

Da z im dritten Quadranten der komplexen Zahleneben liegt, gilt:

\(\varphi = \arctan \Big( \frac{-1}{-2} \Big) + 180^\circ = 206.57^\circ\)

\(r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2}= \sqrt{5}\)

Sie erhalten als Nullstelle der Funktion die folgende Lösung:

\(z_0 = \sqrt{5}^3 \big( \cos (3 \cdot 206.57^\circ) + i\cdot \sin (3 \cdot 206.57^\circ) \big)\)

\(z_0 = 5\sqrt{5}\big( \cos (619.71^\circ) + i\cdot \sin (619.71^\circ) \big)\)

Zu lösen ist also folgende Gleichung:

\( \sqrt[4]{z} - 2 + i = 0 \\ \rightarrow z = (2-i)^4\)

Für das Potenzieren einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt:

\(z^n = r^n \big( \cos (n \cdot \varphi) + i\cdot \sin (n \cdot \varphi ) \big)\), wobei \(r = \mid z \mid\), \(\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}\) .

Das heißt, zuerst müssen \(r\) und \(\varphi\) bestimmt werden:

Da z im vierten Quadranten der komplexen Zahleneben liegt, gilt:

\(\varphi = \arctan \Big( \frac{-1}{2} \Big) + 360^\circ = 333.43^\circ\)

\(r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{2^2+(-1)^2}= \sqrt{5}\)

Sie erhalten als Nullstelle der Funktion die folgende Lösung:

\(z_0 = \sqrt{5}^4 \big( \cos (4 \cdot 333.43^\circ) + i\cdot \sin (4 \cdot 333.43^\circ) \big)\)

\(z_0 = 25 \big( \cos (1333.72^\circ) + i\cdot \sin (1333.72^\circ) \big)\)

\(z_0 = -7 -24i\)

Die Satzgruppe von VIETA gilt auch für die Menge der komplexen Zahlen. Hier ist der dritte Satz hilfreich:

\((z-z_1)(z-z_2) = z^2 + p z + q = f(z)\)   , wobei \(z_1\) und \(z_2\) Nullstellen der Funktion \(f(z)\)  sind.

Also erhalten Sie:

\((z-z_1)(z-z_2) = (z- (2-i ))(z- (1-i)) = (z-2+i)(z-1+i) = \)

\(= z^2 -z + iz -2z +2 -2i +iz -i +i^2 = z^2 +2iz -3z +1 -3i = z^2 +(-3+2i)z +1-3i\)

\(\rightarrow f(z) = z^2 +(-3+2i)z +1-3i\)

Die Satzgruppe von VIETA gilt auch für die Menge der komplexen Zahlen. Hier ist der dritte Satz hilfreich:

\((z-z_1)(z-z_2) = z^2 + p z + q = f(z)\)   , wobei \(z_1\) und \(z_2\) Nullstellen der Funktion \(f(z)\)  sind.

Also erhalten Sie:

\((z-z_1)(z-z_2) = (z- (2+i ))(z- (-3)) = (z-2-i)(z+3) = \)

\(z^2+3z-2z-6-iz-3i = z^2 + z -iz -6-3i = z^2 +(1-i)z -6 -3i\)

\(\rightarrow f(z) = z^2 +(1-i)z -6 -3i\)

Die Funktion hat Singularitäten bei \(z^4 =-16\).

Um alle vier Singularitäten zu bestimmen, muss folgende Gleichung gelöst werden:

\(z=\sqrt[4]{-16}\)

Für das n-te Wurzelziehen einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt:

\(\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \big( \cos \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} + i\cdot \sin \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} \big)\), wobei \(r = \mid z \mid\), \(\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}\) und \(k = 0, 1, 2,...., n-1\).

Da die Zahl -16 auf der negativen reellen Achse liegt, erhält man:

\(\varphi = 90^\circ = \pi\)

\(r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{(-16)^2+(0)^2}= 16\)

Sie erhalten also nun die 4 Singularitäten:

\( z_0 = \sqrt[4]{16} \big( \cos \frac{\pi+ 0\cdot 2\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{\pi + 0\cdot 2\pi}{4} \big) \)

\( z_0 = 2\big( \cos \frac{\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{\pi}{4} \big)= 2 \Big( \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2} \Big) = \sqrt{2} + i \sqrt{2}\)

\( z_1 = \sqrt[4]{16} \big( \cos \frac{\pi+ 1\cdot 2\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{\pi + 1\cdot 2\pi}{4} \big) \)

\( z_1 = \sqrt[4]{16} \big( \cos \frac{3\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{3\pi}{4} \big) = 2 \Big( -\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2} \Big) = -\sqrt{2} + i \sqrt{2} \)

\( z_2 = \sqrt[4]{16} \big( \cos \frac{\pi+ 2\cdot 2\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{\pi + 2\cdot 2\pi}{4} \big) \)

\( z_2 = \sqrt[4]{16} \big( \cos \frac{5\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{5\pi}{4} \big) = 2 \Big( -\frac{\sqrt{2}}{2}- i \frac{\sqrt{2}}{2} \Big) = -\sqrt{2} - i \sqrt{2} \)

\( z_3 = \sqrt[4]{16} \big( \cos \frac{\pi+ 3\cdot 2\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{\pi + 3\cdot 2\pi}{4} \big) \)

\( z_3 = \sqrt[4]{16} \big( \cos \frac{7\pi}{4} + i\cdot \sin \frac{7\pi}{4} \big) = 2 \Big( \frac{\sqrt{2}}{2}- i \frac{\sqrt{2}}{2} \Big) = \sqrt{2} - i \sqrt{2} \)