Fragenliste von Umrechnung Normalform- Polarform

Berechnen Sie die Polarform von \(5+3i\). Nr. 2459
	\(r=5\) \(\varphi=3^{\circ}\)
	\(r=35\) \(\varphi=45^{\circ}\)
	\(r=8\) \(\varphi=62,3^{\circ}\)
	\(r=5,83\) \(\varphi=31,0^{\circ}\)
	\(r=17,4\) \(\varphi=25,5^{\circ}\)

Berechnen Sie die Polarform von \(-2+4i\). Nr. 2463
	\(r=-2\) \(\varphi=4^{\circ}\)
	\(r=-6\) \(\varphi=27,3^{\circ}\)
	\(r=4,47\) \(\varphi=116,6^{\circ}\)
	\(r=6,32\) \(\varphi=193,3^{\circ}\)
	\(r=-12,5\) \(\varphi=123,0^{\circ}\)

Bestimmen Sie die kartesische Darstellung von der komplexen Zahl mit \(r=5\), \(\varphi=27^{\circ}\). Nr. 2465
	\(-3,51+2,74i\)
	\(4,46+2,27i\)
	\(8,23+7,22i\)
	\(2,94-3,79i\)
	\(1,16+4,73i\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= \sqrt{8}+ i\sqrt{8}\) . Nr. 3973
	\(4 \cdot (cos(45) + i \cdot sin(45))\)
	\((cos(8) + i \cdot sin(8))\)
	\(\sqrt{8} \cdot (cos(35) + i \cdot sin(35))\)
	\(cos(4)+i\sqrt{8}\)
Lösungsweg \(z= \sqrt{8}+ i\sqrt{8}\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(\sqrt{8})^2+(\sqrt{8})^2}=\sqrt{16}=4\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}})=arctan(1)=45\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 4 \cdot (cos(45) + i \cdot sin(45))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= 5-4i\) . Nr. 3974
	\((cos(-36) + i \cdot sin(40))\)
	\(\sqrt{41} \cdot (cos(-38,7) + i \cdot sin(-38,7))\)
	\(10 \cdot (cos(-35) + i \cdot sin(-40,2))\)
	\(15 \cdot (cos(25) + i \cdot sin(-41,2))\)
Lösungsweg \(z= 5-4i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(5)^2+(-4)^2}=\sqrt{41}\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan(\frac{-4}{5})\approx -38,7\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 6,4 \cdot (cos(-38,7) + i \cdot sin(-38,7))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= \frac{2}{3}-1i\) . Nr. 3975
	\(1,8 \cdot (cos(76,7) + i \cdot sin(76,7))\)
	\(12 \cdot (cos(4,3) + i \cdot sin(4,3))\)
	\(1,2 \cdot (cos(56,3) + i \cdot sin(56,3))\)
	\((cos(45) + i \cdot sin(45))\)
Lösungsweg \(z= \frac{2}{3}-1i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(\frac{2}{3})^2+1^2}=1,2\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan(\frac{1}{\frac{2}{3}})=56,3\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 1,2 \cdot (cos(56,3) + i \cdot sin(56,3))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= \sqrt{2}-i\sqrt{6}\) . Nr. 3976
	\(1,2 \cdot (cos(-51) + i \cdot sin(-51))\)
	\(8 \cdot (cos(16,1) + i \cdot sin(16,1))\)
	\(28 \cdot (cos(-6,2) + i \cdot sin(-6,2))\)
	\(\sqrt{8} \cdot (cos(-60) + i \cdot sin(-60))\)
Lösungsweg \(z= \sqrt{2}-i\sqrt{6}\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{6})^2} = \sqrt{8}\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan(\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{2}})=-60\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 2,8 \cdot (cos(-60) + i \cdot sin(-60))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{6}}{2}\) . Nr. 3977
	\(1,32 \cdot (cos(112) + i \cdot sin(112))\)
	\(32 \cdot (cos(250) + i \cdot sin(250))\)
	\(6,2 \cdot (cos(24,7) + i \cdot sin(24,7))\)
	\(12 \cdot (cos(4,8) + i \cdot sin(4,8))\)
Lösungsweg \(z=- \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{6}}{2}\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{6}}{2})^2} = \sqrt{\frac{7}{4}} \) da \(a<0 \qquad und \qquad b>0\): \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})+ \pi\) \(\varphi=arctan\left (\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right )+ \pi= -67,8+180\approx 112\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 1,32 \cdot (cos(112) + i \cdot sin(112))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= \sqrt{9}-3i\) . Nr. 3978
	\(42 \cdot (cos(45) + i \cdot sin(45))\)
	\(\sqrt{18} \cdot (cos(-45) + i \cdot sin(-45))\)
	\(2 \cdot (cos(-45,2) + i \cdot sin(-45,2))\)
	\(41,3 \cdot (cos(-3,5) + i \cdot sin(-3,5))\)
Lösungsweg \(z= \sqrt{9}-3i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{3^2+(-3)^2} = \sqrt{18}\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan\left (\frac{-3}{3}\right )= -45\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{18} \cdot (cos(-45) + i \cdot sin(-45))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= 3+4i\) . Nr. 3979
	\(15 \cdot (cos(153) + i \cdot sin(153))\)
	\(53,1 \cdot (cos(7) + i \cdot sin(7))\)
	\(5 \cdot (cos(53,1) + i \cdot sin(53,1))\)
	\(8 \cdot (cos(58,3) + i \cdot sin(58,3))\)
Lösungsweg \(z= 3+4i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan\left (\frac{4}{3}\right )= 53,1\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 5 \cdot (cos(53,1) + i \cdot sin(53,1))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= 5+ \frac{2}{3}i\) . Nr. 3981
	\(\sqrt{\frac{49}{9}} \cdot (cos(65) + i \cdot sin(65))\)
	\(73 \cdot (cos(17) + i \cdot sin(17))\)
	\(7 \cdot (cos(176) + i \cdot sin(176))\)
	\(\sqrt{\frac{229}{9}} \cdot (cos(7,6) + i \cdot sin(7,6))\)
Lösungsweg \(z= 5+ \frac{2}{3}i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{5^2+(\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{229}{9}}\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan\left (\frac{\frac{2}{3}}{5}\right ) \approx 7,6\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{\frac{229}{9}} \cdot (cos(7,6) + i \cdot sin(7,6))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= 10+ 11i\) . Nr. 3982
	\(\sqrt{221} \cdot (cos( 47,7) + i \cdot sin( 47,7))\)
	\(\sqrt{21} \cdot (cos( 77,4) + i \cdot sin( 77,4))\)
	\(\sqrt{22} \cdot (cos( 147) + i \cdot sin( 147))\)
	\(21 \cdot (cos( 45,6) + i \cdot sin( 45,6))\)
Lösungsweg \(z= 10+ 11i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{10^2+11^2} = \sqrt{221}\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan\left (\frac{11}{10}\right ) \approx 47,7\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{221} \cdot (cos( 47,7) + i \cdot sin( 47,7))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= \sqrt{2} - i \sqrt{4}\) . Nr. 3983
	\(\sqrt{7} \cdot (cos( 154,7) + i \cdot sin( 154,7))\)
	\(\sqrt{6} \cdot (cos( -54,7) + i \cdot sin( -54,7))\)
	\(\sqrt{61} \cdot (cos( 47) + i \cdot sin( 47))\)
	\(\sqrt{3} \cdot (cos( -14,3) + i \cdot sin( -14,3))\)
Lösungsweg \(z= \sqrt{2} - i \sqrt{4}\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(\sqrt 2)^2+(-2) ^2} = \sqrt{6}\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan\left (\frac{-2}{\sqrt 2}\right ) \approx -54,7\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{6} \cdot (cos( -54,7) + i \cdot sin( -54,7))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= 5 + 3i\) . Nr. 3984
	\(\sqrt{3} \cdot (cos( 131) + i \cdot sin( 131))\)
	\(\sqrt{41} \cdot (cos( -12) + i \cdot sin( -12))\)
	\(\sqrt{34} \cdot (cos( 31) + i \cdot sin( 31))\)
	\(45 \cdot (cos( 23) + i \cdot sin(23))\)
Lösungsweg \(z= 5 + 3i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{34}\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan\left (\frac{3}{5}\right ) \approx 31\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{34} \cdot (cos( 31) + i \cdot sin( 31))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= 1 + 4i\) . Nr. 3985
	\(\sqrt{14} \cdot (cos( 6,3) + i \cdot sin(6,3))\)
	\(\sqrt{7} \cdot (cos( -7,6) + i \cdot sin( -7,6))\)
	\(17 \cdot (cos( 176) + i \cdot sin( 176))\)
	\(\sqrt{17} \cdot (cos( 76) + i \cdot sin( 76))\)
Lösungsweg \(z= 1 + 4i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}\) da a>0: \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})\) \(\varphi=arctan\left (\frac{4}{1}\right ) \approx 76\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{17} \cdot (cos( 76) + i \cdot sin( 76))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= -\frac{1}{3}+i4\) . Nr. 3988
	\(\sqrt{\frac{145}{9}} \cdot (cos(94,76) + i \cdot sin(94,76))\)
	\(15 \cdot (cos(76) + i \cdot sin(76))\)
	\(\frac{14}{3} \cdot (cos(4,6) + i \cdot sin(4,6))\)
	\(4,7 \cdot (cos(176) + i \cdot sin(176))\)
Lösungsweg \(z= -\frac{1}{3}+i4\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(-\frac{1}{3})^2+4^2} = \sqrt{\frac{145}{9}} \) da \(a<0 \qquad und \qquad b>0\): \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})+ \pi\) \(\varphi=arctan\left (\frac{4}{-\frac{1}{3}}\right )+ \pi= arctan(-12)+180 \approx 94,76\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{\frac{145}{9}} \cdot (cos(94,76) + i \cdot sin(94,76))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= -\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}\) . Nr. 3989
	\(\frac{1}{23} \cdot (cos(13,8) + i \cdot sin(13,8))\)
	\(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot (cos(135) + i \cdot sin(135))\)
	\(\frac{7}{2} \cdot (cos(232) + i \cdot sin(232))\)
	\(\frac{1}{12} \cdot (cos(15) + i \cdot sin(15))\)
Lösungsweg \(z= -\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+ (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}\) da \(a<0 \qquad und \qquad b>0\): \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})+ \pi\) \(\varphi=arctan\left (\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}\right )+ \pi= arctan(-1)+180 =135\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot (cos(135) + i \cdot sin(135))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= -\frac{1}{2}+i\sqrt{6}\) . Nr. 3990
	\(\frac{1}{2} \cdot (cos(154) + i \cdot sin(154))\)
	\(\frac{3}{2} \cdot (cos(104) + i \cdot sin(104))\)
	\(\frac{5}{2} \cdot (cos(101,54) + i \cdot sin(101,54))\)
	\(\frac{15}{12} \cdot (cos(10,4) + i \cdot sin(10,4))\)
Lösungsweg \(z= -\frac{1}{2}+i\sqrt{6}\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+ (\sqrt6)^2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}\) da \(a<0 \qquad und \qquad b>0\): \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})+ \pi\) \(\varphi=arctan\left (\frac{\sqrt6}{-\frac{1}{2}}\right )+ \pi= arctan(-2 \cdot \sqrt6)+180 \approx 101,54\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \frac{5}{2} \cdot (cos(101,54) + i \cdot sin(101,54))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= -\frac{1}{4}-7i\) . Nr. 3994
	\(\sqrt{\frac{7}{6}} \cdot (cos(2,05 ) + i \cdot sin(2,05 ))\)
	\(\sqrt{\frac{785}{16}} \cdot (cos(-92,05 ) + i \cdot sin(-92,05 ))\)
	\(\sqrt{\frac{85}{11}} \cdot (cos(-19,05 ) + i \cdot sin(-19,05 ))\)
	\(\sqrt{\frac{181}{26}} \cdot (cos(-9,5 ) + i \cdot sin(-9,5 ))\)
Lösungsweg \(z= -\frac{1}{4}-7i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(-\frac{1}{4})^2+ (-7)^2} = \sqrt{\frac{785}{16}} \) da \(a<0 \qquad und \qquad b<0\): \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a}) - \pi\) \(\varphi=arctan\left (\frac{-7}{-\frac{1}{4}}\right ) - \pi= arctan(28)-180 \approx -92,05 \) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{\frac{785}{16}} \cdot (cos(-92,05 ) + i \cdot sin(-92,05 ))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt2}{2}i\) . Nr. 3995
	\(\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot (cos(-10 ) + i \cdot sin(-10))\)
	\(\sqrt{\frac{13}{64}} \cdot (cos(-71 ) + i \cdot sin(-71))\)
	\(\sqrt{\frac{33}{64}} \cdot (cos(-100 ) + i \cdot sin(-100))\)
	\(\sqrt{\frac{33}{6}} \cdot (cos(-11 ) + i \cdot sin(-11))\)
Lösungsweg \(z= - \frac{1}{8} - \frac{\sqrt2}{2}i\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(-\frac{1}{8})^2+ (-\frac{\sqrt2}{2})^2} = \sqrt{\frac{33}{64}} \) da \(a<0 \qquad und \qquad b<0\): \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a}) - \pi\) \(\varphi=arctan\left (\frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{1}{8}}\right ) - \pi= arctan(\frac{\sqrt 2 \cdot 8}{2})-180 \approx -100\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{\frac{33}{64}} \cdot (cos(-100 ) + i \cdot sin(-100))\)

Berechnen Sie die Polarform von \(z= - \frac{1}{3} - i\sqrt7\) . Nr. 3997
	\(\frac{18}{13} \cdot (cos(-197,8) + i \cdot sin(-197,8))\)
	\(\frac{1}{3} \cdot (cos(-7,18) + i \cdot sin(-7,18))\)
	\(\frac{7}{32} \cdot (cos(-17,18) + i \cdot sin(-17,18))\)
	\(\frac{8}{3} \cdot (cos(-97,18) + i \cdot sin(-97,18))\)
Lösungsweg \(z= - \frac{1}{3} - i\sqrt7\) Polarform einer komplexen Zahl: \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))\) \(r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\) \(r=\sqrt{(-\frac{1}{3})^2+ (-\sqrt7)^2} = \sqrt{\frac{64}{9}}= \frac{8}{3} \) da \(a<0 \qquad und \qquad b<0\): \(\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a}) - \pi\) \(\varphi=arctan\left (\frac{-\sqrt7}{-\frac{1}{3}}\right ) - \pi= arctan(\sqrt 7 \cdot 3)-180 \approx -97,18\) \(z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \frac{8}{3} \cdot (cos(-97,18) + i \cdot sin(-97,18))\)

Gegeben ist die komplexe Zahl \(z=\frac{1}{3+3i}\) . Geben Sie z in der Polarform an. Nr. 4198
	\(z=\frac{2}{36} \Big( \cos(\frac{7\pi}{4}) - i\sin(\frac{7\pi}{4}) \Big)\)
	\(z=\frac{\sqrt{2}}{6} \Big( \cos(\frac{7\pi}{4}) + i\sin(\frac{7\pi}{4}) \Big)\)
	\(z=3 \Big(\cos(\frac{-\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4}) \Big)\)
Lösungsweg \(z = \frac{1}{3+3i} = \frac{1}{3+3i} \cdot \frac{3-3i}{3-3i} = \frac{3-3i}{(3+3i)(3-3i)} = \frac{3-3i}{9+9i-9i-9i^2} = \frac{3-3i}{9+9} = \frac{3-3i}{18} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6}i\) Nun wird der Betrag der komplexen Zahl bestimmt: \(r = \|z\| = \sqrt{ (\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{ \frac{2}{36}} = \frac{ \sqrt{2}}{6}\) Als nächstes bestimmt man das Argument der komplexen Zahl: \(\varphi = \arctan \Big( \frac{Im(z)}{Re(z)} \Big) = \arctan \Big( \frac{ -\frac{1}{6} }{\frac{1}{6}} \Big) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}\) Da der Winkel negativ ist (was einer Drehung im negativen Sinn entspricht), ist es üblich, den Winkel positiv anzugeben: \(\varphi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}\) Nun hat man die Polardarstellung: \(z = r (\cos(\varphi) + i \sin(\varphi)) = \frac{ \sqrt{2}}{6} \Big( \cos( \frac{7\pi}{4}) + i\sin( \frac{7\pi}{4}) \Big)\)

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