\(\vec t = \dot y(x) \)

Aus

\((x-5)^2 + (y-2)^2 = 25\)

kann man direkt den Mittelpunkt des Kreises und seinen Radius ablesen:

\(M = \left(\begin{array}{l} {5} \\ {2} \end{array}\right)\)  und   \(r = \sqrt{25} =5\)

Die Parameterdarstellung des Kreises ergibt somit:  

\(\vec{R}(t)=\left(\begin{array}{l} {x_{0}} \\ {y_{0}} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {r \cos t} \\ {r \sin t} \end{array}\right) \)  , wobei \(x_0 \) und \(y_0 \) für die Koordinaten des Mittelpunkts stehen.

Also konkret:

\(\vec{R}(t)=\left(\begin{array}{c} {5 + 5\cos t} \\ {2 + 5\sin t} \end{array}\right)\)  mit \(t \in \mathbb{R}.\)

Man kann direkt den Mittelpunkt der Ellipse sowie die beiden Halbachsen a und b ablesen:

\(\frac{\left(x-1\right)^{2}}{16}+\frac{\left(y+3\right)^{2}}{3}=1\)

\(M = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {-3} \end{array}\right)\) , \(a = \sqrt{16} = 4 \; , \; b=\sqrt{3}\)

Die allgemeine Parameterdarstellung einer Ellipse:

\(\vec{R}(t)=\left(\begin{array}{l} {x_{0}} \\ {y_{0}} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {a \cos t} \\ {b \sin t} \end{array}\right) \) , wobei \(x_0 \) und \(y_0 \) für die Koordinaten des Mittelpunkts stehen.

Also konkret:

\(\vec{R}(t)=\left(\begin{array}{l} {1 + 4\cos t} \\ {-3 + \sqrt{3} \sin t } \end{array}\right) \) , mit \(t \in \mathbb{R}\).

\(\vec{R}(t)=r \cdot \left(\begin{array}{c} {t-\sin t} \\ {1-\cos t} \end{array}\right)\)

Der Tangentevektor ist die Ableitung des Ortsvektors:

\(\dot{\vec{R}}(t)=r \cdot\left(\begin{array}{c} {1-\cos t} \\ {\sin t} \end{array}\right)\)

\(\vec{R}(t)= 4\pi \cdot \left(\begin{array}{c} {t-\sin t} \\ {1-\cos t} \end{array}\right)\)

Der Tangentevektor ist die Ableitung des Ortsvektors:

\(\dot{\vec{R}}(t)=4\pi \cdot\left(\begin{array}{c} {1-\cos t} \\ {\sin t} \end{array}\right)\)

Gesucht ist der Tangentenvektor für den Wert \(t=2\pi\):

\(\dot{\vec{R}}(2\pi)=4\pi \cdot\left(\begin{array}{c} {1-\cos (2\pi)} \\ {\sin (2\pi)} \end{array}\right) = 4\pi \cdot\left(\begin{array}{c} {1-1} \\ {0} \end{array}\right) =\vec{0} \)

\(\vec{R}(t)=\left(\begin{array}{c} {1 + \cos t} \\ {-1 + \sin t} \end{array}\right)\)

Der Tangtenvektor ist die Ableitung des Ortsvektors:

\(\dot{\vec{R}}(t)=\left(\begin{array}{c} {-\sin t} \\ {\cos t} \end{array}\right)\)

Für den Parameterwert \(t= \frac{\pi}{2}\) erhält man:

\(\dot{\vec{R}}(\frac{\pi}{2})=\left(\begin{array}{c} {-\sin (\frac{\pi}{2}) } \\ {\cos (\frac{\pi}{2})} \end{array}\right)\)

\(\dot{\vec{R}}(\frac{\pi}{2})= \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {0} \end{array}\right)\)

Die allgemeine Parameterdarstellung einer Ellipse ist fast analog zu der des Kreises:

\(\vec{R}(t)=\left(\begin{array}{l} {x_{0}} \\ {y_{0}} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {a \cos t} \\ {b \sin t} \end{array}\right) \) , also:

\(\vec{R}(t)=\left(\begin{array}{l} {-1 + 2\cos t} \\ {-1 + \sqrt{3} \sin t } \end{array}\right) \) , mit \(t \in \mathbb{R}\).

Für die Parameterdarstellung wählen wir:

\(x = t\)  mit \(t \in \mathbb{R}.\)

Somit erhalten wir den Ortsvektor:

\(\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{l} {x(t)} \\ {y(t)} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {t} \\ {t^3} \end{array}\right) \)

Damit der Punkt A der Anfangspunkt ist, und der Punkt B der Endpunkt, muss folgendes für den Parameter gelten:

\(t \in [0 \; ; \; 2]\)

Also:

\(\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{l} {t} \\ {t^3} \end{array}\right) \)   mit \(t \in [0 \; ; \; 2]\).

Dafür muss man nur den Wert der Kurve an den Randpunkten des Intveralls für t betrachten, also:

\(\vec{r}(- \frac{\pi}{2})=\left(\begin{array}{l} {\sin ( - \frac{\pi}{2})} \\ {\cos ^{2}(- \frac{\pi}{2})} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {-1} \\ {0} \end{array}\right)\)

\(\vec{r}( \frac{\pi}{2})=\left(\begin{array}{l} {\sin ( \frac{\pi}{2})} \\ {\cos ^{2}(\frac{\pi}{2})} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} {1} \\ {0} \end{array}\right)\)

Wir erhalten also:

Anfangspunkt   \(A = \left(\begin{array}{l} {-1} \\ {0} \end{array}\right)\)

Endpunkt:    \(B= \left(\begin{array}{l} {1} \\ {0} \end{array}\right)\)

Aus der Angabe weiß man:

\( x(t) = \sin (t) \\ y(t) = \cos ^{2}(t) \)

Nun formt man die erste Gleichung explizit nach t um:

\(x(t) = \sin (t) \rightarrow t = \arcsin (x)\)

Nun kann t in der zweiten Gleichung ersetzt werden:

\( y(x) = \cos ^{2}(t(x)) = \cos ^2 (\arcsin (x))\)

Nun kann man das noch weiter vereinfachen, indem man folgende Relation verwendet:

\(\arcsin (x) = \arccos \big(\pm \sqrt{1-x^2} \big)\) 

\(\rightarrow \cos^2 \big( \arccos \big(\pm \sqrt{1-x^2} \big) \big) = \Big[ \cos \big( \arccos \big(\pm \sqrt{1-x^2} \big) \big) \Big]^2\)\(= \big(\pm \sqrt{1-x^2} \big) \big) ^2 = 1-x^2\)

\(\rightarrow y(x) = 1-x^2\)

Da \(\quad-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}\) gegeben war, muss noch ein Intervall für x angegeben werden:

\(x(t) = \sin (t) \\ x(- \frac{\pi}{2}) = -1 \\ x(\frac{\pi}{2}) = 1\)

Also:

\(y(x) = 1-x^2\)   mit \(x \in [-1 \; ; \; 1]\).

Die Kurve sieht wie folgt aus:

\(\vec{r}(t)= t^{2}\left(\begin{array}{l} {0} \\ {4} \end{array}\right)+(2 t-1)\left(\begin{array}{r} {1} \\ {-2} \end{array}\right) = \)\(\left(\begin{array}{l} {0} \\ {4t^2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{r} {2t -1} \\ {-4t +2} \end{array}\right)\)\(= \left(\begin{array}{r} {2t -1} \\ {4t^2-4t +2} \end{array}\right)\).

Der Tangentenvektor ist die Ableitung des Ortsvektors nach seinem Parameter (in diesem Fall nach t):

\(\frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\begin{array}{r} {2t -1} \\ {4t^2-4t +2} \end{array}\right)\)\(= \left(\begin{array}{r} {2} \\ {8t-4} \end{array}\right)\)

Der Tangentenvektor ist die Ableitung des Ortsvektors nach dem Parameter. Also hier:

\(\frac{d \vec{r}}{d \varphi} = \frac{d }{d \varphi} \left(\begin{array}{c} {3 \cos (\varphi)+1} \\ {\sin (\varphi)-1} \end{array}\right)\)\( = \left(\begin{array}{c} {-3 \sin (\varphi)} \\ {\cos (\varphi)} \end{array}\right)\)  mit \( 0 \leq \varphi \leq \pi\).

Der Tangentevektor verläuft horizontal, wenn seine y-Komponente 0 ist, d.h. wenn \(\cos \varphi = 0\).

\(\rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2} \)  ist die einzige Nullstelle der Kosinusfunktion im Intervall 0 bis \(\pi\).

Der Tangentevektor verläuft vertikal, wenn seine x-Komponente 0 ist, d.h. wenn \(\sin \varphi = 0\). Die Sinusfunktion hat jedoch zwei Nullstellen im Intervall von 0 bis \(\pi\):

\(\rightarrow \varphi_1 = 0 \\ \rightarrow \varphi_2 = \pi\)

Zusammengefasst:

• horizontal bei: \(\varphi = \frac{\pi}{2} \)
  
• vertiakl bei: \( \varphi_1 = 0 \; , \; \varphi_2 = \pi\)